高中數(shù)學(xué)中平面向量數(shù)量積概念的應(yīng)用

韓靜波　蘇懷堂

摘 要：數(shù)學(xué)概念的建立是分析解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)能力以及形成數(shù)學(xué)思想的前提。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視概念教學(xué)。在高中數(shù)學(xué)中，平面向量數(shù)量積是一個(gè)重要的概念，新課標(biāo)和高考對(duì)其都有較高的要求。探討了對(duì)平面向量數(shù)量積概念的理解及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)量積；數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念的建立是分析解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)能力以及形成數(shù)學(xué)思想的前提。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視概念教學(xué)。在高中數(shù)學(xué)中，平面向量數(shù)量積是一個(gè)重要的概念，新課標(biāo)和高考對(duì)其都有較高的要求。本文將探討對(duì)平面向量數(shù)量積概念的理解及其應(yīng)用。

數(shù)量積是向量的一種運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的概念就是運(yùn)算的法則，而其運(yùn)算法則包含平面向量數(shù)量積的定義、幾何意義、坐標(biāo)運(yùn)算三種形式，其中幾何意義和坐標(biāo)運(yùn)算都是通過定義所推導(dǎo)出的。所以掌握平面向量數(shù)量積的概念就是從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)三種形式及相互關(guān)系，靈活應(yīng)用平面向量數(shù)量積的概念就是根據(jù)三種形式各自的特征適當(dāng)?shù)剡x擇方法。下面通過從三個(gè)角度對(duì)例題的解析探討平面向量數(shù)量積概念的應(yīng)用。

例.（北京2012年高考題）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 · 的值為 ； · 的最大值為 .

一、平面向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用

利用定義求平面向量的數(shù)量積，通常需求出兩向量的夾角和模。當(dāng)夾角或模不易求出時(shí)，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)定義，直角三角形的任意兩個(gè)邊向量的數(shù)量積容易求（如下），所以可利用平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，將兩向量轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊向量（練習(xí)方法一）。

解析：若利用定義首先應(yīng)根據(jù)相等向量的概念平移向量使其共頂點(diǎn)，即 = ，再根據(jù)平面向量積的定義，可得：

· = · = cos∠ADE

其中 ，cos∠ADE均為變量，但根據(jù)圖形幾何特征，可發(fā)現(xiàn) ，∠ADE均在Rt△ADE中，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可得：

cos∠ADE=

所以 · = · = cos∠ADE= = 2=1

由上面解答可知，利用定義求平面向量的數(shù)量積可將兩向量放到直角三角形中，故過E作EF⊥CD于F，則同理可得 · = =

所以當(dāng)E在B，即F在C時(shí)， · 的最大值為 =1

由上可知，利用定義求平面向量的數(shù)量積時(shí)，第一，若向量起點(diǎn)不同，則應(yīng)先平移向量使其共起點(diǎn)，從而準(zhǔn)確找到夾角。第二，若兩向量可看作直角三角形的兩邊，則結(jié)合三角函數(shù)的定義兩向量的數(shù)量積容易求解。第三，若兩向量不可看作直角三角形的兩邊，則需利用平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，用直角三角形的邊向量將兩向量表示出來，從而任意兩向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊向量的數(shù)量積，利用“第二步”即可求解。

二、平面向量的數(shù)量積的幾何意義的應(yīng)用

用幾何意義求平面向量的數(shù)量積直觀簡(jiǎn)單，其關(guān)鍵是利用圖形的幾何性質(zhì)準(zhǔn)確找到一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，其難點(diǎn)在于不能根據(jù)圖形的特征想到用幾何意義求解。所以在教學(xué)中，還要引導(dǎo)學(xué)生透徹理解平面向量數(shù)量積的幾何意義，并對(duì)它強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)。

解析：由圖可得： 在 上的投影為

由平面向量數(shù)量積的幾何意義，可得： · = · = =1×1=1

類似的，由圖可得： 在 上的投影為

由平面向量數(shù)量積的幾何意義，可得： · = =

所以當(dāng)E在B，即F在C時(shí)， · 的最大值為 =1

由上可知，若投影容易求得，則利用幾何意義求解非常簡(jiǎn)便；但若投影不易求得，則此方法并不可取。

三、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用

利用坐標(biāo)表示求平面向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并準(zhǔn)確地用坐標(biāo)表示向量。其難點(diǎn)在于“不能由已知聯(lián)想到建立坐標(biāo)系，將運(yùn)算用坐標(biāo)表示”。所以在教學(xué)中，還要強(qiáng)化對(duì)向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用意識(shí)。

解析：以D為原點(diǎn)，線段DC方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)線段AE長(zhǎng)為x，則 =（x，-1）， =（0，-1）， =（1，0）

所以 · =0×x+（-1）×（-1）=1， · =x×1+（-1）×0=x

所以當(dāng)E在B，即F在C時(shí)， · 的最大值為1

由上可知，若可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，則向量的運(yùn)算可用坐標(biāo)表示，而用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算一般比較簡(jiǎn)單。

綜上所述，平面向量數(shù)量積的定義、幾何意義、坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)成平面向量數(shù)量積概念的概念系統(tǒng)。通過此概念的應(yīng)用可以看出，概念的理解是一個(gè)系統(tǒng)工程，概念學(xué)習(xí)的最終結(jié)果是形成一個(gè)概念系統(tǒng)，這樣才能掌握知識(shí)的本質(zhì)，并靈活應(yīng)用概念解決問題。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生重視概念學(xué)習(xí)，并能通過概念教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這符合新課改和高考的要求，更符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。

編輯 謝尾合