雙曲線問題的幾個易錯點

甘淑清

在三類圓錐曲線當中，雙曲線的問題是最復雜，也是變化最靈活的。雙曲線的問題，要求我們在解題時，密切注意雙曲線的一些易錯點。就可化難為簡，以下幾個問題，就是雙曲線問題中需要時刻注意的。

一、求雙曲線方程的步驟：先定型，再定位，后定量

其實，在求任何一類圓錐曲線方程的時候，我們都要遵循以上方法，先定型就是要求我們根據圓錐曲線的定義，判斷出曲線類型是橢圓還是雙曲線，或者是拋物線，特別在雙曲線的定義中，平面內到兩定點F1，F2距離之差的絕對值為常數2a，即PF1-PF2=2a（2aF1F2時，其軌跡不存在。其次還需要注意“絕對值”三個字不可少，否則，其圖像為雙曲線的一支。再定位，就是在判斷出軌跡類型后，接下來需要關注的焦點位置是在x軸還是y軸，焦點位置直接影響到方程形式，是學生最容易忽視的問題，后定量，就是根據條件，求出 曲線方程。

例1.已知⊙A∶x2+（y-2）2=4，動圓N恒過定點B（0，-2）且恒與⊙A相外切，求動圓心N的軌跡方程。

解：根據題意，可知，圓心距=R+r

即NA=2+r=2+NB，得到NA-NB=2

N軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的下支，設雙曲線方程為 - =1

有定義得到2a=2，2c=4故b2=3

雙曲線方程為y2- =1（y≤1）

（注：本題初學者在解題時容易犯兩個錯誤，一為判斷焦點位置，不少同學總是習慣于設出焦點在x軸的雙曲線，導致方程形式的錯誤，二為需要注意本題得到的并不是整條雙曲線，而只是它的一支，需畫出草圖，以便正確地取舍。）

二、雙曲線的第二定義的準確理解

雙曲線的第二定義為：平面內到定點F距離與到定直線l的距離之比為常數e-（e>1）的點的軌跡為雙曲線。關于第二定義，教材并未特別強調頂點F不在定直線l上的限制，其實這個限制相當有必要，否則其軌跡為兩條直線（除定點F）。

如上圖：當F在直線l上時，定點P軌跡為兩條直線，它們與直線l的夾角θ滿足sin θ= ，可知，P在這兩條直線上移動的時候，滿足定義，關于第二定義，經常在選擇題中考查類似這樣的問題。

例2.平面直角坐標系中，點P（x，y）滿足 =x-y-2，則P的軌跡為（ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.兩條直線

解：方程可變形為 = · ，即P點到定點F（1，-1）的距離與它到直線l∶x-y-2=0的距離之比為定值 >1，但需要注意F在直線l上，故不可選擇雙曲線，應為兩條直線。

三、最短焦點弦問題

我們知道，橢圓中最短的焦點弦為經過焦點且垂直于長軸的弦（即通徑，長度為 ，證明略），但是雙曲線中，求最短的焦點弦長時，需要比較通徑與實軸，當直線與雙曲線交于兩支時，最短的焦點弦為實軸。當直線與雙曲線交于同一支時，最短的焦點弦為

通徑。

例3.雙曲線x2- =1右焦點為F，過F且弦長為7的直線有幾條？

解：如上圖實軸長AB=2a=2，通徑長為CD= =6，由對稱的關系，可知弦長為7的直線有4條，其中兩條交于雙曲線右支，另外兩條交于兩側，我們還能總結出以下結論：若焦點弦長d6，這樣的直線有四條。

四、焦半徑公式的使用

和橢圓一樣，雙曲線焦半徑公式也是由第二定義推倒得出的，但雙曲線的焦半徑公式有較多的情況分類，因此，運用焦半徑公式之前，一定要分清直線與雙曲線是交于左支還是右支，或者兩支各有一個交點，正確地使用焦半徑公式最為重要。

例4.雙曲線x2- =1焦點分別是F1，F2，過左焦點F1斜率 為直線l與雙曲線交于A、B兩點，求△ABF2周長。

解：（本題不少同學未考慮直線與雙曲線的位置關系，誤以為直線與雙曲線兩個交點均在左支，在求AB弦長時就會錯誤地用焦半徑表達，最終無法得到正確答案。）

由于漸近線y=± x，比較斜率易知直線l與曲線交于兩支，故周長C=AB+BF2+AF2

=AF1-BF1+BF2+AF2

=（a+exA）-（-a-exB）+（a-exB）+（exA-a）

=2a+e（xA+xB）+e（xA-xB）=2+2（xA+xB）+2（xA-xB）

x2- =1y= （x+2）聯立得到8x2-4x-13=0，

得到xA+xB= ，xA-xB= 代入可知周長為3+3 。

雙曲線問題雖然形式多樣，變化靈活，要準確地把握其知識內容，還是要從基本定義入手，理解定義，做到“咬文嚼字”，另外結合圖形特點，遇到直線與其交點的問題，一定要根據與漸近線進行斜率比較，以確定交點位置。很多看似疑難的易錯問題就可以迎刃而解。

編輯 謝尾合