一道賽題的四種解法

曹群林

題目 函數f（x）= + 的值域是 .

（2013年全國高中數學聯賽江西省預賽第6題）

解法1 三角換元

因為f（x）= · + ，x∈[2，3]，xmax= + =2，

所以x-2∈[0，1]，3-x∈[0，1].

又因為（x-2）+（3-x）=1，

所以不妨設x-2=sin2α，3-x=cos2α，α∈[0， ].

則f（x）= sinα+cosα=2sin（α+ ），

因為α∈[0， ]，所以α+ ∈[ ， ]，

所以sin（α+ ）∈[ ，1]，即2sin（α+ ）∈[1，2].

故f（x）的值域是[1，2].

解法2 代數換元

依題意，不妨設 =u， =v，則u∈[0，1]，v∈[0，1]，易知 +v2=1.

這就轉化成了約束條件為 +v2=10≤u≤10≤v≤1，目標函數為z=u+v的線性規劃問題.

其可行域為橢圓 +v2=在u軸上方且滿足u∈[0，1]的部分，沿初始直線u+v=0往上平移，z的值越來越大.易知平移直線首先與可行域相交于點（0，1），所以zmin=0+1=1；

當直線平移至最后與可行域相切時，易求得切點坐標為（ ， ），所以zmax= + =2.

故f（x）的值域是[1，2].

解法3 求導

因為f（x）=（3x-6） +（3-x） ，x∈[2，3]，ymax=2

所以f ′（x）= （3x-6） - （3-x） = ，

令f ′（x）=0，即3 - =0，解得x= .

當x∈（2， ）時，f ′（x）>0；當x∈（ ，3）時，f ′（x）<0.

所以f（x）在區間（2， ）上遞增，在區間（ ，3）上遞減，

所以f（x）在x= 處取得唯一的極大值，同時也取得最大值，

則f（x）max=f（ ）= + =2，

又因為f（2）=1，f（3）= ，所以f（x）min=f（2）=1.

故f（x）的值域是[1，2].

解法4 構造概率分布列

已知y= + ，x∈[2，3]，a= ，b= ，則y=3a+b.

由題意可構造隨機變量ξ的概率分布列為：P（ξ=a）= ，P（ξ=b）= ，

則Eξ=a· +b· = ，Eξ2=a2· +b2· = = .

因為Dξ=Eξ2-（Eξ）2≥0，

所以Dξ= -（ ）2= - = .

又因為a-b= - 在[2，3]上單調遞增，

所以-1≤a-b≤ ，則（a-b）2≤1，

從而0≤Dξ= -（ ）2≤ ，即1≤y2≤4.

又因為y= + ≥0，所以1≤y≤2.

當x=1時，ymin=1；當x= 時，ymax=2.

故f（x）的值域是[1，2].

編輯 韓 曉