一道無理函數值域問題的變式探究

邱明武

題目 函數y=x+ 的值域為 .

函數值域的求法是高中函數教學中的重點，同時也是難點，其常用方法有：觀察法、反函數法、分離常數法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、單調性法、求導法、函數的有界性法、數形結合法等等.這道題主要考查無理函數值域的求法，而無理函數值域的常用求法有：單調性法、反函數法、配方法、換元法、求導法、數形結合法、構造解析幾何模型法等。首先來探究一下本題的解決方法，如下：

解法1（單調性法）

因為x∈（-∞，1]∪[2，+∞），所以當x∈[2，+∞）時，函數y=x+ 是單調遞增的，此時當x=2時，y有最小值2，但無最大值，因此y∈[2，+∞）；當x∈（-∞，1]時，函數y=x+ = +（x- ）+ = + 是單調遞減的，此時當x=1時，y有最小值1，但y< ，因此y∈[1， ），所以該函數的值域為y∈[1， ）∪[2，+∞）.

解法2（反函數法）

由于y=x+ （x≤1或x≥2），因此y-x= ，兩邊平方整理得：x= （y≠ ），令 ≥2或 ≤1得y> 或y< ，但是尤其要考慮的也是很容易忽略的地方：y-x= ≥0，即y-x=y- = ≥0，解得：y≥2或1≤y< ，所以該函數的值域為y∈[1， ）∪[2，+∞）.

這道題的兩種解法平時教學多次滲透，學生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起來達不到應用自如、熟能生巧、舉一反三的地步.觀察這道題的結構，不難聯想到這道題的變式題又如何求解？下面就讓我們來探究一下這道題的變式求解吧.

變式1 求函數y=x-2+ （-1≤x≤2）的值域.

解（單調性法）：∵函數f（x）=x-2，g（x）= 在區間[-1，2]上都是單調遞增的.

∴函數y=x-2+ 在區間[-1，2]上也是單調遞增的.因此當x=-1時取最小值-3- ，當x=2時取最大值 ，∴該函數的值域為y∈[-3- ， ].

評注 這道題雖含根式看似很復雜，但若分析其單調性來求值域就很簡單了.因此對某些求函數的值域或最值問題，可以從函數的單調性角度來考慮.

變式2 求函數y= + 的最值.

解（配方法）：函數y= + ≥1+1=2，當且僅當x=2時有等式成立，所以函數有最小值2，無最大值.

評注 一般地，形如函數y= + （x∈R）當a>0，b>0時在x=m處最小值；當a<0，b<0時在x=m處最大值.若定義域不是R可以根據函數的單調性來求最值.

變式3 求函數y= + 的最值.

解（配方與單調性結合法）：易求函數的定義域：x∈（-∞，0]∪[1，+∞），令f（x）=2x2-3x+2=2（x- ）2+ ，g（x）=x2-x=（x- ）2- ，則當x≥ 時，f（x）遞增，x≥ 時，g（x）遞增，所以當x≥1時， 與 都遞增，其和也遞增，故此時y≥ + =1.類似地當x≤0時， 與 都遞減，其和也遞減，故此時y≥ + = ，所以當x=1時，函數有最小值1，無最大值.

評注 一般的，形如函數y= + （a>0，α>β），當- ∈[α，β]時，可以用本例題的方法求函數的最值.

變式4 求函數y= + 的值域.

解（構造解析幾何模型法）：函數y= + 的幾何意義是表示動點P（x，1）到定點A（-1，0），B（1，0）的距離之和.易求點B（1，0）關于直線y=1對稱點B′（1，2）.當A，P，B′三點共線時，距離最小且為AB′=2 ，故y≥2 ，即值域為：y∈[2 ，+∞）.

評注 此題若從函數的單調性角度來考慮，很容易得到當x∈（-∞，-1]時，函數單調遞減；當x∈（1，+∞]時，函數單調遞增，但是當x∈（-1，1）時不好判斷.若此題從幾何意義的角度來考慮就很簡單了.

編輯 謝尾合