一道二元函數題的解法再探

陳凱晨

有這樣一道例題：已知v∈R+，u∈[- ， ]，求函數y=（u-v） +（ - ） 的最小值.采用構造圓錐曲線法、數形結合法求其最小值，方法新穎且快速方便，值得學習.筆者經過探究后，得出另外三種解法，供大家學習參考.

解法1 構造二元函數f（u，v）=（u-v） +（ - ） （v∈R+，u∈[- ， ]），則f（u，v）=（u-v） +（ - ） =v2+ +2-2[u·v+ · ].

不妨令u= sinθ（- ≤θ≤ ），則 = cosθ，

所以f（θ，v）=v2+ +2-2[ sinθ·v+ cosθ· ]

=v2+ +2-2 [sinθ·v+cosθ· ]

=v2+ +2-2 ·sin（θ+φ）

（其中tanφ= ，φ∈（0， ））

因為sin（θ+φ）∈[-1，1]，則-2 ·sin（θ+φ）∈[-2 ，2 ]，

所以f（（θ，v）≥v2+ +2-2 ，令 =t，

則t= ≥ =3 （當且僅當v2= ，v=3時取等號），

又令函數h（t）=t2-2 t+2（t≥3 ），易知當t=3 ，

h（t）min=8，

因此f（（θ，v）≥8，即f（（u，v）≥8，故ymin=8.

評注 此題解法雖然有點曲折，但思路清晰，用到的知識點也是常用的，如構造函數、三角代換、基本不等式、二次函數的最值等，關鍵是能否把這些知識點串聯起來解決問題。

解法2 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥ （當且僅當a=b時取等號）

∴（u-v） +（ - ） ≥

=

∵v>0，∴-（v+ ）≤-2 =-6（當且僅當v=3時取等號）.

令u= sinθ（- ≤θ≤ ）則u+ = （sinθ+cosθ）=2sin（θ+ ）∈[-1，2].

因此[u+ -（v+ ）]≤-4，且當u+ =2sin（θ+ ）=2，-（v+ ）=-6，

即v=3，θ= ，u=1時，u+ -（v+ ）=-4，同時u-v= - =-2，

故 ≥8，

∴（u-v） +（ - ） ≥ ≥8（當且僅當v=3，u=1時，兩不等式同時取等號），所以ymin=8.

解法3 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥2ab（當且僅當a=±b時取等號）

∴（u-v） +（ - ） ≥2（u-v）·（ - ），令u= sinθ（- ≤θ≤ ），則2（u-v）·（ - ）

=29+2sinθcosθ- vcosθ- sinθ· ）

=29+2sinθcosθ- ·sin（θ+φ）（其中cotφ= ，φ∈（0， ）），

又∵ ≥ =3 （當且僅當v2= ，v=3時取等號，φ= ）故9+2sinθcosθ- sin（θ+φ）≥

9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）

不妨令sinθ+cosθ=m（- ≤θ≤ ，-1≤m≤ ），

則9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）=m2-3 m+8∈[4，9+3 ]

所以當m= ，θ= ，u=1，v=3時，（u-v）（ - ）有最小值4，且u-v= - =-2，兩不等式可以同時取等號，所以ymin=8.

評注 此題若用不等式a2+b2≥ 或a2+b2≥2ab求解時，難點一在于右邊兩不等式不是定值，而是一個二元函數，但兩個二元函數可以借用于一元函數最值的求法可求出其最小值.難點二在于兩個等號能否同時成立，此題還好，兩個等號剛好同時成立，若不能同時成立難度更大了.

對比上述解題方法，這些方法各有側重點，這就要求我們數學教師平時在數學教學時對數學思維方法方面要下足工夫，因為不同的解題方法帶來不同的效果，所以，自身平時要多學習，多思考，多總結，為學生積累更多更好的數學思維方法創造良好的條件.

參考文獻：

仲濟齋.構造圓錐曲線求最值[J].中學數學：湖北，2005（12）.

編輯 王團蘭