活用“1”的代換解題

邱芳忠

“1”的作用在高中數學解題中不可小視，代換的得當，會給你的解題帶來便捷，下面就以實例為據，來談談“1”到底能給解題帶來多大的便捷？

一、“1”在比較兩個實數的大小中的代換

例1.比較兩個數（ ） 與（ ） 的大小.

解：首先考查函數y=（ ） ，在x∈R上是減函數，∵- <0，

∴（ ） >（ ） =1.然后考察函數y=（ ） ，在x∈R上是增函數，∵- <0，∴（ ） <（ ） =0.綜上所述，（ ） >（ ） .

評注：比較兩個既不同底數與又不同冪的指數大小，除了要用到指數函數的單調性，還要引進“1”作為中間量，以起到紐帶作用.

例2.比較兩個數log2.13與log3.12.9的大小.

解：首先考查函數y=log2.1x，在x∈R+上是增函數，∵3>2.1，

∴log2.13>log2.12.1=1.然后考查函數y=log3.1x，在x∈R+上是增函數，∵2.9<3.1，∴log3.12.9log3.12.9.

評注：比較兩個既不同底又不同真數的對數的大小，除了要用到對數函數的單調性，還要引進“1”作為中間量，以起到紐帶作用.

二、“1”在三角函數式化簡與求值中的代換

例3.求 的值.

解：∵tan45°=1，∴ = =tan（45°-15°）=tan30°= .

評注：“1”代換tan45°后利用兩角差的正切公式進行求值.

例4.已知 =-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

解：由已知得tanα= ，則

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2（sin2α+cos2α）

= =

= =

評注：“1”代換后首先要進行弦化切，然后再代值.

三、“1”在證明不等式中的代換

例5.已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1求證： + + ≥9.

證明：∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

∴ + + = + +

=3+ + + + + +

=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）≥3+2+2+2=9.

當且僅當a=b=c時，等號成立.

評注：解答本題可以先使用“1”的代換，再轉化使用重要不等式來證明.

四、“1”在求函數最值中的代換

例6.已知x>0，y>0，且 + =1求x+y的最小值.

解：∵x>0，y>0，且 + =1，

∴x+y=（ + ）（x+y）= + +10≥6+10=16.

當且僅當 = ，又 + =1，即x=4，y=12時，上式等號成立.

故當x=4，y=12時，（x+y）min=16.

評注：解答本題可靈活使用“1”的代換，再用基本不等式求得和的最小值.

編輯 魯翠紅