二次函數的“隱形”應用

胡上生

二次函數是高中最重要的基本初等函數之一，是各章節知識之間連接的紐帶與載體.有這樣一類函數，表面上看起來不是二次函數，但實際上換元之后得到一個二次函數，由此可以利用二次函數的性質來解決這類問題，像這類函數稱之為“隱形”的二次函數.下面筆者通過具體實例來認識二次函數的“隱形”應用.

例1.函數y=x+4 （x≤1）的值域為 .

簡解：令 =t，則x=1-t2，t2≥0，所以y=-t2+4t+1=-（t-2）2+5（t≥0），根據圖象易得y∈（-∞，5].

例2.關于x的方程9x+（4+a）3x+4=0有兩個實數解，則實數a的取值范圍是 .

簡解：令3x=t，則t>0，從而問題就等價轉化為一元二次方程t2+（4+a）t+4=0在（0，+∞）上有兩個實根.再令f（t）=t2+（4+a）t+4（t>0），

則有Δ=（4+a）2-16>0- >0f（0）=4>0解得a<-8.

例3.已知函數f（x）=log x-log x+5（x∈[2，4]），求f（x）的最大值與最小值.

簡解：令log x=t，因為x∈[2，4]，所以t∈[-1，- ]，則原函數等價于g（t）=t2-t+5=（t- ）2+ ，易知g（t）在t∈[-1，- ]上單調遞減，則g（t）∈[ ，7]，所以f（x）max=7， f（x）min= .

例4.若關于x的方程cos2x-2cosx+m=0有實數根，則實數m的取值范圍是 .

簡解：原方程等價于m=-cos2x+2cosx，由于cos2x=2cos2x-1，

所以m=-2cos2x+cosx+1，m是關于cosx的二次函數，這就是一個二次的值域問題，由cosx∈[-1，1]，容易得到m∈[-3， ].

例5.設函數f（x）=ax2-2x+2，對于滿足10，求實數a的值.

簡解：由于原二次函數的開口方向及對稱軸都未知，所以利用分離變量的方法，將ax2-2x+2>0轉化成a>- + ，對滿足1 .

通過上述幾例，不難發現“隱形”的二次函數其實就是外層函數為二次函數，內層函數為各類函數的復合函數，它在高中數學解題中有著廣泛的應用，并且運用過程中又貫穿著函數與方程，轉化與歸化，分類與整合等重要的數學思想方法.

編輯 孫玲娟