一道高考題的多種證法

林慶章

題目 （2011年陜西高考文科數(shù)學(xué)第18題）敘述并證明余弦定理.

分析：本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和鞏固.

解 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍。或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有

a2=b2+c2-2bc cos A，b2=c2+a2-2ca cos B，c2=a2+b2-2ab cos C.

=b2-2bc cos A+c2

即a2=b2+c2-2bc cos A，

同理可證b2=c2+a2-2ca cos B，

c2=a2+b2-2ab cos C.

評注 上述證法利用了向量數(shù)量積公式與向量數(shù)量積的性質(zhì).

證法2（解析法） 已知△ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則C（b cos A，bsinA），B（c，0），∴a2=BC2=（b cos A-c）2+（bsinA）2=b2 cos2 A-2b cos A+c2+b2 sin2 A=b2+c2-2bc cos A，

即a2=b2+c2-2bc cos A，

同理可證b2=c2+a2-2ca cos B，

c2=a2+b2-2ab cos C

評注 上述證法利用了向量坐標(biāo)下的模長公式，但要合理恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

證法3（平面法） 如圖3所示，過點(diǎn)A作BC的高AD，垂足為D，在Rt△ADB中，AD=csinB，BD=csinB，DC=a-csinB，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AD2+DC2，

即b2=（c sinB）2+（a-c sinB）2，

整理，得b2=a2+c2-2ac cos B，

同理可證a2=c2+b2-2cb cos A，c2=a2+b2-2ab cos C.

評注 上述證法利用了解直角三角形的知識，還有勾股定理的應(yīng)用.

證法4（分析法） 欲證a2=c2+b2-2cb cos A，只需證0=0，

只需證sin2（B+C）=sin2C+sin2B+2sinBsinCcos（B+C），

即證（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2C+sin2B+2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC），

即證sin2Bcos2C+cos2Bsin2C=sin2C+sin2B-2sin2Bsin2C，

即證（sin2Bcos2C+sin2Bsin2C）2+（cos2Bsin2C+sin2sin2Bsin2C）=sin2C+sin2B，

只需證sin2B（cos2C+sin2C）+sin2C（cos2B+sin2B）=sin2C+sin2B，

即證sin2B+sin2C=sin2C+sin2B，

即證0=0，此等式顯然成立，所以a2=c2+b2-2cb cos A成立；

同理可證b2=c2+a2-2ca cos B，c2=a2+b2-2ab cos C.

評注 上述證法用的是分析法，還要用到正弦定理，以便把邊轉(zhuǎn)化為角進(jìn)行化簡，最后得到一個顯然成立的式子.

編輯 韓 曉