單位球面上多項式的積分及高斯—博內公式一個改進的簡證

張漢雄

摘要：由極坐標下積分的變量替換公式，我們可以得到單位球面上多項式的積分的顯式公式。利用這個顯式公式，我們可以給出高斯-博內公式的一個改進的簡潔證明。

關鍵詞：單位球面;極坐標;伽馬函數;高斯-博內公式

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）45-0151-02

一、單位球面上多項式的積分

設n是一個正整數，S 是歐氏空間R 中的單位球面，P（x）=P（x ，…，x ）是定義在R 上的一個多項式，我們想計算P（x）在S 上的積分 P（x）dσ ，這里dσ 表示S 的體積形式。由積分的線性，我們只需要考慮P（x）是一個單項式的情形，因此以下我們假設P（x）=x =x ?…x ?，這里a=（a ，…a ）∈N 是一個多重指標，N代表全體自然數。單位球面上單項式的積分有以下的顯式公式，見文獻[1]。

引理 （1）如果某個a 是奇數，則 x ?…x ?dσ =0。

（2）如果a ，…，a 都是偶數，則

這里Γ（s）= ?e t dt是大家熟知的Gamma函數。

推論 單位球面S 的體積為ω = 。

證明 在引理中令a=（a ，…，a ）=（0，…，0）即可。

二、高斯-博內公式及其改進

1.高斯-博內公式。現在設n是一個正偶數，M是R 中的一個緊致的光滑超曲面，它總是可定向的。對于任意的y∈M，可以確定M在y點處的單位外法向量G（y），這樣得到的映射G：M→S 稱為超曲面M的高斯映射。高斯映射在y點處的Jacobian被稱為M在y點處的高斯曲率，記為K（y），這等價于說G （dσ ）=KdA，這里dA是超曲面M的體積形式。

高斯-博內公式 設n是一個正偶數，M是R 中的一個緊致的光滑超曲面，則有 KdA= ω ，這里χ（M）是M的歐拉示性數。

我們來簡要分析一下這個公式的證明：由微分形式的拉回G （dσ ）=KdA和映射度的定義，我們有 KdA= G （dσ ）=deg（G） dσ = ω ，

最后一個等號用到了等式deg（G）= ，它的證明可見文獻[2]的第320頁。

2.高斯-博內公式的一個改進及其簡證。現在設c=（c ，…，c ）∈R 是一個單位常向量，我們用（c，G）表示c和G的內積。高斯-博內公式有如下的改進，見文獻[3]。

定理 設n是一個正偶數，m是一個自然數，M是R 中的一個緊致的光滑超曲面。

（1）如果m是奇數，則 （c，G） KdA=0。

（2）如果m是偶數，則 （c，G） KdA= χ（M）。

下面我們給出一個新的較為簡潔的證明。

證明 令f（x）=（c，x） =（c x +…+c ?） ，則有

（c，G） KdA= f（G）G （dσ ）= G （f（x）dσ ）=deg（G） f（x）dσ = ?f（x）dσ ，因此我們只需要計算積分 f（x）dσ 即可。注意到

f（x）=（c x +…+c ?x ） = ?x ?…x

是單項式x =x ?…x ?的線性組合。

（1）如果m是奇數，則至少有一個a 是奇數，由引理的（1）可知 x dσ =0，所以 f（x）dσ =0。

（2）如果m是偶數，由引理的（1）可知，

f（x）dσ = ? （c x ） …（c ?x ） dσ

再利用引理的（2）可知，這個積分等于

c ?…c ? 。

利用Gamma函數的性質Γ（s+1）=sΓ（s）可知，當s是一個自然數的時候，有Γ（s+ ）=（s- ）… Γ（ ）= Γ（ ），所以

f（x）dσ = ?c ?…c

=（c ?+…+c ?）

因為c=（c ，…，c ）∈R 是單位向量，所以c ?+…+c ?=1，因此

f（x）dσ = 。

最后，利用ω = 即可得到 （c，G） KdA= χ（M）。證畢。

下面，我們看一個有趣的例子。

例 取m=n=2，此時M是R 中的緊致光滑曲面，我們有

（c，G） KdA= χ（M）= χ（M）.

設G=（G ，G ，G ），我們可以進一步取c=（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），得到

G ?KdA= χ（M），i=1，2，3

致謝：本文受到中國礦業大學（北京）課程建設項目K140705的支持。

參考文獻：

[1]Folland G.B. How to Integrate a Polynomial over a Sphere.Amer. Math. Monthly[J]， 2001，（108）：446-448.

[2]張筑生.微分拓撲新講[M].北京：北京大學出版社，2002.

[3]Grotemeyer K.P. Uber das Normalenbundel differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I[J]，1963，（336）：1-12.