變分不等式的近似解與向量優(yōu)化問題的擬近似解的關(guān)系

岳瑞雪，李小燕，高 英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

在最優(yōu)化理論中，凸性假設(shè)被廣泛應(yīng)用。為了更好地解決現(xiàn)實(shí)問題，一些學(xué)者對凸函數(shù)做了一系列推廣。Mangasarian［1］給出了偽凸函數(shù)的概念。Ngai等［2］給出了近似凸函數(shù)的概念。Bhatia等［3］和Gupta 等［4］利用 Clarke 次微分對近似凸函數(shù)進(jìn)行了推廣。

Giannessi［5］給出了歐幾里得空間中的向量值變分不等式問題。由于向量值變分不等式問題在許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價值和理論價值，因此，一些學(xué)者對向量變分不等式問題作了很多推廣，見文獻(xiàn)［6－9］。變分不等式問題是解決向量優(yōu)化問題的一個有效工具。近年來，一些學(xué)者在研究向量優(yōu)化問題時發(fā)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件可以通過變分不等式進(jìn)行刻畫，見文獻(xiàn)［5，10－14］。Yang和Zheng［15］研究了一個點(diǎn)是向量變分不等式問題近似解的充分和必要條件。Lee和Lee［16］研究了幾種向量變分不等式問題和非光滑向最優(yōu)問題之間的聯(lián)系。在向量優(yōu)化問題中，在非緊的情況下，有效解(弱有效解)往往不一定存在，近似解在很弱的情況下都可能存在 (Ekelend變分原理)。Loridan［17］介紹了一般多目標(biāo)優(yōu)化問題的ε－有效解的概念，并研究了ε－有效解的一些性質(zhì)。Beldiman［18］等給出了多目標(biāo)優(yōu)化問題(on，ˉε)－擬近似 (弱，真) 有效解的概念。Mishra等［19］研究了向量變分不等式的解和向量優(yōu)化問題局部擬有效解之間的關(guān)系。

本文在文獻(xiàn)［19］的基礎(chǔ)上研究了變分不等式問題的近似解與非光滑向量優(yōu)化問題擬近似有效解之間的聯(lián)系。

1 預(yù)備知識

設(shè)Rn是 n維歐幾里得空間是 Rn的非負(fù)象限;〈·，·〉表示歐幾里得內(nèi)積，‖·‖ 表示歐幾里得范數(shù);X?Rn是非空閉凸集合。

本文給出以下符號:對任意的 x，y∈Rn，有

x=y ? xi=yi，?i=1，…，n

x ＞ y? xi＞ yi，?i=1，…，n

x≧ y ? xi≧ yi，?i=1，…，n

x≥ y ? xiyi，?i=1，…，n，且 x≠ y

定義1［20］函數(shù) f:X→R被稱為在 x∈X附近的Lipschitz函數(shù)。如果存在一個正常數(shù)K和一個 x的鄰域 N，使得對于任意的 y，z∈N，有|f(y)－f(z)|≤K‖y－z‖。如果對于任意的 x∈X，f:X→R是在 x附近的 Lipschitz函數(shù)，則稱函數(shù)f是在X上的局部Lipschitz函數(shù)。

定義2［20］設(shè)f:X→R是在 X上的局部Lipschitz函數(shù)。f在 x∈X處沿方向 v∈Rn的 Clarke廣義方向?qū)?shù)記為 fo(x;v)，定義為 fo(x;v)=

定義3［20］設(shè)f:X→R是在X上的局部Lipschitz函數(shù)。f在 x∈X處的 Clarke廣義次微分記為 ?cf(x)，定義為?cf(x)={ξ∈Rn:fo(x;v)≥〈ξ，v〉，?v∈Rn}。

這些定義和性質(zhì)可以推廣到局部Lipschitz的向量值函數(shù) f:X→Rp，fi(i=1，…，p)為 f的分量。f在 x∈X處的 Clarke廣義次微分為 ?cf(x)=?cf1(x)×?cf2(x)×… ×?cfp(x)。

定義4［1］集合?≠X?Rn為凸集，如果x+λ(y－x)∈X，x，y∈X，λ∈［0，1］。

定義5［19］設(shè)f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數(shù)。f為在y∈X處的擬近似凸函數(shù)，若對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得

稱f為 X上的近似凸函數(shù)，若對于任意的 y∈X，f在y∈X處是近似凸函數(shù)。

定義6［19］設(shè)f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數(shù)。f為在y∈X處的嚴(yán)格擬近似凸函數(shù)，若對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得

稱f為X上的嚴(yán)格近似凸函數(shù)，若對于任意的y∈X，f在 y∈X處是嚴(yán)格近似凸函數(shù)。

定義7［19］設(shè) f:X→Rp是在 X上的局部Lipschitz函數(shù)。f為在 y∈X處的擬近似偽凸函數(shù)，如果對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得?x∈B(y，δ)，

或者

則稱f為X上的擬近似偽凸函數(shù)，對于任意的y∈X，f在 y∈X處是擬近似偽凸函數(shù)。

為了研究向量優(yōu)化問題的擬近似弱有效解與臨界點(diǎn)之間的關(guān)系，給出了擬近似偽凸的定義。

定義8設(shè)f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數(shù)。f稱為在y∈X處的擬近似偽凸函數(shù)，若對于任意的 α，∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得?x∈B(y，δ)

或者

則稱f為X上的擬近似偽凸函數(shù)，對于任意的y∈X，f在 y∈X處是擬近似偽凸函數(shù)。

考慮如下的非光滑向量優(yōu)化問題:

其中fi:X→R，i=1，2，…，p是 X 上的局部 Lipschitz函數(shù)。

定義 9［18］

1)稱y∈X是(NVOP)的擬近似有效解，如果存在 α∈int(Rp+)∈int()，對于任意的 x∈X，下面不等式不成立:f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。

2)稱y∈X是(NVOP)的擬近似弱有效解，如果存在 α∈int()ˉ∈int()，對于任意的 x∈X，下面不等式不成立:f(x) ＜f(y)－α‖x－y‖ －。

考慮如下的變分不等式問題［19］:

(VVIP)尋找 y∈X，使得對于任意的 x∈X有〈ξ，x－y〉≤0，?ξ∈?cf(y)。

(WVVIP)尋找y∈X，使得對于任意的 x∈X有〈ξ，x－y〉＜0，?ξ∈?cf(y)。

定義10

2 近似向量變分不等式問題與非光滑向量優(yōu)化問題之間的聯(lián)系

文獻(xiàn)［19］研究了變分不等式問題的解與非光滑向量優(yōu)化問題的局部擬 (弱)有效的關(guān)系。本節(jié)研究了向量變分不等式問題的近似解與非光滑向量優(yōu)化問題的擬近似解的關(guān)系和向量優(yōu)化問題的臨界點(diǎn)與擬近似弱有效解的關(guān)系。

定理1設(shè)f:X→Rn在y∈X處是近似凸的。若y是(VVIP)的近似解，則y是 (NVOP)的擬近似有效解。

證明若y不是(NVOP)的擬近似有效解，則對于任意的 α，∈int(Rp+)，存在 x∈X，使得 f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。因為 f在 y∈X 處是近似凸的，即對于任意的 α∈int(Rn+)，存在 δ＞0，使得對于任意的 x∈B(y，δ)∩X 有

定理2

1)設(shè)y∈X是(NVOP)的擬近似弱有效解，則y是(WVVIP)的近似解。

2)設(shè)f:X→Rn在y∈X處是近似凸的。若 y是(WVVIP)的近似解，則y是 (NVOP)的擬近似弱有效解。

證明

1)因為y是(NVOP)的擬近似弱有效解，X是凸集，所以存在 α，∈int(Rp+)，使得對于任意的x∈X，下面不等式不成立:

上式兩邊同時除以 t，然后讓 t↓0取極限，得fo(y，x－y) ＜－，從而有

故y是(AWVVIP)的解。

2)與定理1的證明類似。

定理3設(shè)f:X→Rn在y∈X處是嚴(yán)格近似凸的。若y是(NVOP)的擬近似弱有效解，則y是(NVOP)的擬近似有效解。

證明:若y不是(NVOP)的擬近似有效解，則對于任意的 α，∈int()，存在 x∈X，使得f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。因為f在y∈X處是嚴(yán)格近似凸的，即對于任意的 α∈int()，存在 δ＞0，使得對于任意的 x∈B(y，δ)∩X有

從而y不是(WVVIP)的近似解。又由定理2的1)可知，y∈X不是(NVOP)的擬近似弱有效解，這與條件矛盾，故y是(NVOP)的擬近似有效解。

定義11 稱可行點(diǎn)y∈X是(NVOP)的臨界點(diǎn)，如果存在 λ∈ Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)。

定理4設(shè) f:X→Rn在 y∈X處是近似偽凸的，若 y∈X是 (NVOP)的臨界點(diǎn)，則y是(NVOP)的擬近似弱有效解。

證明 若y∈X是 (NVOP)的臨界點(diǎn)，則存在 λ∈Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)，從而對于任意的 x∈X，有〈λTξ，x－ y〉=0，?ξ∈?cf(y)，所以，對于任意的 x∈X，有〈ξ，x－ y〉≧0，?ξ∈?cf(y)。又因為f在y∈X處是近似偽凸的，所以對于任意的 α∈int(Rp+)，存在

故y是(NVOP)的擬近似弱有效解。

定理5 若(NVOP)的臨界點(diǎn)是(NVOP)的擬近似弱有效解，則f:X→Rn在 y∈X處是擬近似偽凸的。

證明設(shè)(NVOP)的臨界點(diǎn)y是(NVOP)的擬近似弱有效解。若y∈X是(NVOP)的臨界點(diǎn)，則存在 λ∈Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)，

從而對于任意的 x∈X，有〈λTξ，x－y〉=0，?ξ∈?cf(y)，即對于任意的 x∈X，有〈ξ，x－y〉≧0，?ξ∈?cf(y)。又因為 y∈X是 (NVOP)的擬近似弱有效解，則存在 α∈int()∈int()，對于任意的x∈X，有f(x)≧f(y)－α‖x－y‖ －αˉ，所以f在臨界點(diǎn)y∈X處是擬近似偽凸的。

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