精密齒輪減速器扭轉(zhuǎn)剛度的精確計算

王光建，仝勇軍

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

扭轉(zhuǎn)剛度是精密減速器的一項重要性能指標(biāo)。傳統(tǒng)上扭轉(zhuǎn)剛度的計算通常采用集中參數(shù)法［1］，忽略了輪齒和軸承的變形，而主要考慮的是軸的變形。在伺服精度和響應(yīng)要求越來越高的情況下，使用傳統(tǒng)計算方法已經(jīng)不能滿足要求。

韓曉娟［2］分別計算了軸與齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度，并將兩部分串聯(lián)得出傳動系統(tǒng)的剛度，但只是計算了一根軸與一個齒輪的串聯(lián)剛度，且沒有考慮軸承的變形。李建宜［3］計算了一對齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度，并進(jìn)行了有限元仿真，但更多的是計算齒輪嚙合剛度。張迎輝等［4］進(jìn)一步考慮了輪齒廓曲率的影響，避免了單對齒嚙合剛度為負(fù)的情況，使嚙合剛度模型更加精細(xì)。Park［5］針對減速器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點建立了整機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度半解析模型，但該計算方法較為復(fù)雜和繁瑣。在嚙合剛度計算方面，對齒輪在不同接觸位置的嚙合剛度，以及多齒接觸下變形協(xié)調(diào)等復(fù)雜影響因素的研究也較為全面和深入［6－7］。

本文采用有限元法，綜合考慮齒輪軸、軸承和齒輪嚙合剛度來精確計算精密齒輪減速器的扭轉(zhuǎn)剛度。

1 精密齒輪減速器系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的集中參數(shù)計算

1.1 扭轉(zhuǎn)剛度的計算模型

本文以圖1所示的減速器參數(shù)為例，齒輪參數(shù)如表1所示。根據(jù)實際情況電機(jī)額定功率P=10 kW，額定轉(zhuǎn)速n=1700 r/min，額定輸出轉(zhuǎn)矩為56 N·m。據(jù)此對輸入端施加轉(zhuǎn)矩T=10 N·m進(jìn)行計算。

圖1 減速器結(jié)構(gòu)

圖2中各軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K1和K4，一對嚙合齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K2和K3(輪齒視為具有變截面的懸臂梁)，電動機(jī)轉(zhuǎn)子的慣量為Jm，負(fù)載慣量為JL。將各軸的剛度折算到電機(jī)軸上，圖2(b)所示系統(tǒng)就進(jìn)一步被簡化為圖2(c)所示的單支扭振系統(tǒng)，且軸承對整個系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度沒有影響。

表1 齒輪參數(shù)

為便于分析計算，首先將圖2(a)中的實際傳動系統(tǒng)簡化為圖2(b)中“集中參數(shù)”系統(tǒng)。

圖2 計算模型的建立

1.2 剛度的移軸折算

在減速器扭轉(zhuǎn)剛度的測量方法中，本文選取輸出軸鎖定，測量輸入軸扭矩與產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角之比的方法。此時需要進(jìn)行剛度折算。剛度折算是基于折算前后彈性勢能不變這一點進(jìn)行的。如圖2所示，如果輸出軸剛度為K4，折算到主動軸后的數(shù)值為 K4'，則

式中，i12為軸1到軸2的傳動比。

綜上所述，圖2(a)所示系統(tǒng)折算之后的扭轉(zhuǎn)總剛度K的計算公式為

其中:K1為輸入軸段剛度;K2為輸入齒輪剛度;K3為輸出齒輪剛度;K4為輸出軸段的剛度。

齒輪傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度

式中:l為軸受扭矩作用的軸長度(mm);GIpj為軸的截面抗扭剛度(MPa·mm4);對于輸入、輸出軸，j=1，2。

齒輪的剛度由齒輪結(jié)構(gòu)決定。齒輪輪體的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于輪齒的剛度，因而可將輪齒視為具有變截面的懸臂梁，一個齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中:b為齒寬;t為齒厚;E為齒輪材料的彈性模量;R為齒輪節(jié)圓半徑;a為齒高。

1.3 不考慮齒輪嚙合剛度的集中參數(shù)法計算

在不考慮齒輪變形的情況下，精密減速器的扭轉(zhuǎn)剛度K的計算公式為

即K=6.12×104N·m/rad，輸入軸轉(zhuǎn)過的角度為1.64 ×10－4rad。

1.4 考慮齒輪嚙合剛度的集中參數(shù)法計算

在考慮了齒輪變形情況下，精密減速器的扭轉(zhuǎn)剛度K=5.84×104N·m/rad，輸入軸轉(zhuǎn)過的角度為1.71 ×10－4rad。

2 精密減速器扭轉(zhuǎn)剛度有限元計算

2.1 不考慮軸承變形時的扭轉(zhuǎn)剛度有限元計算

2.1.1 有限元模型的建立

對于一般的圓柱直齒輪傳動，其在一個嚙合周期中的單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)(直齒輪重合度小于2時只有這兩種)扭轉(zhuǎn)剛度不同，但是對于整個減速器的扭轉(zhuǎn)剛度而言，這種變化影響不大的，所以本文齒輪均選取單齒。

根據(jù)以上參數(shù)在Pro/E中建立三維模型，然后導(dǎo)入到HyperMesh中，采用映射方式劃分六面體單元，單元類型選擇SOLID185單元，材料類型彈性模量 E=2.07 ×1011Pa，密度 ρ=7830 kg/m3，再導(dǎo)入到ANSYS進(jìn)行計算。有限元模型如圖3所示，共計357058個單元，372821個節(jié)點。

圖3 不考慮軸承變形的有限元模型

2.1.2 邊界條件設(shè)置及加載

由于沒有考慮軸承的影響，對輸出軸的轉(zhuǎn)矩輸出端面全約束，其余軸的端面約束徑向和軸向位移以模擬軸承的作用。

選擇輸入軸的單元在柱坐標(biāo)下的切向線位移，如圖4所示。

圖4 輸入軸的切向線位移

由圖4可知:輸入軸最大線位移為2.6×10－6m，輸入端面轉(zhuǎn)過的角度均為1.73 ×10－4rad，比本文采用集中參數(shù)法(1.3節(jié))計算的值大5.5%，比本文1.4節(jié)計算的值大1.2%。

2.2 考慮軸承變形時的扭轉(zhuǎn)剛度有限元計算

在考慮軸承(深溝球軸承6206)情況下整個模型劃分的六面體網(wǎng)格如圖5所示，共計613754個單元，620559個節(jié)點。軸承鋼球與滾道之間建立接觸，軸承內(nèi)孔與軸之間建立接觸。軸承外圈全約束，輸出軸端全約束，輸入軸端不約束，約束2個軸其余2個面的軸向位移，先施加扭矩T=10 N·m。

輸入軸單元在柱坐標(biāo)下的切向線位移如圖6所示。由圖6可知:輸入端面的線位移大小是不同的，原因是輸入軸在齒輪嚙合力作用下會變形，從而導(dǎo)致輸入端面的位移由兩部分組成:一部分是在齒輪嚙合力作用下產(chǎn)生的;一部分是由所施加扭矩產(chǎn)生的。輸入端面在直角坐標(biāo)下的X方向與Y方向的位移如圖7所示。

圖5 考慮軸承變形的有限元模型

圖6 輸入端面的切向線位移

圖7 輸入端面在直角坐標(biāo)下的位移

把輸入軸端圓心和端面最外圈一周節(jié)點的X方向與Y方向位移數(shù)值導(dǎo)入到Matlab中進(jìn)行處理，可得輸入端所有節(jié)點轉(zhuǎn)過角度是一樣的，均為2.1 ×10－4rad。

再分別計算輸入轉(zhuǎn)矩 T=20，30，40，50 N·m的情況。有限元計算得到的扭轉(zhuǎn)變形與集中參數(shù)法得到的結(jié)果的對比如圖8所示。

從圖8可知:采用集中參數(shù)法計算得到減速器扭轉(zhuǎn)變形在不同輸入扭矩作用下是線性的，但是當(dāng)整個模型考慮軸承變形時，減速器剛度在不同輸入扭矩作用下是非線性的，這也更接近實際情況。

圖8 齒輪減速器扭轉(zhuǎn)變形對比曲線

綜上可以得到采用不同方法計算的精密減速器固有頻率對比如表2所示。

表2 不同計算方法結(jié)果的對比

由表2可知:傳統(tǒng)的集中參數(shù)法不考慮齒輪變形得到的減速器扭轉(zhuǎn)剛度比考慮軸承的有限元法大19.7%，而考慮齒輪變形得到的減速器扭轉(zhuǎn)剛度比考慮軸承的有限元法大15%。因此，本文1.4節(jié)計算的減速器扭轉(zhuǎn)剛度更準(zhǔn)確，考慮軸承的有限元計算結(jié)果更接近實際情況。

3 在軸承等效情況下對精密減速器扭轉(zhuǎn)剛度的有限元計算

由于上述模型的網(wǎng)格數(shù)量太多，計算時間太長，為減少計算時間，考慮用套筒來等效整個軸承。仍然加載轉(zhuǎn)矩T=10 N·m。齒輪嚙合的法向載荷 Fn=177.36 N，根據(jù)赫茲接觸理論［8］計算得到6206深溝球軸承在Fn的作用下的最大位移為0.0044 mm，由此套筒的彈性模量為734.8 MPa，其他部分彈性模量仍為2.1×1011Pa。整個模型共劃分為466947個單元，475638個節(jié)點，見圖9。

輸入軸端在直角坐標(biāo)下的位移如圖10所示。輸出軸端圓心和端面最外圈一周的X方向與Y方向位移導(dǎo)入到Matlab中處理后得到外圈所有節(jié)點所轉(zhuǎn)過的角度是一樣的，均為 2.083×10－4rad。用此方法計算的精密減速器剛度為4.8×104N·m/rad。

圖9 套筒等效的有限元模型

圖10 直角坐標(biāo)下的位移

再分別計算輸入轉(zhuǎn)矩 T=20，30，40，50 N·m的情況。有限元計算得到的扭轉(zhuǎn)變形曲線與集中參數(shù)法計算得到的結(jié)果的對比如圖11所示。

圖11 套筒等效情況下的扭轉(zhuǎn)變形曲線

由圖11可知:套筒等效情況下計算得到的減速器剛度曲線也是非線性的，而且與直接用軸承計算的情況有較好的一致性。說明這種等效方法真實可信，為精密減速器的扭轉(zhuǎn)剛度計算提供了一種快速有效的方法。

4 結(jié)論

考慮軸、軸承的變形和齒輪的嚙合剛度，分別采用集中參數(shù)法和有限元法來計算精密齒輪減速器的扭轉(zhuǎn)剛度，分析了不同計算方法的誤差。

1)由于考慮了輪齒變形和軸承變形，因此有限元法計算的精密減速器扭轉(zhuǎn)剛度偏低，固有頻率偏低;與有限元方法(考慮輪齒和軸承變形)相比，集中參數(shù)法計算(不考慮軸承和輪齒變形)的扭轉(zhuǎn)剛度增加了28%。

2)為了減小計算時間，提高計算效率，采用套筒等效剛度代替軸承剛度進(jìn)行有限元計算，其結(jié)果與代替前的計算結(jié)果基本一致，比代替前增加了0.3%。

3)雖然軸承變形計算為非線性接觸計算，但扭轉(zhuǎn)變形結(jié)果與集中參數(shù)法計算結(jié)果基本一致。

［1］孫麟治，張鄂，趙明晶，等.小模數(shù)精密齒輪傳動設(shè)計［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1985.

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［4］張迎輝，肖君君，何衛(wèi)東.機(jī)器人用 RV減速器針擺傳動嚙合剛度計算［J］.大連交通大學(xué)學(xué)報，2010，31(2):20－23.

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