3-RPS和3-SPR機構的工作空間差異分析

原 政

(潞安職業技術學院 機電工程系，山西 長治 046204)

3-RPS和3-SPR機構的工作空間差異分析

原 政

(潞安職業技術學院 機電工程系，山西 長治 046204)

基于螺旋理論分別對3-RPS和3-SPR機構的自由度進行了分析，揭示了兩機構由于動平臺和靜平臺的倒置引起的運動轉軸的位置變化。采用搜索法分別繪制了兩機構的工作空間，揭示了轉軸位置的差異引起的工作空間的不同。

3-RPS；3-SPR；螺旋理論；工作空間

0 引言

少自由度并聯機構具有結構簡單、制造成本低及控制容易等優點，近年來，它已成為機器人領域的研究熱點之一。在各類少自由度并聯機構中，兩轉一移三自由度(2R+1T)并聯機構是比較重要的一類機構，在諸多領域得到了廣泛的應用。本文采用螺旋理論對3-RPS和3-SPR機構進行深入分析，揭示由于動、靜平臺位置不同引起的機構運動性質和工作空間的變化。

1 3-RPS的自由度分析

如圖1所示，3-RPS機構是由上、下平臺皆為等邊三角形的動平臺abc和靜平臺ABC以及連接上下兩個平臺的3個分支構成。其中3個分支與上平臺即動平臺abc相連的運動副為球鉸副S，與下平臺即靜平臺ABC相連的為轉動副R；在球鉸副與轉動副之間的為移動副P。固定坐標系O-XYZ固連在靜平臺上，原點O在靜平臺中心處，X軸沿著OA方向由O指向A，Z軸垂直于靜平臺向上，Y軸按右手坐標系確定。與動平臺固連的坐標系Q-xyz的Q點與動平臺中心固連，x軸沿Qa方向由Q指向a，z軸過Q點垂直于動平臺向上，y軸按右手坐標系確定。圖2為3-RPS單分支的反螺旋。

利用修正的Kutzbach-Grübler公式求解該機器人機構的自由度M，修正的Kutzbach-Grübler公式為：

(1)

其中：d為機構的階數；n為構件的數目；g為運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度數；v為機構的冗余約束數；ζ為機構的局部自由度數。

3-RPS機構反螺旋的約束力為過球副中心點平行于轉動副的線矢量。由于對稱性，另外兩個分支對靜平臺的約束同樣為過各分支中的球鉸副中心點且平行于靜平臺內轉動副軸線的兩個力線矢。這樣平臺就受到了3個約束力，但這3個約束力不共軸，由此可知該機構無公共約束即λ=0，無冗余約束即v=0，無局部自由度即ζ=0；在該機構中，機構的階數d=6，構件數n=8，運動副數g=9，所有運動副具有的自由度數之和為：∑fi=15。代入公式(1)得機構的自由度數：M=3。

圖1 3-RPS機構 圖2 3-RPS單分支的反螺旋

自由度的瞬時性判斷：由于求取的反螺旋的方向取決于3-RPS機構的結構特性，因此該機構任意時刻自由度性質不變。

按照螺旋理論求解RPS分支的反螺旋即約束螺旋。按照反螺旋的性質：若約束螺旋為約束力螺旋，則該螺旋必須與轉動副軸線共面，且同時與移動副軸線垂直；若約束螺旋為約束力偶，則該螺旋必須與轉動副軸線垂直。因此可以得到RPS分支的約束螺旋為經過球鉸副中心且平行于轉動副軸線方向的約束力螺旋。

由以上分析可知：動平臺abc受到3個共面約束力，方向分別平行于各自分支的轉動副軸線。根據圖1還可以看出，動平臺abc的運動螺旋為繞x軸的轉動、繞y軸的轉動以及沿z軸的移動即(2R+1T)。

2 3-SPR的自由度分析

針對3-SPR機構建立如圖3所示坐標系。從圖3中可以看出：3-SPR和3-RPS機構的主要區別在于兩種機構動、靜平臺的運動副類型進行了互換。3-SPR機構的動平臺均由轉動副連接，其靜平臺均由球鉸副連接；而3-RPS則恰恰相反，它的動平臺均由球鉸副連接，靜平臺均由轉動副連接。圖4為3-SPR機構單分支的反螺旋。

圖3 3-SPR機構 圖4 3-SPR單分支的反螺旋

3-SPR機構的動平臺abc共受到了3個約束力，且3個約束力共面，方向分別平行于各自分支的轉動副軸線，故而沒有公共約束，同樣沒有冗余約束和局部自由度，其機構的階數、構件數、自由度數與3-RPS機構相同。代入自由度計算公式(1)可得自由度仍然為3。

同樣根據圖3可以看出，動平臺abc的運動螺旋也包含繞x軸的轉動、繞y軸的轉動以及沿z軸的移動即(2R+1T)。

3 工作空間分析

依據螺旋理論，只有與約束力共面的直線才能作為轉軸。對3-RPS機構來說，約束力所在的平面即動平臺所在的平面，因此轉軸分布在動平臺平面內；對3-SPR機構來說，約束力所在的平面為動平臺運行中與靜平臺重合的平面，因此轉軸分布在動平臺與靜平臺重合的平面內，由此可見，兩機構的轉軸所在平面不同，故而導致兩機構工作空間的不同。

3.1 工作空間約束條件

機構的工作空間主要受轉動副轉角、連桿干涉、桿長等因素的影響。結合機構的運動副和運動形式可知，機構的工作空間主要受以下幾個因素的影響：①驅動副的運動范圍限制；②運動副轉角運動范圍限制；③連桿間的干涉。據此得出機構工作空間的約束條件為：

(2)

其中：li為移動副行程；lmin、lmax分別為移動副行程的最小值和最大值；θi是球鉸副的實際轉角(即分支連桿方向與球鉸副中心線間的夾角)；θmax為球鉸副的最大允許轉角；D是分支連桿的直徑；Dij是兩個分支間的距離。

3.2 搜索法確定工作空間

3-RPS和3-SPR機構均具有繞x軸的轉動、繞y軸的轉動以及沿z軸的移動這三個獨立的運動。因此通過搜索動平臺中心點的位置坐標可以確定機構的位置工作空間。定義歐拉角α=0和β=0時動平臺中心點與靜平臺中心點間的距離為初始高度z。給定機構的幾何約束條件以及初始高度z，可以得出機構在此初始高度條件下動平臺可以達到的工作空間。

其中，移動副行程li可根據反解計算得到，設定

移動副的移動范圍為：500 mm≤li≤750 mm；球鉸副的轉角約束條件為：

(3)

其中：i=1～3；θi≤30°；z為初始高度。

轉動副的約束條件為：

(4)

利用式(3)和式(4)進行MATLAB編程，由此得到3-RPS與3-SPR的工作空間，分別如圖5和圖6所示。

圖5 3-RPS工作空間

圖6 3-SPR工作空間

從圖4和圖5中可以看出：對于3-RPS機構，轉軸分布在與動平臺重合的面上，同時受到靜平臺約束，因此工作空間相對較小；對于3-SPR機構，轉軸分布在動平臺運行時與靜平臺重合的平面上，因此工作空間較3-RPS大很多。

4 結論

經過分析可以看出，3-RPS和3-SPR機構雖然只是動、靜平臺進行了互換，其自由度數和類型沒有發生變化，但其工作空間的形態發生了變化，工作空間的大小也存在一定的差異。從分析結果可以看出，3-SPR機構比3-RPS機構具有更好的特性。

[1] 黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2] 趙鐵石,趙永生,黃真.欠秩并聯機器人能連續轉動轉軸存在的物理條件和數學判據[J].機器人,1999(5):347-351.

[3] Huang Z,Tao W,Fang Y.Study on the kinematic characteristics of 3 DOF in-parallel actuated platform mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory,1996,31(8):999-1007.

Analysis of Workspace Differences between 3-RPS and 3-SPR Mechanisms

YUAN Zheng

(Lu’An Vocational & Technical College, Changzhi 046204, China)

The degrees of freedom of 3-RPS and 3-SPR are analyzed separately based on screw theory, the changes of the movement shafts caused by the inversion of the moving platform and the fixed platform are pointed out. The workspaces of two mechanisms are mapped by the search method, which concludes that different movement shaft will lead to the difference of the workspace.

3-RPS; 3-SPR; screw theory; workspace

1672- 6413(2015)06- 0170- 02

2015- 09- 26；

2015- 10- 16

原政(1986-)，男，山西長治人，助教，碩士，主要研究方向為機械設計及自動化。

TP242∶TH112

A