(2-UPS+U)&R串并混聯機構工作空間分析

王 雷

(潞安職業技術學院 機電工程系，山西 長治 046204)

(2-UPS+U)&R串并混聯機構工作空間分析

王 雷

(潞安職業技術學院 機電工程系，山西 長治 046204)

提出了一種新型串并混聯機器人，該機器人腿部采用了3自由度(2-UPS+U)&R串并混聯機構，具有工作空間靈活、能耗低、地形適應性強等特點。同時還對(2-UPS+U)&R串并混聯機構的自由度進行了分析計算，求解了該機構的工作空間，驗證了該機構工作時的靈活性。

串并混聯機器人；自由度；工作空間

0 引言

串聯機器人工作空間大，結構簡單，控制簡單，但是承載能力低；并聯機器人雖然有很大的承載能力，但是結構復雜，工作空間小。因此，出現了串并混聯機器人，串并混聯機器人很好地繼承了串聯和并聯機器人的優點，既有很大的工作空間，又有很大的承載能力，是目前機器人發展的主流[1-2]。

1 建立坐標

本文介紹的是一種3自由度串并混聯機器人，其腿部機構如圖1所示，平臺與小腿間采用3條運動支鏈相連接，其中，運動支鏈2和3結構相同(為UPS支鏈)，其一端通過虎克鉸與平臺連接，另一端通過球副與運動支鏈1相連接；運動支鏈1其一端通過虎克鉸與平臺相連接，另一端通過轉動副與小腿相連接。3條運動支鏈構成并聯機構，平臺、運動支鏈和小腿3部分構成串聯結構，使得機構既有很大的承載能力又有很大的工作空間。

圖1 串并混聯機器人腿部機構簡圖

由圖1可知，該串并混聯機器人腿部機構頂部的定平臺為直角三角形，其中，3個U副分布在直角三角形的3個頂點處，根據其結構特點，可建立如下坐標系：固定坐標系O-XYZ固結在定平臺三角形的直角頂點處，其X軸平行于定平臺直角邊A1A2方向，固定坐標系的Z軸垂直于定平臺，且向下為正方向，固定坐標系的Y軸方向根據右手法則確定；動坐標系A1-QVW固結在大腿上，其原點A1位于U支鏈虎克鉸兩轉動軸線的交點處，其Q軸與U支鏈虎克鉸內圈轉動軸線重合，W軸沿大腿A1B方向，且向下為正方向，V軸的方向根據右手法則確定；動坐標系B-XBYBZB固結在小腿上，其原點位于U支鏈軸線與小腿的交點處，XB軸沿C1C2方向，ZB軸沿大腿A1B方向，且向下為正方向，YB軸的方向根據右手法則確定；動坐標系P-XPYPZP的原點位于小腿足端點P處，其XP軸與XB軸平行，ZP軸的方向沿小腿BP，且向下為正方向，YP軸的方向根據右手法則確定。

2 自由度

基于修正的Kutzbach-Grübler公式，采用約束螺旋的自由度分析方法[3]，求解該串并混聯機器人機構的自由度，修正的Kutzbach-Grübler公式為：

(1)

其中：M為機構的自由度數；d為機構的階數；n為構件的數目；g為運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度數；v為機構的冗余約束數；ζ為機構的局部自由度數。

根據螺旋理論[4]可知，UPS支鏈本身具有6個自由度，所以UPS支鏈并不對空間串并混聯機構進行約束，為無約束支鏈，而本課題所設計的(2-UPS+U)&R串并混聯腿部機構含有兩條UPS支鏈，采用螺旋理論對該腿部機構進行自由度分析時可以不對其進行分析。因此，只需利用螺旋理論對該串并混聯機器人的大腿U支鏈與小腿R支鏈串聯的機構進行分析，通過腿部機構各運動副的螺旋求解其約束螺旋，即可求解出該串并混聯機器人腿部機構的公共約束數、冗余約束數和自由度數及類型。

如圖1所示，在定平臺固定坐標系下，腿部的大腿機構和定平臺之間的虎克鉸相當于兩個轉動副，大腿機構與小腿機構之間的轉動副具有一個螺旋，可以得到腿部機構的約束螺旋系為：

(2)

在該串并混聯機器人的腿部機構中，腿部機構的階數d=6，其構件數n=7，運動副數g=8，所有運動副具有的自由度數之和為∑fi=15，腿部機構不存在冗余約束和局部自由度，故v=ζ=0，將腿部機構這些參數代入自由度計算公式(1)中，即可求得該串并混聯機器人腿部機構的自由度為：

M=3.

(3)

由上述的運動螺旋和約束螺旋分析可得：該串并混聯機器人腿部機構具有繞X軸轉動、繞Y軸轉動和沿Z軸移動共3個自由度。

3 工作空間

在求解串并混聯腿部機構工作空間時，由于腿部機構包含虎克鉸、球鉸等運動副，因此受這些運動副和腿部機構各構件長度的限制，腿部機構只能在一定的范圍內運動。因此，要想求解腿部機構的工作空間，首先需要確定腿部機構各影響因素的限制條件。

3.1 各輸入構件的桿長約束

腿部機構的輸入構件桿長在一定的范圍內變化，當某構件的桿長達到其臨界值時，腿部機構末端所設定的參考點同時也就到達了該腿部機構工作空間的邊界。設輸入構件桿長的最小和最大值分別為lmin、lmax，則腿部各輸入構件桿長li需滿足的約束條件為：

lmin≤li≤lmax.

(4)

3.2 虎克鉸和球鉸的轉角約束

在腿部機構的某一姿態下，可求得該腿部機構各虎克鉸的轉角δi，而最大許用轉角δmax由虎克鉸的結構決定。則腿部機構的虎克轉角δi需滿足的約束條件為：

δi≤δmax.

(5)

球鉸鏈由于其自身的結構特點，其轉角范圍也被限制在一定范圍內，設qi為球鉸鏈座與大腿分支部分的法向量，lli為UPS支鏈連桿的向量，則球鉸鏈的結構轉角ηi為：

(6)

其中：║qi║、║lli║分別為這兩個向量的矩陣范數。

而球鉸最大許用轉角ηmax由球鉸結構決定，則球鉸鏈轉角的轉動條件為：

0≤ηi≤ηmax.

(7)

3.3 構件約束限制

腿部機構的構件采用寬和高均為d的均勻長方體形桿件，設定腿部機構各構件之間的最短距離為dij，那么腿部機構各構件避免干涉的條件為：

dij≥d.

(8)

(2-UPS+U)&R串并混聯機器人腿部機構的工作空間為其末端的運動范圍，也就是其足端點P所能達到的所有點的集合。本節將運用三維球坐標搜索方法，利用MATLAB軟件進行編程，通過循環函數使搜索角度θ、φ以及搜索半徑ρ依次增加，并根據腿部機構的約束條件得到工作空間邊界面上的點，將搜索到的點連成面即為所求工作空間的內、外表面，其內、外表面的交集即為(2-UPS+U)&R串并混聯機構的工作空間，如圖2所示。

圖2 三維球坐標搜索

根據(2-UPS+U)&R串并混聯機器人所設定的尺寸參數，按照上述的球坐標搜索法，利用MATLAB軟件進行編程，求解并繪制出該機器人腿部機構末端的工作空間三維圖及其在XOY平面的投影，分別如圖3(a)和圖3(b)所示。

圖3 腿部工作空間三維圖及XOY平面內投影

由圖3(a)可知，該工作空間總體上呈錐體，且沿YOZ平面對稱，即腿部機構可沿其兩側擺動，其內表面由兩個凹弧面組成，外表面也由兩個凹弧面組成。腿部機構的工作空間在Z軸方向上的范圍大約是-600 mm～-300 mm，X軸方向上的范圍大約是-300 mm～+300 mm，Y軸方向上的范圍大約是-200 mm～+200 mm。此外可以看出，腿部機構的工作空間較大，空間內部連續性比較好，能夠滿足(2-UPS+U)&R串并混聯機器人腿部機構的運動要求。

本文還利用幾何法畫出了腿部的工作空間截面圖，如圖4所示，與圖3所示的腿部機構工作空間三維圖進行對比，可知其與工作空間三維圖的YOZ截面一致，從而驗證了腿部機構工作空間求解的正確性。

4 結論

本文主要進行了串并混聯機器人腿部機構的設計，確定了(2-UPS+U)&R串并混聯腿部的結構方案。此外，建立了該機構的靜坐標系和腿部各支點的動坐標系，并對該機構自由度進行了分析和求解。本文還求解了該機構的工作空間，并對工作空間進行了分析和驗證。

圖4 腿部機構工作空間截面圖

[1] 田興華,高峰,陳先寶,等.四足仿生機器人混聯腿構型設計及比較[J].機械工程學報,2013(6):81-88.

[2] 崔國華,張艷偉,張英爽,等.六自由度串并聯機械手的構型設計與運動學分析[J].農業工程學報,2010(1):155-159.

[3] 黃真孔,高躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業出版社,1997.

[4] 熊有倫,劉恩滄.機器人學[M].北京：機械工業出版社,1993.

Workspace Analysis of A (2-UPS+U)&R Hybrid Robot

WANG Lei

(Lu’an Vocational & Technical College, Changzhi 046204, China)

A novel hybrid robot is proposed in this paper, to help people complete kinds of complicated tasks. The robot adopts the (2-UPS+U)&R series-parallel leg mechanism and has the characteristics of flexible working space, lower energy consumption, strong terrain adaptability, etc. The DOF of the robot is calculated, the workspace of the robot is analyzed, and the flexibility of the robot is verified.

hybrid robot; DOF; workspace

1672- 6413(2015)06- 0156- 02

2015- 10- 12；

2015- 10- 16

王雷(1985-)，女，山西臨猗人，助教，碩士，主要研究方向為機械設計及自動化。

TP242

A