求解常微分方程邊值問題的差分方法

郭曉曄，蹇玲玲

(青島理工大學琴島學院基礎部，山東青島266106)

0 引言

常微分方程邊值問題在空間科學與工程技術中有著重要的應用，如工程學、天文學、力學、經濟學等領域中的大量數學模型，常用常微分方程邊值問題來描述。除了少數特殊類型外，常微分方程邊值問題的精確解很難用解析形式來表示，這樣尋求用近似方法求得其數值解顯得尤為重要。隨著科學技術的進步，其近似解在理論和方法上都有很大的發展，并且在各個領域上的應用也越來越廣泛。在微分方程的數值解法中，差分法不僅是最重要的方法之一，而且也是最有效的方法之一，具有普遍的適用性。

利用差分法求解微分方程的邊值問題時，邊界條件的處理方式影響著差分解的性質和精度。隨意的邊界處理方式可能導致差分解的發散，而巧妙的邊界近似不僅保證了差分解的收斂，還使差分解具有較高的精度。本文簡要闡述了差分方法的基本思想，討論了求解常微分方程的邊值問題的差分方法，并探討了邊界條件的處理方式，并將這兩種處理方式的結果進行了比較。

1 常微分方程的邊值問題

二階常微分方程

常見的三種邊界條件:

其中 α，β，α0，α1，β0，β1為常數，(1)與(2)構成第一邊值問題，(1)與(3)構成第二邊值問題，(1)與(4)構成第三邊值問題。

2 差分格式的建立

差分法的基本思想是用有限個離散點構成的網格代替連續的定解區域，這有限個離散點稱為網格的節點;用網格上定義的離散函數近似代替定解區域上的連續變量函數，離散函數和定解條件構成差分方程，解該方程即可得到邊值問題的解在各節點上的近似值，即問題的數值解。

以第二邊值問題為例，介紹二階線性微分方程邊值問題的差分方法。

其中α，β為常數，p(x)，q(x)，r(x)為連續函數。由解的存在唯一性定理知，問題(5)有唯一解［1］。

記 pk=p(xk)，qk=q(xk)，rk=r(xk)將(7)，(8)代入(5)得

上述方程的截斷誤差為ο(h2)

3 關于邊界條件的處理

3.1 一般方法

對于邊界條件y'(a)=α，y'(b)=β的處理，一般處理方式采用以下簡單差商公式

其截斷誤差為ο(h)，比微分方程的誤差ο(h2)低一階。

由 y'(a)=α，y'(b)=β則，它們跟差分方程(5)(6)構成含有n+1個未知元y0，…，yn的n+1個線性方程組。

3.2 改進方法

由于微分方程離散化的截斷誤差為ο(h2)，可以利用數值微分公式對邊界條件給出相同階的誤差。

將邊界條件離散化，得差分方程

其截斷誤差為ο(h2)，與微分方程離散化的截斷誤差相同，因此該方法有較高的精度。將(5)(9)(10)聯立，得出方程的數值解。

4 算例

為了驗證所提出的方法的有效性，用該方法作了數值實驗，將計算結果與解析解進行了比較。

例 用差分方法解微分方程的邊值問題

x 一般方法數值解 改進方法數值解 解析解π 10－0.889085789－0.865485209－0.858133763 2π 1 0－0.754628816－0.708173272－0.687926572 3π 1 0－0.63955847－0.602859046－0.540438744 4π 1 0－0.555231761－0.511910543－0.430107414 5π 1 0－0.474117905－0.428450517－0.333333333 6π 1 0－0.346210537－0.302704034－0.203930261 7π 1 0－0.126121482－0.089069874 0.001094083 8π 1 0 0.200280807 0.227220625 0.296069738 9π 1 0 0.600781730 0.614950857 0.652122435

5 結論

差分法是求常微分方程數值解的常用方法之一，利用差分法研究了常微分方程的邊值問題，給出了邊界條件的兩種處理方法，并將兩種處理結果與解析解進行了比較，計算結果表明，用改進的處理方法求得的數值解具有較高的精度。

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