利用Periodic Fourier法研究橡膠混凝土隔振基礎對軌道振動的影響

金 浩，劉維寧，周順華，孫曉靜

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804；2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

利用Periodic Fourier法研究橡膠混凝土隔振基礎對軌道振動的影響

金 浩1，劉維寧2，周順華1，孫曉靜2

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804；2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

地下鐵道軌道減振措施研究是一個受到持續關注的問題，本文創新性地引入橡膠混凝土隔振基礎這一概念。并利用Peiodic-Fourier方法，探討了橡膠混凝土隔振基礎物理參數對鋼軌振動位移的影響。研究結果表明：（1）高頻激勵荷載引起的鋼軌位移比低頻激勵荷載引起的鋼軌位移小；（2）橡膠混凝土隔振基礎剛度越大，相應的共振頻率越大，但引起的鋼軌振動位移越小；（3）橡膠混凝土隔振基礎阻尼越大，相應的共振頻率越小，且引起的鋼軌振動位移也越小。

振動與波；橡膠混凝土；地下鐵道；減振；Periodic-Fourier方法；鋼軌位移

近幾年，地下鐵道引起的環境振動問題[1]和鋼軌波形磨耗問題[2]日益受到關注。大量科研工作者[3-5]對環境振動預測方法和軌道減振措施進行了卓有成效的探究。經過前期的調查和分析，本文提出了一種創新性的軌道減振措施，即橡膠混凝土隔振基礎[6]。

橡膠混凝土（Crumb Rubber Concrete，CRC）是一種采用廢舊橡膠作為集料配制而成的新型水泥混凝土[7]。通過調配橡膠粒徑大小以及橡膠的摻入量，可以調節橡膠混凝土的剛度和阻尼等物理參數。相比目前常規使用的混凝土基礎，橡膠混凝土基礎將具有可調節性等優點。橡膠混凝土隔振基礎鋪設方式如圖1所示。

Periodic-Fourier方法最早見D J Mead[8]對周期結構波傳播和振動響應的分析。1996年，P M Belot-serkovskiy[9]利用該方法對簡諧荷載作用下的無限周期結構進行了分析。2001年，H Kruse[10]等利用前面的研究，總結出了一種用于分析線形、周期車輛－軌道結構的算法。2006年，Mohammed利用Perioic-Fourier方法，對離散浮置板軌道進行了移動簡諧荷載作用和移動單點轉向架的動力分析，Periodic-Fourier方法最大的特點就是運算的高效性和Fourier-repeating-uint方法相對比，同樣的算例花了19分鐘，而Periodic-Fourier方法僅花了2秒鐘[12]。

鑒于此，本文將利用Periodic Fourier方法，分析橡膠混凝土隔振基礎物理性質（剛度和阻尼）對鋼軌振動的影響。

圖1 橡膠混凝土隔振基礎示意圖

1 隔振基礎數學模型

由于考慮的鋼軌為離散支撐軌道，輪軌耦合作用形成的力通過扣件及支承塊將以近似點荷載的形式作用在隔振基礎上。因此，隔振基礎對扣件的支撐作用近似為（中間支承塊）串聯的彈簧－阻尼系統[13]。扣件、支承塊和隔振基礎串聯如圖2所示。

圖2 扣件、支承塊和隔振基礎復合剛度計算示意圖

扣件剛度為kfs，阻尼為cfs，則扣件復合剛度ckfs為

橡膠混凝土隔振基礎剛度為kfo，阻尼為cfo，則橡膠混凝土隔振基礎復合剛度ckfo為

因此，扣件、支承塊和橡膠混凝土隔振基礎的復合剛度為

式中ms為支承塊質量，角頻率ω=2πf。

2 移動簡諧荷載作用下軌道模型

假定鋼軌為Bernoulli-Euler梁，線密度為ρ，抗彎剛度為EI。鋼軌由間距為l的扣件系統支撐，扣件下面為支承塊以及隔振基礎。沿鋼軌方向為x，x的法線方向為y。設鋼軌位移為y(x,t)。單位簡諧荷載eiω0t作用在鋼軌上，移動速度為v，出發位置為x=0處，如圖3所示。

圖3 移動簡諧荷載作用下軌道模型

假定y(x,t)滿足以下周期性條件[9]

式中無量綱Ω0=ω0l/v，表示力相位隨時間的變化。

根據Bernoulli-Euler梁理論，可以得到鋼軌的控制方程

式中δ為Dirac函數。

根據周期性條件(1)，可以得到相鄰單元位移、變形、剪力以及彎矩之間的關系如下

式中，上標I和II分別代表單元I和單元II。

對周期性支撐的Bernoulli-Euler梁進行受力分析，如圖4單元所示。

圖4 周期性單元受力分析

可以得到相鄰單元位移、變形、剪力以及彎矩之間的關系

將方程(3)代入方程(4)和方程(5)，可以得到公式(2)的邊界條件。即對于重復性單元（譬如單元I），認為鋼軌位移的零階偏導數?0y(x,t)/?x0（位移）、1階偏導數?1y(x,t)/?x1（變形）以及2階偏導數?2y(x,t)/?x2（彎矩）在周期性支撐條件下具有式(6)關系；鋼軌位移的3階偏導數?3y(x,t)/?x3（剪力）在節點處不相等，具有式(7)關系。

所以，方程(8)的通解為

令x=0，代入方程(12)，得到

將通解(12)代入邊界條件方程(9)和(10)，以及結合方程(13)，得到

為了方便求解以及書寫清晰，將上式寫成矩陣形式

根據高斯消元法，即可得到a1，a2，a3和a4。代入式(12)，得到頻域下鋼軌位移為

而后，通過Fourier逆變換，可以得到時域下的響應解

3 動力響應結果

鋼軌線密度為ρ=60 kg/m，彈性模量E=2.1×1011Pa，截面慣性矩I=3.04×10-5m4。鋼軌由間距為l=0.625 m的DTVI2扣件系統支撐，扣件剛度為kfs=7.8 ×107N/m，扣件阻尼為cfs=5×104N/(m/s)。支承塊質量ms=50 kg。簡諧荷載移動速度為v=10 m/s，從x=0處出發，角頻率分別取ω0=640πrad/s、1 600πrad/ s和2 560π rad/s（即f0=320 Hz、800 Hz和1 280 Hz）。

3.1 不同激勵荷載頻率

從圖5可以看出，鋼軌最大位移頻率由外部激勵荷載頻率決定；并且外部激勵荷載頻率越高，鋼軌最大位移響應越小。

圖5 鋼軌位移響應（x=0.5 l，kfo=1×107N/m，cfo=1×104N/(m/s)）

3.2 不同隔振基礎剛度

圖6 鋼軌位移響應(x=0.5 l，f0=800 Hz，cfo=1×104N/(m/s))

3.3 不同隔振基礎阻尼

從圖7可以看出，隔振基礎阻尼越大，由支承塊質量引起的自振頻率就越小，相應幅值也越小。和隔振基礎剛度對鋼軌位移影響相同，外部激勵頻率引起的響應，不隨隔振基礎阻尼的改變而改變。

圖7 鋼軌位移響應（x=0.5 l，f0=800 Hz，kfo=1×107N/m）

4 結語

通過不同激勵荷載頻率、不同橡膠混凝土隔振基礎剛度以及不同橡膠混凝土隔振基礎阻尼對鋼軌振動位移響應影響分析，得到如下結論：

(1)高頻激勵荷載引起的鋼軌位移比低頻激勵荷載引起的鋼軌位移小；

(2)橡膠混凝土隔振基礎剛度越大，相應的共振頻率越大，但是引起的鋼軌振動位移越小；橡膠混凝土隔振基礎阻尼越大，相應的共振頻率越小，且引起的鋼軌振動位移也越小。

因此，從控制鋼軌振動位移的角度，宜選擇高剛度和高阻尼的橡膠混凝土隔振基礎。

[1]涂勤明，雷曉燕，毛順茂.地鐵產生的環境振動及軌道結構減振分析[J].噪聲與振動控制，2014，34(4)：178-183.

[2]劉維寧，任靜，劉衛豐，等.北京地鐵鋼軌波磨測試分析[J].都市快軌交通，2011，24(3)：6-9.

[3]金浩，劉維寧.蟻群算法耦合LS-DYNA梯式軌枕軌道動力特性優化[J].振動與沖擊，2013，32(2)：24-28.

[4]王文斌，劉維寧，孫寧，等.基于脈沖激勵的地鐵運營引起鄰近建筑物內振動預測方法[J].中國鐵道科學，2012，33(4)：139-144.

[5]黃凱，白鴻柏，路純紅，等.應用復合減振器的梯形軌枕提高軌道的減振效果[J].噪聲與振動控制，2013，33(5)：161-165.

[6]金浩.基于改進蟻群算法梯式軌道及橡膠混凝土隔振基礎優化研究[D].北京：北京交通大學，2013.

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[11]Hussein M,Hunt H.Modelling of floating-slab track with discontinuous slab Part 2:response to moving trains[J]. Low Frequency Noise,Vibration and Active Control, 2006,25(2):111-118.

[12]Hussein M,Hunt H.Modelling of Floating-Slab Track with Discontinuous Slab Part 1:Response to Oscillating Moving Loads[J].Low Frequency Noise,Vibration and Active Control,2006,25(1):23-39.

[13]賈穎絢.基于解析的車軌耦合模型及地鐵對環境的振動影響研究[D].北京：北京交通大學，2009.

Study on Vibration Reduction Characteristics of the CRC Foundation Using Periodic-Fourier Method

JIN Hao1,LIU Wei-ning2，ZHOU Shun-hua1,SUN Xiao-jing2
(1.Key Laboratory of Rood and Traftic Engineering of Ministry of Education,Tongi University, Shanghai 201804,China; 2.School of Civil Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)

A novel type of a crumb rubber concrete（CRC）foundation was proposed for vibration reduction of railway tracks of subways.The Periodic-Fourier method was adopted to build the mathematical model and analyze the influence of different physical parameters of the CRC foundation on the vibration displacement of the rails.The results show that in comparison with the conventional foundations,the rail displacement induced by high-frequency excitation is greatly reduced, and the rail displacement induced by high-frequency excitation is smaller than that by low-frequency excitation;the larger stiffness of the CRC foundation can lead to larger resonant frequency and smaller vibration displacement of the rails;increasing the damping of the CRC foundation can reduce the resonant frequency and the vibration displacement of the rails.

vibration and wave;crumb rubber concrete(CRC);subway;vibration reduction;periodic-Fourier method;rail displacement

U231

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.031

1006-1355(2015)02-0144-05

2014－12－03

國家自然科學基金項目(51278043)；國家自然科學基金項目(51408033)；高等學校博士學科點專項科研基金(20110009120023)

金浩(1986－)，男，浙江諸暨人，講師，博士，從事軌道振動控制研究。E-mail:zhujijinhao@gmail.com