隨機激勵下雙穩態壓電振動發電機的振動特性

何 青，毛新華，褚東亮

（華北電力大學能源動力與機械工程學院，北京市 102206）

隨機激勵下雙穩態壓電振動發電機的振動特性

何 青，毛新華，褚東亮

（華北電力大學能源動力與機械工程學院，北京市 102206）

基于雙穩態壓電振動發電機系統參數的非線性，建立了隨機激勵環境下壓電振動發電機的動力學模型。研究了振源頻率改變、振源個數選取和振幅變化對系統輸出響應的影響，分析了磁間距變化對系統雙穩態特性和輸出電壓的影響。結果表明：當振源頻率或振幅改變時，系統響應表現為小幅周期運動、大幅混沌運動和小幅周期運動。當多個振源激勵時，壓電振動發電機具有更大的諧振帶寬和更高的能量轉換效率。當磁間距為3.9 mm＜d＜6.6 mm時，系統具有雙穩態特性，系統響應表現為大幅周期運動，此時壓電振動發電機輸出電壓值最大。

振動與波；壓電發電機；非線性振動；動力學模型；動態響應；振動特性

隨著電子產品向著低功耗化、微型化、集成化的方向發展，微能源技術也亟需被開發和利用。微能源包括微型電池和微型發電機，具有較廣的應用前景。微型壓電振動發電機因具有無污染、易于微型化和集成化、輸出功率高等優點而成為微能源利用研究的熱點。傳統的壓電振動發電技術的研究是基于線性振動理論的研究和應用，但是基于該理論的壓電振動發電機存在著諧振帶寬窄、頻率波動影響較大、不能適應真實環境下的隨機振動等諸多問題。將雙穩態隨機共振理論應用于壓電振動發電機領域能有效解決上述問題。雙穩態隨機共振是一種特殊的非線性現象，它在隨機力和噪聲的共同作用下能產生隨機振動，具有較大的輸出振幅，這對應用于隨機、低頻、弱振幅激勵的真實環境尤為必要。目前，將雙穩態隨機振動理論應用于振動能量收集技術的研究很多，但是這些研究多數沒有考慮系統的非線性幾何特性，對系統的仿真也只是做了簡諧振動激勵情況的研究，這與真實隨機環境中的寬帶多頻激勵情況相差較大[1－5]。

本文考慮了雙穩態振動時系統剛度、阻尼、機電耦合系數的非線性行為，建立了隨機激勵的雙穩態振動的動力學模型。并討論了頻率改變、振源個數選取、振幅變化以及磁間距變化時的雙穩態壓電振動發電機的動態響應特性，可為壓電振動發電機的進一步研究提供一定參考。

1 隨機激勵環境下雙穩態壓電發電機的動力學模型

1.1 考慮幾何變形非線性的機械動力學方程

雙穩態壓電振動發電機結構的示意圖如圖1所示，懸臂梁的根部粘有PZT壓電薄膜，能將懸臂梁振動引起的形變機械能轉換為電能，外接等效電阻為RL。兩個相距為d的矩形磁鐵具有相同的質量和體積，其中一個磁鐵固定在長度為l、質量為m1的懸臂梁自由端。當兩個磁鐵之間的距離在合理的范圍內，懸臂梁式壓電振動發電機表現為雙穩態特性。

圖1 .雙穩態壓電振動發電機結構示意圖

懸臂梁式壓電振動發電機形成雙穩態隨機振動現象所需的非線性力由兩矩形磁鐵產生，磁力的大小與磁鐵材料的屬性及距離有關，根據文獻[6]研究結果，磁力模型力可近似為

式中μ0=4π×10-7H/m，為空中磁導率；M為磁鐵質量；V為磁鐵體積。

在懸臂梁式壓電振動發電機的隨機共振中，懸臂梁具有較大的幾何變形，其變形的非線性項不能忽略，系統的剛度系數、阻尼系數、機電耦合系數也不再是常數項，而是隨著位移的變化而改變的。雙穩態振動系統的非線性剛度系數、非線性阻尼系數和非線性機電耦合系數可近似為[7]

根據牛頓定律可知，雙穩態壓電振動發電機的動力學方程為

根據方程（1）—（4），方程（5）可變化為

1.2 懸臂梁雙晶梁壓電發電機的電學方程

懸臂梁式雙穩態壓電發電機采用雙晶梁結構，如圖2所示，兩壓電片采用串聯模式連接。假設負載為純電阻電路，根據電流定律可知

圖2 .雙晶梁串聯的壓電振動發電機電路圖

2 方程組的無量綱化與求解

對方程（7）進行無量綱化處理，令

對方程（8）進行無量綱化處理，依據上述假設，有如下變換

采用4階龍格—庫塔法可求得狀態方程（13）的解。

3 算例與分析

壓電振動發電機的系統的主要參數取值為：m=0.051 kg，l=74 mm，CP=1.25×10-7F，磁鐵體積 V=2.56×103mm ，RL=8 500 Ω ，?=0.09，η=0.013，γ=1，λ=0.5，θ1=0.74，θ2=0.37，β=0.72。

3.1 振源頻率變化對系統輸出響應的影響

當振源為單個時，系統輸出響應隨振源頻率變化的特性如圖3所示。根據圖3所示的頻率變化分岔圖可知：當激勵頻率Ω＜0.25時，壓電振動發電機系統在一個勢阱內作小幅周期運動。當激勵頻率0.25＜Ω＜0.56時，隨著激振頻率的增大，壓電振動發電機系統的能量增加，系統克服勢壘閥值躍遷到另一勢阱內作小幅周期運動。當激勵頻率0.56＜Ω＜0.76時，系統獲得足夠能量在雙勢阱間作大幅周期運動，如圖4(a)所示。當激勵頻率0.76＜Ω＜1時，系統作大幅二周期運動，如圖4(b)所示。隨著激勵頻率的增加，系統進入大幅混沌運動，如圖4(c)所示。當激勵頻率Ω＞1.5時，系統勢阱閥值隨著頻率的增大也在不斷增大，此時的系統能量又不足以克服勢壘閥值，而只能在一個勢阱內作小幅周期運動，此時如果要使系統作大幅周期運動，則需要增加激勵振源的振幅。

圖3 單個振源激勵時頻率變化的分岔圖

圖4 f=0.422時不同頻率的相平面圖

當環境中有多個振源激勵時，系統的輸出響應隨振源頻率變化的特性如圖5所示。對比分析圖3和圖5所示的頻率變化分岔圖可知：多個振源激勵時，隨著頻率的增加，壓電振動發電機系統在經歷勢阱內小幅運動后直接進入大幅混沌運動狀態。與單個振源激勵相比，多振源激勵的壓電振動發電機系統具有更大的頻率諧振帶寬，且在極低頻率激勵下，多個振源激勵系統更容易發生大幅運動，有利于提高壓電振動發電機振動能量收集效率。對比圖5（a）和圖5（b）可知：當振源信號的個數分別為3和5時，其頻率變化的分岔圖走勢基本一致，但隨著振源信號個數的增加時，其振幅輸出幅值的均方根值越來越大。

圖5 多個振源激勵的分岔圖

3.2 振源振幅變化對系統輸出響應的影響

圖6為振源頻率固定幅值變化時的分岔圖。分析圖6可知：當激振幅值較小時，系統的能量較小，不足以克服系統大幅運動所必須逾越的勢壘閥值，壓電振動發電機只能在一個勢阱內作小幅周期運動。隨著激勵幅值的增加，系統的能量得到增大，此時壓電振動發電機系統第一次越過勢壘閥值，發生跳躍現象，躍遷到另一勢阱內做小幅周期運動。后經二周期運動進入混沌運動，最后隨著激勵幅值的進一步增大，系統再次進入小幅周期運動，這是因為激勵振幅越大時，系統做大幅運動所需要的頻率也就需要越大。

圖6 振幅變化時的分岔圖

3.3 磁間距變化對系統雙穩態特性及輸出電壓的影響

圖7（a）為不同磁間距時系統的勢能特性,圖7（b）為壓電發電機的輸出電壓隨磁間距變化的規律。對比分析圖7(a)和圖7（b）可知,當磁間距為3.9 mm＜d＜6.6 mm時，系統非線性勢能函數具有雙穩態特性，此時壓電振動發電機在雙勢阱間的高能量軌道上運行，系統輸出電壓達到最大值。當磁間距為d＞6.6 mm時，系統具有單穩態特性，此時壓電振動發電機在單勢阱內的低能量軌道上運行，系統輸出電壓較小，這是因為兩磁鐵距離變大時，非線性磁力也隨之變小，系統的非線性特性變弱。當磁間距為d mm＜3.9 mm時，系統非線性勢能函數具有雙穩態特性，但是此時壓電振動發電機仍然在單勢阱內的低能量軌道上運行，這是因為隨著磁間距的變小，系統勢壘值也增大，此時，如果不增大外界激勵的幅值或頻率，系統無法克服勢壘閥值而只能在單勢阱內做小幅周期運動。

圖7 磁間距變化對系統特性的影響

4 結語

在考慮雙穩態壓電振動發電機各參數非線性特性的情況下，建立了隨機激勵環境下的雙穩態壓電振動發電機的動力學模型，并對壓電振動發電機在隨機激勵下的振動特性進行了仿真分析，主要的結論如下：

（1）當振源頻率或振幅較小時，系統初期具有較小的能量，不足以克服勢壘閥值，系統響應表現為單勢阱內的小幅周期運動，隨著頻率或幅值的增加，系統具有足夠的能量克服勢壘閥值，系統響應表現為勢阱間的大幅混沌運動，隨著頻率和幅值的增加，系統勢壘閥值也隨之增大，系統具有的能量又不足以克服勢壘閥值，系統響應表現為單勢阱內的小幅周期運動；

（2）與單個振源激勵相比較，多個振源激勵時，系統具有更好的低頻響應性能和更大的諧振帶寬，壓電振動發電機具有更高的能量轉換效率；

（3）當磁間距處于合理范圍時，系統具有雙穩態特性，能在高能量軌道上做大幅周期運動，此時的壓電振動發電機輸出電壓值最大。

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表2 葉頻振動計算值與實驗值對比

5 結語

該計算方法對于求解泵內由流體脈動特征頻率誘發的振動情況，有一定的實用價值，但是因為擬合精度和激勵力因素考慮不周全等因素，計算結果與測試值存在一定的誤差，且由于采樣點數的限制，在頻域分辨率上有很大的欠缺，如果提高采樣點個數，可以得到更高的頻率分辨率，可以進行低頻段振動加速度的估算。由于復雜結構系統高頻段的模態十分密集，對于動力學響應問題，有限元法在低頻段是有效的，而在高頻段誤差比較大，所以在高頻段該計算方法適用性不大。

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Dynamic Characteristics of a Bistable Piezoelectric Vibration Generator under Random Excitation

HE Qing,MAO Xin-hua,CHU Dong-liang
(School of Energy Power and Mechanical Engineering,North China Electric Power University, Beijing 102206,China)

The dynamic model of a piezoelectric vibration generator under random excitation was established based on the nonlinearity of its parameters.Influences of the changes of frequency and amplitude,and the choice of numbers of vibration sources on the system output response were studied.Effect of the magnetic distance d changes on the bistable characteristics and the system output voltages was analyzed.The results show that when the frequency or amplitude of the vibration source changes,the system response develops from small periodic motion to large chaotic motion,and then returns to the small periodic motion.Under the multi-source excitation,the piezoelectric vibration generator has larger resonant bandwidth and higher energy conversion efficiency.When 3.9 mm＜d＜6.6mm,the system has bistable characteristics and vibrate with large period,and the output voltage of the piezoelectric vibration generator will get the maximum.

vibration and wave;piezoelectric generator;nonlinear vibration;dynamic model;dynamic response;vibration performance

O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.009

1006-1355(2015)02-0036-05

2014－09－24

何青(1962－)，男，教授，博士生導師，主要研究方向：振動能量收集。E-mail:hqng@163.com。

毛新華（1976－），男，講師，博士研究生，主要研究方向：振動能量收集。E-mail:30400414@qq.com