運動增殖系統內中子引發持續裂變鏈的概率

王 喆，洪振英

（北京應用物理與計算數學研究所，北京100094）

在反應堆臨界安全分析、反應堆的啟動、脈沖堆爆發脈沖等待時間概率分布等工作中，都需要計算一個中子引發的持續裂變鏈概率，對反應堆狀態進行分析和評估。中子裂變鏈概率是含裂變材料增殖系統的固有參量，其控制方程早在20世紀60年代由G.E.Hansen［1］和George I.Bell建立［2］，是與時間有關的類似Boltzmann方程伴方程形式的微分-積分方程。一直以來，在國內外相關領域的研究工作和工程應用中，主要是針對靜態堆或動態系統各個時刻的固定狀態進行穩態方程的求解［3-7］，直到2009年，方程的求解才見報道，Randal S.Baker在其文章中介紹了動態裂變系統中的裂變鏈概率演化計算結果［8］，但未考慮堆體材料的運動速度對計算結果的影響程度。中子與核發生碰撞反應時起作用的是相對運動能量，研究中子在核系統中引發的裂變鏈概率問題，應在隨中子運動的坐標系中建立控制方程，嚴格（或近似）考慮中子與介質原子核的相對速度，才能更為合理地描述實際物理模型，提高計算結果的準確性［9］。

本文以全概率的思想直接建立初始源中子與后代中子引發裂變鏈概率的守恒關系，在拉格朗日坐標系中隨體觀察一團以速度v?在實驗室系中運動的中子行為，結合中子與核的主要相互作用（包括未碰撞份額、散射、裂變及吸收），不考慮（n，xn）反應，得到相對速度空間（中子的實驗室速度相對介質宏觀流動速度）內一個中子引發的持續裂變鏈概率滿足的與時間有關的微分-積分方程。在一維球對稱坐標系下采用離散縱標（SN）方法進行數值求解。針對力學流場隨時間變化的裂變系統，研究近似考慮流體運動時裂變鏈概率演化過程與不考慮流體運動時計算結果的差異。研究表明，在相對速度空間建立的含時微分-積分方程以及相應數值計算程序的開發，提高了對實際物理建模描述的合理性，對于具有膨脹和壓縮等復雜運動形態的反應堆而言，當其體元的運動速度與10keV以上的中子速度相當時，近似考慮流體運動影響是必要的。

1 裂變鏈概率的微分-積分方程

在中子輸運隨機理論范疇內建立中子引發持續裂變鏈概率方程，需要描述中子在介質內輸運過程中與周圍原子核發生碰撞時的反應，為使問題簡化，作如下基本假設：

中子被看做是一個點粒子，位置可以精確描述；忽略中子與中子之間的碰撞；中子是電中性的，在實驗室系中，中子在介質內發生兩次碰撞之間進行勻速直線運動；中子與原子核的碰撞過程與中子發射是瞬時的。

1.1 基本守恒關系

t時刻的初始中子未經碰撞運動到t′=t+Δt時刻而以一定的概率發生首次碰撞，t′時刻的后代中子包括發生碰撞時由散射與裂變發射的次級中子、未發生碰撞的初始中子，這些后代中子在tf時刻R區域內產生無窮多個中子，即為t′時刻的后代中子引發的持續裂變鏈概率；依據初始中子與后代中子的關系確定持續裂變鏈概率的守恒性，即初始源中子未引發的持續裂變鏈概率等于其后代中子未引發的持續裂變鏈概率，這就是本文建立關于一個初始中子引發的持續裂變鏈概率微分-積分方程的基本守恒關系。

一個初始中子引發的持續裂變鏈概率，由后代中子的核反應事件及后代中子引發的持續裂變鏈概率來確定，中子引發的持續裂變鏈概率是守恒的，這個求解問題是末值問題，其守恒方程建立與求解的過程同一般形式Boltzmann方程伴方程（價值方程）［10］相近。

1.2 微分-積分方程

一些特殊情況下，裂變材料的宏觀運動速度與具有某些能量的中子運動速度同量級，在不考慮原子核微觀熱運動情況下需要考慮介質的宏觀流體運動；中子與原子核的相互作用依賴于中子與原子核的相對運動能量，方程中涉及中子與介質原子核相互作用的項中，相應的微觀總截面依賴于中子與原子核的相對運動速度，因此需要在相對速度空間建立守恒方程。

2 數值計算方法簡述

表1 中心量與邊界量符號Table 1 Signs of center and boundary variable

3 物理模型

Randal S.Baker給出了動態假想流場［8］，半徑為17.25cm的球模型，材料為235U與238U的混合物，密度為15.0g·cm-3。兩種同位素核在U材料中所占的質量百分比隨時間變化的關系如下：

這里，CMOD是一個隨時間變化的分段函數，通過這個參量可以改變U同位素組份，進而改變系統反應性，以此表征和模擬一個動態系統，如圖1所示。

本文假設動態系統沿徑向方向向外運動，裂變系統的反應性不同，系統向外膨脹的速度也不同，如圖2所示，次臨界狀態下材料運動速度為0cm／μs，反應性達到最大時運動速度分別為30cm／μs、100cm／μs。速度隨時間變化的情況如下：

當0μs≤t≤2μs時，V=0cm／μs；

當4μs≤t≤5μs時，V=30cm／μs（或100cm／μs）；

當2μs≤t≤4μs時，V從0cm／μs到30cm／μs（或100cm／μs）線性增長；

當5μs≤t≤7μs時，V從30cm／μs（或100cm／μs）到0cm／μs線性減小。

圖1 動態系統的組份與臨界度參數Fig.1 Concentration／criticality variation on dynamic system

圖2 膨脹速度隨時間變化曲線Fig.2 Curve of expand velocity with time

4 數值模擬結果

在第二臨界點（t=7μs）附近，以該狀態下系統的穩態解作為末態條件，計算裂變鏈概率的時間、空間、能量、中子角方向聯合分布的動態演化過程，以歸一化的源分布為權重計算裂變鏈概率聯合分布的加權平均值，即一個中子引發的點火概率。計算公式如下：

源分布中裂變譜為Watt譜，空間均勻分布（rsource=rsphere），歸一化條件為：

DSNP程序分別調用方程（6）與方程（7），實現近似考慮流體運動影響和不考慮流體運動影響的數值模擬過程，中子引發概率的計算結果如圖3（a）、圖4（a）所示，對于中子引發概率本身而言，裂變系統進入超臨界狀態以后，直到反應性達到最大時（3～6μs的時間區間），當流體速度達到30cm／μs時，近似考慮流體運動的計算結果比不考慮流體運動的結果高約6%～28%，流體速度達到100cm／μs時，二者差異約為20%～80%；圖3（a）、圖4（a）中6μs后出現尖峰，原因在于此處接近第二個臨界狀態點，位于掃描計算的起始部分，中子引發概率計算結果本身較低，約10-5～10-4量級，導致差異偏大，但不影響向前掃描計算結果的穩定性。

工程應用中，中子引發概率的作用表現在對時間的卷積計算結果上，計算公式如下：

如圖3（b）、圖4（b）所示，到第二臨界點附近，當流體速度達到30cm／μs時，近似考慮流體運動的計算結果比不考慮流體運動的結果高約6%，流體速度達到100cm／μs時，二者差異約為24%；上述計算結果表明，是否考慮流體運動對計算結果的影響程度與流體速度有關，工程實踐中遇到的物理系統可能具有膨脹和壓縮并存的復雜運動形態，近似考慮流體運動的影響是必要的。

圖3 V=30cm／μs時中子引發概率和卷積結果及差異Fig.3 Probability and cumulative probability of initiation and difference of results at V=30 cm／μs

5 結論

由于中子與物質原子核發生碰撞是相對運動速度和能量起作用，本文首次在相對速度相空間建立考慮流體宏觀運動影響的中子引發概率微分-積分方程，該方程是普適的符合物理要求的。數值模擬結果表明，在流體速度與千電子伏中子運動速度（30cm／μs）相當時，近似考慮流體運動的中子引發概率與不考慮流體運動的結果相差近10%，如果外部加載較高能量導致流體速度更大（如接近100cm／μs），則中子引發概率計算結果的差別可能在20%左右。相對速度空間建立的理論方程和數值模擬程序，解決了考慮流體運動影響下的中子引發概率的求解問題，初步獲得了流體運動速度對中子引發概率計算結果的影響程度。

圖4 V=100cm／μs時中子引發概率和卷積結果及差異Fig.4 Probability and cumulative probability of initiation and difference of results at V=100 cm／μs

考慮流體運動的影響能夠得到更為準確的裂變系統的中子引發概率，特別是引發概率的時間積分結果，因此本文建立的理論方法和開發的程序應用于實際工程問題，將會提高對于裂變系統中子引發概率的模擬準確度。

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