旋轉機械徑向碰摩模型分析

何 青，李 展，李 紅

（華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京 102206）

導致旋轉機械轉靜子碰摩發生的原因一般分為制造、安裝、運行三個方面。如在制造中由于技術不精而造成的不對稱或者偏心，在安裝過程中轉靜子之間的間隙偏小，在運行中升降負荷過快、暖機時間過短都會使轉靜子發生碰摩。而碰摩一般分為徑向、軸向和組合碰摩三類。從目前的文獻中可以看出徑向碰摩發生的概率最大。所謂徑向碰摩就是指轉子的外緣與靜止部位發生接觸而引起的碰摩。它一般發生在轉子的動葉圍帶汽封上、軸端汽封、隔板汽封、油擋、軸承、擋汽片合密封瓦等部位。同時徑向碰摩又可分成局部碰摩和全周碰摩。當轉子在轉動中始終與靜子接觸是全周碰摩，否則為局部碰摩。相對于徑向碰摩來說由于軸向間隙一般比徑向間隙大，所以軸向碰摩和組合碰摩的發生率較低。

對于轉子與定子碰摩的研究主要包括理論實驗研究和現場故障排除研究兩類。其中理論實驗研究一般又包括碰摩模型的建立和基于模型基礎上的系統動力學行為分析兩方面。文獻［1，2］就研究了周期碰摩的渦動性和穩定性。文獻［3］又研究了次諧周期碰摩運動的響應特性。文獻［4］首先應用動量守恒定理對碰摩的機理進行了詳細闡述，然后又利用恢復系數，忽略轉靜子系統的彈簧阻尼力和系統碰摩后的位移提出碰摩的數學模型。文獻［5］也提出了適用于徑向局部碰摩的模型。文獻［6］等提出了單盤轉子系統的非線性動力學模型。文獻［7］建立了非線性彈性碰摩力模型。文獻［8］提出了非對稱轉子系統的碰摩力模型等等。目前碰摩的模型種類很多，但實際效果并不太理想。因為，一方面旋轉機械的種類繁多、結構差異較大，且在不同部位（密封、軸承、葉片等）、以不同方式（徑向或軸向、單點或多點等）、不同力學特性的靜、動件（材料特性異同、支承特性差異等）的碰摩的模型不盡相同。另一方面系統碰摩模型中參數很多，所以受環境、溫度等的影響較大，以致造成模型的精度較低。模型的精度又將直接影響動力學行為的分析，造成碰摩故障無法識別和排除，給實際生產造成重大損失。

本文基于轉子與定子徑向碰摩發生時的系統結構特征、發生部位和所含參數等不同，主要總結和分析了各類碰摩模型的優缺點和使用范圍，并對將來模型的發展和研究提出了合理的建議。

1 徑向碰摩模型分類

由于大型轉子系統本身是精密且復雜的非線性系統，再加上轉定子的碰摩一般為其他故障的間接結果，所以碰摩這種故障的分析方法必定也是多樣的。對不同的機構形式，從不同角度出發，可以建立不同的數學和物理模型。這些模型的使用對象和精度不盡相同。通過對目前使用的模型進行總結可以得出如圖1所示各類模型。

圖1 徑向碰摩模型的分類

2 物理模型

物理模型是建立在分析現象與機理認識基礎上的模型。描述的是對象系統“如何做”、“如何實現”的系統的物理過程。一個理想的物理模型的建立需要舍棄研究對象中的次要因素，抓住導致此問題的主要因素，以便用最簡單的方法解決問題。而轉靜子的系統結構形式不同勢必會造成它的物理模型的差異。一般根據轉子的支承是否是剛性的而把系統分為剛性支承的物理模型［9，10］和彈性支承的物理模型［11］。

（1）基于剛性支承的物理模型

剛性支承的物理模型如圖2和圖3所示，也是研究碰摩問題的最原始的模型。此模型大大簡化了實際的轉子系統，所以分析起來比較簡單。

從圖3中可知當轉子運動時的幾何中心偏移量O1O2的值大于轉靜子之間的間隙時碰摩就會產生。剛性支承結構簡單，分析方便，但是若一味的加固支承將會得到相反的效果。且現代研究表明應用彈性支承的物理模型更能反映現實的系統結構。因此，剛性支承相對于彈性支承來說，適合精度要求不高的初步分析。

圖2 剛性支承的結構圖

圖3 剛性支承的碰摩力圖

（2）基于彈性支承的物理模型

彈性支承的物理模型如圖4和圖5，定子的支承為彈性的，此時定子可以隨軸一起振動，它可以減少振幅，降低支承力，因此采用彈性支承是使超臨界機組運行安全可靠的有效設計途徑。從圖5中可以看出OO1和OO2分別為定子和轉子在運動時所產生的偏移量，當兩個偏移量之差大于轉靜子之間的間隙時碰摩現象就會出現。

圖4 彈性支承的結構圖

圖5 彈性支承的碰摩力圖

隨著振動力學的發展，文獻［8］等進一步考慮了轉子和定子之間的阻尼力作用即讓彈性支承的物理模型包含了轉靜子在運動中的能量耗散作用，且從實驗結果來看這時的模型更符合實際。它的物理結構模型圖如圖6所示。

圖6 彈性支承的阻尼結構圖

3 力學模型

簡單而準確有效的力學模型是對碰摩進行理論分析的基礎。徑向碰摩的力學模型一般包括法向力模型和切向力模型［12-14］。

3.1 法向力模型

根據求碰摩法向力時所應用的原理不同，法向力模型分為古典碰撞理論模型和動態接觸理論模型兩類。

3.1.1 古典碰撞理論模型

古典碰撞理論模型，就是運用動量守恒定理求出轉靜子之間的相互作用力。然后利用廣義沖量-動量方程和恢復系數方程來獲得碰撞后系統的運動狀態。但對多體系統碰撞問題釆用沖量-動量法時需要一些假設條件，且在非對心斜碰撞問題中，由于切向摩擦力的作用，僅采用恢復系數來表達系統前后速度的變化是不精確的。所以古典碰撞理論模型的使用有局限性。

3.1.2 動態接觸理論模型

動態接觸理論把碰撞過程微觀化，充分考慮碰撞過程中兩碰撞體之間的接觸時間、接觸變形和接觸力［12］。在此基礎上建立法向力模型時，不但要考慮是否完全表現了所要研究碰摩過程的主要特征，還要考慮能否有效分析轉靜子碰摩系統。動態接觸理論模型可以分為線性彈簧模型、基于Hertz理論模型、非線性彈簧阻尼模型。

（1）線性彈簧模型

當轉軸或圓盤與靜子發生碰摩時，如果我們采用分段線性彈簧來模擬法向上的相互作用力則徑向法向力［15］為

式中e——轉子的徑向偏移量，mm；δ——碰撞面的接觸變形量，mm；k——碰摩面的剛度系數，N／m。

此模型是上述假設分段線性彈簧模型的近似描述方程，此方程雖然簡單但準確性較差。且沒有考慮模型中線性彈簧的阻尼和剛度系數的選用等問題。文獻［16］提出了一種簡單常用的線性阻尼模型為

式中c——線性彈簧阻尼，N·s／m。

且在線形彈簧阻尼模型中要把碰撞過程看成一個單自由度振動模型。

（2）基于Hertz理論模型

轉子與定子碰摩系統是一類多參數、高維非光滑且強非線性系統，其動力學行為非常復雜。如果只在系統為線性的假設上建立模型，則難免產生誤差。假設碰摩系統滿足Hertz接觸理論條件，那么在此基礎上可以建立Hertz非線性碰摩力模型［17］。

文獻［18］提出當在轉靜子間相對速度小于0.5m／s的情況下，徑向法向力可以表示為

式中δ——轉靜子的徑向嵌入深度，mm；E1，E2——轉靜子的楊氏模量，Pa；R1——轉子的半徑，mm；v1，v2——轉靜子的泊松比；h——轉靜子之間的間隙，mm。

文獻［17］經過實驗驗證得出如圖7所示的Hertz非線性模型和線性剛度模型中徑向力Fn隨轉—定子嵌入深度之間的關系圖，在O-A段，Hertz非線性模型的法向力小于線性剛度法向力，在A點附近，此兩種模型的差別不太大，但隨著碰摩程度的加深，兩種模型的區別也增大。由于Hertz模型是以彈性接觸理論為基礎，通過引入Hertz接觸原理得出，因此在對嚴重碰摩的研究中使用Hertz碰摩力模型能減小誤差。

圖7 Hertz模型與線性模型的關系

（3）非線性彈簧阻尼模型

線性剛度模型和Hertz模型屬于建立在準靜態接觸理論基礎上的模型，它需要建立在特殊的物理幾何條件下且無法計算系統能量損失，所以適用范圍較窄，不具備通用性。鑒于此有學者提出了一種改進的Hertz理論模型即非線性彈簧阻尼模型，以求適應更寬的范圍。

文獻［19］首先提出了同時考慮法向力和法向阻尼的法向力模型為

文獻［20］在式（4）的基礎上提出具有非線性法向力的模型為

根據Hertz理論，q一般取3／2。

非線性彈簧阻尼模型采用一個非線性彈簧-阻尼來模擬系統，彈簧用來表示接觸過程中的彈性變形，阻尼用來模擬能量耗散。由于非線性彈簧-阻尼模型即考慮轉、定子接觸過程中的塑性變形又提供了一種合理的確定法向接觸過程中能量消耗的方法，因此被很多學者廣泛應用。

除此之外還有分段塑變模型和葉片與機箱碰撞力模型。分段塑變模型的特點是碰撞膨脹階段會產生不恢復的塑性變形，一般用于研究兩碰撞體之間有脆性材料墊存在時所用。這類模型的特點是碰撞膨脹階段與壓縮階段剛度存在一定的滯回，但不會產生塑性變形。葉片與機箱碰撞力模型主要用于飛機的雙轉子發動機的碰摩系統中。由于發動機中葉片尖端處有很高的線速度，碰撞能量較大，對轉子動力學行為的影響也大。所以需要建立一種專門的模型。以上兩種模型表達式都較為復雜，且應用范圍較窄。

3.2 切向力模型

切向力模型就是碰摩產生的摩擦力的計算方法，摩擦可能阻礙轉子系統的運動，產生能耗。碰摩的切向力模型目前一般分為線性庫侖力、鬃毛模型、非線性Hertz模型、黏性模型等。

（1）線性庫侖力模型

線性庫侖摩擦力模型是計算切向摩擦力時最常用到的模型。因為它的形式簡單，且可以取得不錯的近似效果。在具體計算時如果轉靜子系統處于滑移狀態則為

如果處于黏合狀態則為

式中μm，μn——靜摩擦系數和動摩擦系數；Fn——法向力，N；vr——相對轉靜子的相對速度，m／s。

式（7）中動摩擦系數一般可以根據不同的因素來進行估計。如果假設轉靜子的碰摩產生的熱全部轉化為熱能的話，文獻［21］提出了一種計算μn方法。文獻［22］也通過反復試驗得出一個較為統一的μn隨滑動速度變化的關系式。

（2）鬃毛模型

文獻［23，24］提出了一種計算切向力的鬃毛模型如圖8所示。此模型是用一組鬃毛來模擬轉靜子接觸表面上眾多的隨機分布的凸觸點。定義其摩擦力為

式中k——鬢毛剛度，N／m；S——鬢毛位移量，mm。

鬢毛模型是一種基于連續接觸觸動力學和大量的隨機行為模型，能很好地計算出摩擦力隨時間的變化，最重要的是切向摩擦力在接觸點黏合階段具有明確的物理意義和確定性。

文獻［25，26］在鬃毛模型的基礎上提出了LuGre模型如圖9所示。此模型采納了鬃毛模型建模的思想，但其與鬃毛模型不同，LuGre模型是基于鬃毛的平均變形來建模，而不是大量的隨機行為。LuGre模型的計算式為

式中k——剛性系數，N／m；z——鬢毛的均勻變形量，mm；c——阻尼系數，N（m／s）；μ——粘性摩擦力系數；v——兩表面之間的相對速度，m／s。

圖8 鬃毛模型

圖9 LuGre模型

LuGre模型能很好地描述轉靜子在尚未滑動時和靜摩擦與滑動摩擦轉換時的摩擦特點，因為它是利用鬃毛的平均變形來反映碰摩力的特征的，這一點比單純的鬢毛模型更有優勢。除此它能完善的描述各種碰摩特性，如預滑動位移，可變的最大靜摩擦力、摩擦滯后現象等等。

（3）非線性Hertz模型

由于碰摩現象是一種強非線性故障，而庫倫模型等畢竟是一種對碰摩的簡化描述。則這樣的模型一定會給計算結果帶來一些影響。

如果不考慮轉靜子系統碰摩的熱效應，再假設轉子與碰摩體間的局部碰撞變形為彈性變形，建立非線性 Hertz模型［27］為

式中μ——轉靜子的摩擦系數；Fn——法向力，N；vr——碰 摩 體 間 的 相 對 滑 動 速 度，m／s；B1，B2——相對速度影響系數，其值按系統的相關條件進行假設。

非線性Hertz模型充分考慮了碰摩的強非線性，高維性及其它相關因素。所以說此模型可以剛好的和碰摩現象向匹配，精確性更高。

除此之外，還有兩類比較特殊的切向力模型。那就是葉片與機匣的模型［12］和渦輪機摩耗模型［13］，前一種模型在法向力模型中也做了簡要的介紹。由于葉片的高速運轉，當它和定子碰撞時會產生高溫，以使葉片發生溶化進而熔化金屬（黏性流體）就會產生相應的剪切力。后一種模型是由于為了減少更換葉片的成本，而將可摩耗的材料作為機殼的內壁材料以使葉片保持完好。但這樣就會產生能量耗散，并由此推出切向力模型。但這兩種模型使用對象較為專一。

3.3 系統動力學模型

由于研究的側重點以及基于上面各模型的不同，系統碰摩的動力學模型一般分為約束系統模型和分段光滑系統模型［12，13］。

3.3.1 約束系統模型

假設碰摩過程是瞬間完成的，且定子固定而又忽略轉靜子的彈性變形量，僅通過恢復系數去描述碰撞后的速度和能耗變化，此系統為約束微分系統，其相空間中的流在碰摩處是不連續的，其對應的模型就是約束系統模型［28］。由于此模型不能直接反映轉靜子本身在碰摩面的物理參數變化，更適用于定性地研究碰摩系統可能出現的動力學現象，一次約束系統模型有局限性［29］。

3.3.2 分段光滑系統模型

如果認為碰摩的發生持續一定的時間，且碰摩力連續但非光滑?？紤]轉靜子碰摩時的能耗和變形，即當轉子與定子接觸時，剛度增大，反之減小。則此時其在相空間中的流是連續但分段光滑的，與之相對應的模型稱為分段光滑系統模型。為了對碰摩系統動力學模型進行更詳細的說明，再按支承是剛性和彈性兩種類型對分段光滑系統模型進行分類［13，14］。

（1）剛性支承系統模型

剛性碰摩的支承系統模型認為定子是非慣性的，根據碰摩面是否具有嵌入型形變而把剛性支承模型分為變形和非變形碰摩模型兩類，文獻表明 后 者 的 應 用 較 為 普 遍［30-32］。且 Wiercigroch［33，34］和文獻［12］都對此模型進行了相關的研究與總結工作，此模型為

式中m——轉子質量，kg；x，y——轉子水平和豎直方向

的位移，m；ks，kb——轉軸剛度和碰摩面（定子）的剛度，N／m；r0——轉子與定子之間的間隙，mm；r——轉子幾何中心的位移，mm；rd——碰撞處轉子的半徑，m；e——轉子的偏心量，mm；ω——轉子的轉速，r／min；ωw——轉子的渦動速度r／s；vr——碰摩處的相對線速度，m／s。當發生碰摩時Θ取1。

此模型比起彈性模型的形式更為簡單，所以使用范圍更廣。此外還可以根據所研究的對象包含的具體的因素如是否考慮重力、裂紋、陀螺效應、干摩擦失穩等進行適當的改變。

（2）彈性支承系統模型

彈性支承模型的實質是考慮定子具有慣性，更進一步可以根據碰摩面是否有嵌入型形變把彈性支承模型分為變形碰摩和非變形碰摩模型。由于慣性的存在系統的自由度數增加，在運算時非常復雜，所以在實際計算時很少選擇此模型。

4 討論

在徑向碰摩的物理模型中，彈性支承的物理模型考慮的因素即包含的參數較多，則它更符合實際的轉子系統。但剛性支承的物理模型所含參數較少，但計算較為簡單，所以更符合初步的計算和分析。在法向力模型中基于動態接觸的理論模型充分考慮了碰撞過程中兩碰撞體之間的接觸時間、接觸變形和接觸力等因素，所以它較古典碰撞理論模型更符合實際的系統，應用也較廣泛。而在動態接觸的理論模型中非線性阻尼彈簧模型的應用范圍和精度也較其他兩種模型更好。在切向力模型中線性庫侖力模型最簡單，可以用在精度不高的計算中，而鬢毛模型和非線性Hertz模型所含參數較多，相應的精度更高，可以用在精確的分析中。在系統動力學模型中分段光滑系統模型較約束系統模型來說更符合系統的實際運行狀況。而分段光滑系統模型中的基于彈性支承的系統模型雖然在精度上比剛性支承的系統更接近實際情況，但由于其自由度數太大，計算繁瑣，所以剛性支承的系統模型的使用率更高。

（1）對于法向力碰摩模型，主要從經典碰撞動力學理論出發，充分考慮動靜件的局部塑性變形、局部熱效應和摩損等因素，其中包含有準確給出各種法向碰摩力的正確形式以及選擇合理的符合現實的影響參數。把握主要影響參數去除次要的，從而構建適合特定碰摩條件下的碰摩模型。

（2）對于切向力碰摩模型，主要以經典庫侖摩擦理論為出發點，通過進一步的細化分析摩擦時動靜件的狀態變化，改進庫侖摩擦模型，研究在不同條件下的摩擦系數的精確選取，以求能準確反應摩擦過程中動靜件的不同運動狀態下（未接觸、黏合和滑移）的位移，速度以及受力的大?。?5］。

（3）對于系統動力學模型，努力建立能充分反應轉子和定子系統的各種的動力學特征的碰摩系統模型。這其中包含有合理的轉子和定子參與響應時的模態變化，能夠精確反映系統發生局部單點或多點碰摩等。

（4）要充分考慮在碰摩過程系統周的接觸介質的作用力變化（如油膜力、激振力、氣尖力等），除此還應該考慮碰摩時產生的熱效應和瞬時沖擊力大小等等。

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