非線性系統(tǒng)的奇異最優(yōu)控制問題

劉鎖銘 王秀紅

(魯東大學數(shù)學與統(tǒng)計科學學院,山東煙臺 264001)

非線性系統(tǒng)的奇異最優(yōu)控制問題

劉鎖銘 王秀紅

(魯東大學數(shù)學與統(tǒng)計科學學院,山東煙臺 264001)

討論非線性系統(tǒng)關(guān)于奇異二次型性能指標最優(yōu)控制問題的近似方法。基于李代數(shù)生成向量矩陣的方法,將非線性系統(tǒng)變換為線性非奇異系統(tǒng),進而利用參數(shù)攝動方法通過求解非奇異二次指標最優(yōu)控制問題的解得到原系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。

李代數(shù)法攝動法最優(yōu)控制奇異二次指標最優(yōu)控制

最優(yōu)控制理論對于與控制系統(tǒng)提供了解決的多類現(xiàn)代方法，因此它在線性控制理論中扮演著重要的角色例如，線性二次調(diào)節(jié)器和現(xiàn)行二次型高斯控制理論。利用最優(yōu)控制的一類線性系統(tǒng)可以大幅度減少最優(yōu)控制率的計算幅度。此外，它構(gòu)成了一個解決非線性最優(yōu)控制問題的有效方法，其中，李代數(shù)法已經(jīng)被應用于獲取非線性偏微分方程的最優(yōu)反饋率。此外，它構(gòu)成了一個有效解決非線性最優(yōu)控制問題的方法。應用這種方法可以計算最優(yōu)飛船了角動量，以及可以計算太空交通工具最小的燃料消耗。李代數(shù)法已成為最優(yōu)控制理論的一個重要的數(shù)學工具[1]。

1 問題描述

考慮一類非線性系統(tǒng):

這里x∈Rn，ui為標量，其中i=1,…,m

性能指標為:

t0和tf給定，Q為n×n維正定對稱矩，系統(tǒng)的矢量場f，gi，Φ(x(tf))平滑。

我們的問題是找到滿足條件(1)和(2)的u*使得性能指標J(u)最小。

眾所周知，我們?nèi)狈M一步的假設，這類問題通常通過最優(yōu)控制中的邦-邦控制來解決。

通過非線性系統(tǒng)(1)我們可以定義李代數(shù)，從而生成向量場。

即L是f的集合，這里我們可以定義:

這里我們定義Y][X,為

系統(tǒng)(1)的復雜結(jié)構(gòu)通過構(gòu)建L代數(shù)的方法可以解決此類最優(yōu)控制問題。解決此類困難的第一步是尋找一類簡單系統(tǒng)來近似替代系統(tǒng)(1)。Bressn和Hermes指出，在某些非限定條件下，一種系統(tǒng)仿射的形成，都可以通過構(gòu)造一個零階的局部近似的狀態(tài)方程與之相同。

2 最優(yōu)控制問題

為了解決第二節(jié)中的奇異控制問題，我們給(3)式中添加了一項kε

極小化了這個非奇異的泛函部分，對于εk當k→∞時limk→∞εk=0可以求出(3)式的最優(yōu)值。此時我們定義

εk≥0此時很明顯我們將最優(yōu)控制問題(1)轉(zhuǎn)化成為非奇異控制問題，通過極小值原理我們可以找到它的Hamiltonian函數(shù):

上式中p∈Rn是n×1維的伴隨矩陣。

對于(9)式的Hamiltonian 函數(shù)，我們可以得到

將1×m維輸出矩陣加入(10)式中我們可以得到

對于最優(yōu)控制問題(1)，(8)式是非退化的

根據(jù)最優(yōu)控制的必要條件我們可以得到

通過(13)式我們可以很明確的得到

我們也可以求得iy的一階導數(shù)為

并且

這里

由于

那么(16)式可以變?yōu)?/p>

以下是引理及其證明

引理1.令Y為一組向量并令p為它的伴隨向量。則

這里F在(17)式中被定義，并且我們可以沿著系統(tǒng)的軌跡來計算時間導數(shù)。

證明.:函數(shù)YpT沿著系統(tǒng)軌跡的時間導數(shù)是

通過引理，我們可以得到(19)式中iu可以進行二階求導

總之對于任意i=1,2,…,m 均有

令

表示最優(yōu)哈密頓函數(shù)，則我們將(11)式中),(pxH*替換

后成為最優(yōu)哈密頓函數(shù)。

3 解題方法及步驟

為了解決第三節(jié)問題(6)的最優(yōu)控制問題我們采取的步驟:

步驟1:選取一個初始值ε1≥0和一個控制函數(shù)。

步驟2:解決εk-問題(k初始值為1)，并產(chǎn)生一個極小的控制函數(shù)。

步驟3:令εk+1≤εk(例如εk+1=εk/10).設

回到步驟2。

當通過步驟2得到δε?k(δ為無窮小量)時停止運算，否則重復上述步驟。我們可以通過證明以下兩種假設來證明我們的方法正確。

假設1:定義(2)式中的Ω為一集合，iu為一標量控制(i=1,2,…,m )且。則，那么通過極小控制uk的到的性能指標J(u,εk)同樣屬于Ω。

引理2:對于k≥?(εk≤ε?)我們得到

這里u∈Ω且J0∈R1

也就是說),(kkuJε對于kε是逐漸遞減的。我們也可得出

證明:我們知道

另外，

證明:通過引理2，),(kkuJε是逐漸遞減的且有下確界(0J)，那么它一定會聚集于一點。

假設

這里u0被定義為

與(31)沖突，則意味著

但是，這意味著既然它單調(diào)遞減，則

因此，我們得到矛盾并且(30)式一定正確。

然而，我們必須承認這是一個通過使kε無窮小從而逼近近似解得好方法，但是我們?nèi)耘f無法從確定它的精確數(shù)值。

4 結(jié)語

我們考慮了一類非線性奇異最優(yōu)控制系統(tǒng)。我們通過加入無窮小量εk來使奇異最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化成為非奇異最優(yōu)控制。其中(25)式中構(gòu)建最優(yōu)控制方程u*成為最重要的步驟。它在解決開環(huán)最優(yōu)控制u*(t )的問題上起到了至關(guān)重要的作用。

[1]胡壽松,胡維禮.最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)[M].北京:科學出版社,2005.

[2]馮德興.奇異最優(yōu)控制的漸進分析.自動化學報第20卷第5期,1994年9月.

[3]杜振華,石明江,田芳.線性系統(tǒng)的奇異最優(yōu)控制方法研究.制造業(yè)自動化(610500).

[4]Daim-Yuang Sun,The solution of singular optimal control problems using the modified line-up competition algorithm with region-relaxing strategy,ISA Transactions 49(2010)106-1113.

[5]MARK ARDEMA Nolinear Singularly Perturbed Optimal Control Problem with Singular Arcs,Automatic.Vol.16,pp.99-104.

[6]Ton Geerts,All Optimal Controls for the Singular Linear-Quadratic Problem Without Stability,Elsebier Science Publishing Co,Inc,1989.

[7]R.E.奧馬利《.奇異攝動引論》.科學出版社,1993.