對“完全數(shù)”的思考

曾峻爵

完全數(shù)又稱完美數(shù)，指的是某數(shù)所有真約數(shù)（除了該數(shù)本身之外的約數(shù)）之和為該數(shù)本身（如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14）。在完全數(shù)簡潔特性的背后，有著豐富的內(nèi)涵與無窮的吸引力。

一、希臘人的錯(cuò)誤

從6、28、496與8128四個(gè)連續(xù)的完全數(shù)中，富于想象力的希臘人看到了一些有趣的現(xiàn)象：它們分別為1、2、3、4位數(shù)，而且尾數(shù)為6或8交替出現(xiàn)。由此希臘人推斷出，第n個(gè)完全數(shù)將是n位數(shù)，而且尾數(shù)是6或8，并交替出現(xiàn)。

遺憾的是，更多的完全數(shù)被發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)猜測也不攻自破。例如，第五個(gè)完全數(shù)是33550336，是8位數(shù)（而不是5位），接下來的三個(gè)完全數(shù)分別為8589869056（10位）、137438691328（12位）、 2305843008139952128（19位）。可以看到，完全數(shù)的位數(shù)在增多，而第30個(gè)完全數(shù)赫然是個(gè)13萬位數(shù)的龐然大物。同時(shí)假設(shè)二也不成立，第5、6個(gè)完全數(shù)的尾數(shù)都是6，并非以6、8交替出現(xiàn)。

二、完全數(shù)的特點(diǎn)

1.每個(gè)完全數(shù)都可用從1開始的連續(xù)奇數(shù)個(gè)正整數(shù)的和表示，如6=1+2+3。

2.除6之外，所有完全數(shù)都可用從1開始的連續(xù)奇數(shù)的立方和表示，如28=13+33。

3.一個(gè)完全數(shù)的所有約數(shù)的倒數(shù)和等于2。

歐幾里得對完全數(shù)進(jìn)行了一番研究，得出以下定理：

若 2p-1為素?cái)?shù)，則（2p-1）2p-1是完全數(shù)，公式為（2n-1）2n-1，當(dāng)n分別取2、3、5、7時(shí)，可分別得出6、28、496和8128 （前4個(gè)完全數(shù)）。

三、問題的提出

仔細(xì)審視上述公式發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)贸銮?個(gè)完全數(shù)時(shí)，n的值全是素?cái)?shù)，而此時(shí)的2n-1分別為3、7、31、127，也全為素?cái)?shù)。

在2000年后的18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家尤勒更進(jìn)一步地證明了該公式將給出全部的偶數(shù)完全數(shù)。于是人們不禁產(chǎn)生兩個(gè)疑問：

1.是否存在奇數(shù)完全數(shù)？

奇數(shù)完全數(shù)猜想：到目前為止，人們所知道的完全數(shù)都是偶數(shù)，且都形如2p-1。誰也未發(fā)現(xiàn)過奇數(shù)完全數(shù)，但也沒人能證明它不存在?？偟膩碚f，如果確實(shí)存在奇數(shù)完全數(shù)，它至少要滿足以下條件：

（1）至少能被8個(gè)素?cái)?shù)整除，其中最大的一個(gè)應(yīng)大于300000，次大的也要大于1000。

（2）若它不能被3整除，至少應(yīng)被11個(gè)素?cái)?shù)整除。

（3）它是12k+1或36k+9的形式。

另外還有人借助計(jì)算機(jī)證明了，在1050之下不存在奇數(shù)完全數(shù)，據(jù)說這個(gè)下限正漸漸地被往上推。

2.完全數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的還是無窮的？

對于這個(gè)問題，數(shù)學(xué)家們也進(jìn)行了不懈的探索。

（1）梅森數(shù)

由歐幾里得提出的定理可知：任意一個(gè)完全數(shù)都可以化為（2p-1） 2p-1的形式。歐幾里得之后約兩千年，法國數(shù)學(xué)家梅森畢生從事尋找2p-1型數(shù)（梅森數(shù)）。因?yàn)檎业綖橘|(zhì)數(shù)的梅森數(shù)，也就找到了完全數(shù)，所以梅森的目標(biāo)就是尋找2p-1型質(zhì)數(shù)（p也必然為質(zhì)數(shù)）。實(shí)際上他也找到了符合這種要求的數(shù)，如當(dāng)p=17、19、31、89、107……時(shí)的梅森數(shù)便是。

（2）“互完數(shù)”的提出

有了完全數(shù)，隨之出現(xiàn)“互完數(shù)”：即若m、n兩數(shù)中任意一個(gè)的真因數(shù)之和等于另一個(gè)數(shù)，則稱m和n為一對互完數(shù)。如220和284是一對互完數(shù)。

（3）“費(fèi)爾馬大定理”的形成

費(fèi)爾馬1640年10月18日在給弗雷尼克的信中提出了著名的費(fèi)爾馬大定理：

如果整數(shù)a不能被素?cái)?shù)p整除，那么ap-1-1能被p整除，常記為ap-1≡1（modp）。

當(dāng)n>2時(shí)，xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。如n不是素?cái)?shù)，梅森數(shù)也不可能是素?cái)?shù)；如n是素?cái)?shù)，則梅森數(shù)未必是素?cái)?shù)，但其素?cái)?shù)因子只能是2kn+1的形式。

四、我的假設(shè)和推論

我堅(jiān)信沒有奇數(shù)完全數(shù)，因?yàn)槲医鉀Q第一個(gè)關(guān)于完全數(shù)之謎與歐幾里得定理緊密相連，而對于第二個(gè)完全數(shù)之謎，我只是推論，由于費(fèi)爾馬所作的猜想不能推翻就成為了定理，所以我就斗膽推一推，如果沒有被推翻，那么第二個(gè)完全數(shù)之謎已解。

1.關(guān)于完全數(shù)的第一個(gè)推論

∵完全數(shù)定理已被提出，

假設(shè)：完全數(shù)=（2p-1）2p-1

∴任意一個(gè)完全數(shù)都可化為（2p-1）2p-1

∵2n為偶數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)

又 ∵1為奇數(shù)

∴（2p-1）為奇數(shù) ，2p-1為偶數(shù)

又 ∵奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

∴不可能存在奇完全數(shù)。

2.關(guān)于完全數(shù)的第二個(gè)推論

假設(shè)：質(zhì)數(shù)有無限個(gè)，

又∵ 滿足（2p-1）為質(zhì)數(shù)的p值有無限個(gè)，

∴完全數(shù)的個(gè)數(shù)有無限個(gè)。

所以關(guān)于完全數(shù)的第二個(gè)謎已解。（指導(dǎo)老師：謝延昭）