向量

閆曉慶

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。它既有“形”的直觀，又有“數”的抽象，是數形結合與轉換的紐帶，并廣泛應用于生產實踐和科學研究中。向量的應用是一種新的思想方法，新的探索問題的途徑，通過向量可以展示一種新的思維能力和創新意識。

向量作為工具研究幾何問題，開創了研究幾何為題的新方法，把幾何的直觀性與代數運算有機地結合起來，使直觀的幾何關系代數化，抽象的運算直觀化，這樣就使數與形有機地結合起來。運算是向量的靈魂，是連接數與形的紐帶，它建立了代數運算與幾何圖形之間的對應關系，使我們能夠通過代數運算來研究幾何問題。

下面就談談向量這把金鑰匙在幾何中的應用：

—、在解析幾何中的應用

向量法在解析幾何中的應用主要是通過建立直角坐標系，把幾何問題坐標化、代數化，利用代數法研究曲線性質。用向量法解決解析幾何問題的優越性在于將錯綜復雜的位置關系演化為純粹的代數運算。

運用向量方法解決解析幾何問題的一般步驟是：

（1）建立解析幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

（3）把運算結果翻譯成幾何關系。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設O為坐標原點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q。當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積。

向量法可以使問題簡單化，它為解析幾何問題開辟了一條新途徑，但是要對解析幾何中圖形的位置關系和數量關系進行認真分析，充分挖掘問題的向量背景。

二、向量在立體幾何中的應用

在學習平面向量的基礎上，選修2-1引入了空間向量，拓展了解決立體幾何問題的路子，大大降低了思維度。而用空間向量的方法解答立體幾何問題，關鍵在于根據圖形建立空間直角坐標系，將向量用坐標表示，再根據題目要求，通過向量的運算，判定或證明空間元素的位置關系。

例：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點。

由此可見，向量法處理立體幾何問題，思路明確，易于下手，避免了復雜的空間想象，降低了解題的難度，增強了可操作性，消除了學生的畏懼心理。

因此，向量確實是解決幾何問題強有力的工具。所以，在整個高中的數學學習中，如能學會用向量方法處理數學問題，這不僅可使相應問題的解法簡潔，而且反復地應用能幫助學生深入理解向量概念，熟練掌握向量的運算，更能學到數形結合、轉化變形等重要的數學思想，能明顯減輕學生和教師的負擔，同時為學生進入高校進一步學習高等數學打下良好的基礎。

因此，向量是解決幾何問題的一把金鑰匙。

編輯 王團蘭