基于小波分析的MEMS加速度計輸出噪聲消除

童姣葉，李榮寬，杜 微

（電子科技大學電子工程學院，成都611730）

基于小波分析的MEMS加速度計輸出噪聲消除

童姣葉，李榮寬*，杜 微

（電子科技大學電子工程學院，成都611730）

目前MEMS加速度計普遍存在信噪比低、靈敏度不高等缺點，其主要原因是系統(tǒng)內(nèi)部電路中的干擾與噪聲使得有用信號完全淹沒在噪聲之中，其中1/f分形噪聲是主要的噪聲。由于1/f分形噪聲在小波域中展示出某些特殊性質(zhì)，且小波分析兼具時-頻分析與尺度分析的功能，為了有效消除1/f分形噪聲，提出了一種基于小波分析與自適應(yīng)閾值濾波的多尺度濾波算法。以信噪比、均方根誤差作為去噪效果的定量指標，將本文算法與Donoho小波閾值濾波算法進行比較，仿真結(jié)果表明，改進的自適應(yīng)閾值濾波算法優(yōu)于Donoho閾值濾波算法。運用于MEMS加速度計噪聲消除上科學有效。

MEMS加速度計；1/f分形噪聲；小波分析；自適應(yīng)閾值濾波

自MEMS技術(shù)及IC工藝發(fā)展以來，MEMS加速度計以其簡單結(jié)構(gòu)、低成本和高精度在應(yīng)用范圍上迅速擴展。由于MEMS傳感器非常小，除通常的電子設(shè)備中的噪聲源之外，檢測質(zhì)量塊布朗運動產(chǎn)生的噪聲即分形噪聲（1/f噪聲）也會對加速度計輸出信號產(chǎn)生明顯的影響，而輸出噪聲會直接影響到加速度計的輸出精度。

1/f噪聲是一類具有自相似性、長相關(guān)性以及非平穩(wěn)性的隨機噪聲。其非平穩(wěn)性要求進行時間分析，而其自相似性卻要求進行尺度分析［1］。小波變換是時空頻率的局部化分析，在時域和頻域同時具有良好的分辨性，利用多尺度分析方法，可以在不同的尺度下觀測信號不同精度的局部特征。由于信號和1/f噪聲經(jīng)過小波變換后的統(tǒng)計特性不同，從而在多尺度分析中呈現(xiàn)出不同的傳播行為［2］，且小波分析可以把非平穩(wěn)過程分解成一系列平穩(wěn)過程，可以利用這一特性采用小波閾值消噪分別對每一個平穩(wěn)過程進行消噪［3］。但傳統(tǒng)的硬閾值和軟閾值消噪都存在一定的缺陷，如硬閾值去噪會因斷點而造成局部震蕩，軟閾值去噪會丟失奇異點信息等［4］。

本文將含1/f噪聲的信號進行多尺度正交小波分解，在各尺度上選取不同的閾值對細節(jié)系數(shù)進行濾波處理，濾除掉包含噪聲信息的系數(shù)，最后通過逆正交小波變換對濾波后的系數(shù)進行重構(gòu)，從而達到提取有用信號的目的。

1 算法原理

1.1 1/f噪聲模型與其性質(zhì)

本文指的1/f噪聲采用Mandelbrot與Van Ness建立的分數(shù)布朗運動（FBM）模型，因其在數(shù)學處理上的簡便性而成為統(tǒng)計自相似信號的一個最經(jīng)典模型。分數(shù)布朗運動BH(t)是一類非平穩(wěn)、零均值、高斯分布的隨機函數(shù)。其定義如下［4］：

式中：BH(0)=0，H指數(shù)稱為Hurst指數(shù)，代表自相關(guān)參數(shù)，且0＜H＜1。當H=0.5，分數(shù)布朗運動是維納過程，即為經(jīng)典的布朗運動。

分數(shù)布朗運動的自相關(guān)以及增量性質(zhì)如下：

式中：s,t∈R，

由式（2）可知，分數(shù)布朗運動BH(t)是非平穩(wěn)的隨機過程。式（3）是其增量的方差公式，直觀地反映了其在時間域的統(tǒng)計自相似性。由于BH(t)是非平穩(wěn)的隨機過程，因此并不具有通常意義上的功率譜，其經(jīng)驗形式的功率譜密度呈冪指數(shù)規(guī)律變化：

式中g(shù)=2H+1，表明分數(shù)布朗運動是以譜參數(shù)為1＜g＜3的1/f過程。

從統(tǒng)計意義上看，分數(shù)布朗運動以H參數(shù)自相似。對于任意實數(shù)a＞0，存在如下尺度關(guān)系：

1.2 1/f噪聲的小波變換特性

通過1.1節(jié)的描述，可以知道分數(shù)布朗運動可作為譜指數(shù)為1＜g＜3的1/f噪聲的模型。由于傳統(tǒng)的信號檢測理論如相關(guān)檢測、匹配濾波等都假定背景噪聲是平穩(wěn)的白噪聲，同時傳統(tǒng)的分析方法大多不能有效去除自相似及長程相關(guān)性，要從具有局部自相似及長相關(guān)性的1/f噪聲中檢測出有用信號，在處理上遇到了很大困難。小波變換是傅里葉變換的繼承和發(fā)展，具有時頻局部化、多分辨率和去相關(guān)性的特點，很適合處理1/f噪聲［4］。Wornell等研究了1/f過程的小波變換特性，發(fā)現(xiàn)其小波系數(shù)序列的特殊性質(zhì)，方便了1/f噪聲的分析與處理。

Wornell在文獻［1］中詳細研究了1/f分形信號二進制小波變換系數(shù)（j為尺度，K為j尺度上對應(yīng)點）的特性，并證明當基本小波的消失矩為R，且譜指數(shù)滿足：0＜g＜2R，則對任意兩個不同尺度間的細節(jié)系數(shù)的歸一化相關(guān)系數(shù)如下［5］：

上述性質(zhì)使得利用離散小波變換處理1/f噪聲變得有效、便捷，它能將1/f噪聲時間域上的自相似性變換到小波域的尺度上去，此時小波系數(shù)序列的長相關(guān)性與自相似性將被大大衰減。若選取高階消失矩的正交小波函數(shù)處理，可以認為其是不相關(guān)或者弱相關(guān)的，從而可以采用傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號處理方法對其小波系數(shù)做進一步處理［7］。

2 自適應(yīng)閾值濾波算法設(shè)計

Donoho在文獻［8］中提出了軟閾值的小波濾波方法從噪聲中恢復有用信號，該方法比較簡潔且計算量小，能滿足通常的消噪需求。假設(shè)信號的基本模型為：

其中，ti=i/n,zi是標準的高斯白噪聲且σ是噪聲水平，閾值為：，γ1閾值常數(shù)，軟閾值函數(shù)定義為：

對信號連續(xù)做多次小波分解后，由MEMS加速度計的有用輸出信號s(ti)所對應(yīng)的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大值，這些點對應(yīng)于原始信號s(ti)的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的值較小，對應(yīng)于信號的緩變部分；白噪聲zi所對應(yīng)的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加而減小［9］。文獻［10］指出各尺度下細節(jié)分量的自相關(guān)系數(shù)反映了噪聲與信號比重的大小關(guān)系，從而證明了噪聲分量開始較大，隨著分解尺度的增加迅速減小然后趨于穩(wěn)定，也就是說，在較低分解尺度上，噪聲引起的小波系數(shù)幅值很大，而在較高分解尺度上很小，這就需要小波閾值在較小分解尺度上取較大值，從而盡可能多地去除噪聲，隨分解尺度增加閾值迅速減小并趨于穩(wěn)定，從而保留更多的有用信號。

為此本文在在Donoho提出的軟閾值消噪方法的基礎(chǔ)上，本文提出了一種改進的方法，即在不同尺度j上自適應(yīng)選取不同的閾值，將閾值修正為式（11）其中a、b、c為調(diào)節(jié)因子，b＜0。

多次實驗發(fā)現(xiàn)，對于MEMS加速度計的輸出噪聲而言，當a=1.22，b=-1.16，c=0.29時，去噪效果較好。

基于小波分析的MEMS加速度計消噪按以下三個步驟進行：

①信號分解：選擇合適的小波基并確定分解尺度j，對信號進行多尺度正交小波分解，得到各尺度小波系數(shù)

②細節(jié)系數(shù)的閾值量化：按照式（11）選取各尺度閾值λj，采用式（10）的閾值函數(shù)對各尺度細節(jié)系數(shù)進行處理，處理后的細節(jié)系數(shù)基本可認為是由信號產(chǎn)生的。

由1.2節(jié)對1/f噪聲的小波特性分析可知，對1/f噪聲采用高階消失矩的小波基進行分解，其細節(jié)系數(shù)的均值為0，方差為σ2(2j)γ，因此對MEMS加速度計中1/f噪聲進行濾波時，應(yīng)將σ調(diào)整為σ=σ2γj/2。考慮到除1/f噪聲外，加速度計信號中還有高斯白噪聲，此時σ應(yīng)調(diào)整為，其中為高斯白噪聲的方差，這樣可將1/f噪聲和白噪聲同時濾除掉［11］。

③信號重構(gòu)：利用小波逆變換對處理后的系數(shù)進行重構(gòu)，即可得到去噪后的信號。

算法實現(xiàn)框圖如圖1所示。

圖1 1/f噪聲消除算法實現(xiàn)框圖

3 仿真實驗

為驗證上述去噪方案的有效性，在MATLAB 8.3平臺上進行了數(shù)值仿真實驗。1/f噪聲由文獻［12］提供的方法擬合生成，原始信號采用兩個不同頻率 f1=1 000 Hz,￡?f2=1 500 Hz的正弦信號之和：

于是輸入信號：f(n)=s(n)+x(n)+w(n)，其中x(n)為1/f噪聲，譜參數(shù)γ=2H+1=2.6，w(n)為高斯白噪聲，數(shù)據(jù)采樣點數(shù)為512。小波基選擇Daubechies10正交小波，最大分解尺度為4，根據(jù)式（11）算出每層的閾值分別為：λ1=138.356，λ2=100.378，λ3=97.245，λ4=96.841。

為了定量的分析改進算法的有效性，本文采用信噪比（SNR）與均方根誤差（RMSE）作為評價指標來檢驗改進算法是否優(yōu)于傳統(tǒng)的閾值算法，其定義式分別為：

式中，N為采樣點數(shù)，s（n）為原始信號，s^(n)為濾波后信號。SNR越大，RMSE越小，說明信號的整體去噪效果越好。本次實驗評價指標測試結(jié)果如表1所示。原始含噪信號信噪比為4.5 dB。

表1 濾波評價指標測試比較

表1表明本文算法比Donoho閾值濾波算法使得信噪比提高了8 dB左右，且均方誤差得到了一定的減小。

圖2為濾波前1/f分形噪聲、原始信號與疊加1/f噪聲后的輸入信號，圖3為采用Donoho提出的閾值濾波與本文改進閾值濾波后的信號圖形比較。

圖2 濾波前信號圖形比較

圖3 濾波后信號圖形比較

為驗證上述算法對MEMS加速度計輸出信號噪聲消除的有效性，在MATLAB 8.3平臺上，對本實驗室設(shè)計的MEMS加速度計BJ1表頭的輸出電壓進行多尺度自適應(yīng)閾值濾波處理。采集點數(shù)為705。計算各尺度閾值之前，先采用文獻［13］提出的1/f分形信號參數(shù)估計方法對輸出信號的1/f噪聲的譜參數(shù)γ及方差進行估計，估計值為γ=2.7，=5.3×10-8。加速度計輸出信號去噪前后圖形比較如圖4所示。

圖4 MEMS加速度計輸出信號濾波前后對比

4 結(jié)束語

在MEMS加速度計系統(tǒng)中，加速度傳感器以及測試電路引入的1/f分形噪聲影響了整個系統(tǒng)的精度與靈敏度。本文根據(jù)1/f分形噪聲的小波變換系數(shù)特性，提出了一種多尺度自適應(yīng)閾值濾波方法來消除1/f分形噪聲并恢復有用信號。本文先從原理上闡述了其可行性，并通過算法仿真驗證了它的有效性，最后再將該算法運用到真實MEMS加速度計輸出信號中，仿真結(jié)果表明，該方法行之有效。

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童姣葉（1990-），女，碩士研究生在讀，MEMS加速度計噪聲消除算法研究，369851431@qq.com；

李榮寬（1980-），男，博士，副教授，從事混合信號集成電路設(shè)計研究與教學，wilson2799@gamil.com。

MEMS Accelerometer Noise Elimination Based on Wavelet Analysis

TONG Jiaoye，LI Rongkuan*，DU Wei
（School of Electronic Engineering，University of electronic science and technology，Chengdu 611730，China）

The MEMS accelerometer has poor effects on SNR and sensitivity because desired signal is often flooded by interference and noise，especially by 1/f noise inside MEMS accelerometer system.Due to some special proper?ties showed by 1/f noise in the wavelet domain，time-frequency and scale analysis functions owned by wavelet analy?sis，wavelet analysis can be served as an effective tool for 1/f noise cancellation.An adaptive threshold filtering algo?rithm based on wavelet analysis is presented in this paper.The final results show that the proposed adapted thresh?old filtering algorithm has perspective of higher SNR and lower RMSE compared to Donoho threshold filtering algo?rithm and is effective on MEMS accelerometer noise elimination.

MEMS accelerometer；1/f noise；wavelet analysis；adaptive threshold filtering

TN911.4

A

1004-1699(2015)10-1503-05

??7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.10.015

2015-05-20 修改日期：2015-07-20