非線性壓電振動能量采集器的振動特性與實驗研究*

王光慶，張 偉，劉 創，楊斌強，廖維新

（1.浙江工商大學信息與電子工程學院，杭州310018；2.香港中文大學機械與自動化工程學系，香港999077）

非線性壓電振動能量采集器的振動特性與實驗研究*

王光慶1*，張 偉1，劉 創1，楊斌強1，廖維新2

（1.浙江工商大學信息與電子工程學院，杭州310018；2.香港中文大學機械與自動化工程學系，香港999077）

為了提高線性壓電振動能量采集器的輸出特性，在線性壓電振動能量采集器懸臂梁末端引入Duffing非線性磁力，構造了一種雙穩態非線性壓電振動能量采集器；綜合考慮能量采集器的動態振型與軸向應變分布情況，建立了系統非線性機電耦合集總參數運動控制模型，并利用4階、5階Runge-Kutta算法對能量采集器的非線性振動特性進行了數值模擬；利用諧波平衡法計算獲得了能量采集器的幅頻響應方程，數值分析了激勵頻率、激勵幅值以及磁鐵間距等對系統非線性振動特性的影響，發現雙穩態運動可以極大地提高能量采集器的頻率響應范圍和能量采集效率，并且能量采集器在低頻、低幅值激勵情況下可以產生大幅值周期運動；最后，通過實驗對數值計算結果進行了驗證。

壓電能量采集器；非線性振動特性；雙穩態行為；Duffing非線性磁力

壓電振動能量采集器是一種利用壓電陶瓷的正壓電效應將環境中的振動能量采集并轉換成電能的微機電器件，在微電子設備和微功耗器件中具有廣泛的應用前景［1］。典型壓電振動能量采集器的結構是由壓電陶瓷和金屬彈性體粘結而成的懸臂梁結構，該結構簡單、制造方便、與MEMS集成性好。但由于這種結構是一種線性系統，工作頻帶相對比較窄，難以與環境振動的寬頻和隨機特點相匹配；當壓電能量采集器的諧振頻率與環境振動源頻率不一致時，能量采集器不能產生諧振，其能量采集和轉換效率會大大降低［2］。最近研究表明，在線性壓電振動能量器中引入非線性磁力，使之構成雙穩態壓電振動能量采集器，可以實現在微弱激勵下的大幅值、寬頻帶的周期或非周期的高能軌道運動，從而實現能量采集器在非諧振狀態下的結構大變形，提高能量采集和轉換效率［2-3］。

Erturk［4］等將Duffing式雙穩態模型用于壓電振動能量采集器的分析與設計，通過理論與實驗研究了雙穩態壓電懸臂梁的響應和輸出性能，并提出了實現能量采集器作大幅值高能軌道振動的方法。Santon等［5］對雙穩態壓電懸臂梁進行了建模、數值計算和實驗研究，得到了多吸引子共存、混沌和大幅周期運動等現象，并指出在磁場的作用下，壓電能量采集器的振動勢能函數是一個與振動幅值有關的多項式。Mann等［6］利用磁鐵間的吸引力構造了一種非線性雙穩態能量采集器，并建立了能量采集器的數學模型，理論計算與實驗研究證明勢能阱逃脫現象可以大大拓寬能量采集器的響應頻帶。Gammaitoni［7］等研究了雙穩態非線性能量采集器的隨機共振機理，并指出合理選擇勢能阱函數的參數，可以大大提高能量采集器在弱環境隨機振動的能量采集與轉換輸出功率。Ferrari等［8］建立了雙穩態壓電懸臂梁的非線性方程，數值分析了懸臂梁在白噪聲激勵下的隨機共振幅值響應。孫舒等［9］研究了雙穩態壓電懸臂梁發電系統的動力學模型，并計算分析系統的響應特性，發現雙穩態運動可以提高系統的頻率響應范圍。崔巖等［10］建立了雙穩態壓電懸臂梁的數學模型，理論與實驗研究證實了雙穩態壓電振子能夠拓展能量采集器的諧振頻率范圍，并能提高能量采集器的低頻振動能量采集效率，但對能量采集器系統的動力學行為未做深入研究。由于非線性壓電振子的動力學行為比較復雜，且非線性模型的求解比較困難，如何從理論和實驗角度深入揭示非線性特性對壓電振動能量采集器性能的影響機理還缺乏統一的方法。此外，上述研究中未考慮能量采集器的動態振型和軸向應變分布對模型輸出性能的影響。

本文引入Duffing非線性磁力模型，構造了一種雙穩態非線性壓電振動能量采集器；綜合考慮能量采集器的動態振型與軸向應變分布情況，建立了系統非線性機電耦合集總參數運動控制模型，并利用4、5階Runge-Kutta算法對模型非線性振動特性進行了數值模擬分析；利用諧波平衡法計算獲得了能量采集器的幅頻響應方程，數值分析了激勵頻率、激勵幅值以及磁鐵間距等對系統非線性振動特性的影響，最后，通過實驗對數值計算結果進行了驗證。

1 雙穩態壓電能量采集器模型

本文研究的雙穩態壓電振動能量采集器是在線性懸臂梁壓電振動能量采集器的末端引入一對相互排斥的磁鐵對，如圖1（a）所示，永磁鐵A固定在懸臂梁的末端，永磁鐵B固定在距離懸臂梁自由端dr處，通過調節永磁鐵A、B之間的間距dr可以改變磁鐵排斥力FM的大小。當磁鐵間距dr無窮遠時，兩磁鐵之間的排斥力FM為零，壓電振動能量采集器系統變成線性系統；當磁鐵間距dr減小到某個值時，懸臂梁將出現三個靜平衡點，其中包括兩個穩定的靜平衡點和一個不穩定的靜平衡點，此時，系統表現出雙穩態現象。

圖1 雙穩態壓電能量采集器結構模型

圖1 中FN和FR分別為磁鐵排斥力FM在垂直和水平方向的分力。當在線性壓電振動能量采集器中引入兩永磁鐵后，根據磁場力的計算方法，兩磁鐵在垂直方向上產生的排斥力FN與磁鐵間距dr和懸臂梁末端振動位移x(t)有關，具體為［9］：

將式（2）所示的非線性磁力引入到圖1（a）所示的結構模型中，得到系統的集總參數模型，如圖1（b）所示。圖中M、C和K分別表示線性懸臂梁壓電振動能量采集器的集總等效質量、等效阻尼和等效剛度；α和Cp分別表示壓電陶瓷的機電耦合系數和等效夾持電容，u（t）和y（t）分別表示基礎和懸臂梁末端的振動位移，且x(t)=y(t)-u(t)，V（t）為負載電阻R兩端的電壓降。

圖2中等效參數為［11-12］：

式中，ρ、S、I和E分別為線性懸臂梁壓電振動能量采集器的平均密度、截面面積、截面慣性矩和平均彈性模量。e31和分別為壓電陶瓷的壓電常數和夾持介電常數，hs和hp分別為懸臂梁基板和壓電陶瓷的厚度。 βM，βK和 βα為與懸臂梁振型信息?(x)和軸向應變分布有關的待定系數，其中［11-12］：

根據圖1（b）所示的集總參數模型，建立系統的非線性運動控制方程，如下：

圖2 系統非線性勢能曲線

2 模型解分析

2.1 系統時域解分析

式（12）表示的非線性壓電振動能量采集器機電耦合方程可以利用微分方程求解器得到其時域解，本文采用4-5階龍格庫塔算法（Ode45）在MATLAB仿真軟件中求解獲得。

2.2 系統頻域解分析

采用諧波平衡方法對系統的頻域解進行分析，由式（10）可得：

式（20）是一個關于振動幅值A的6階非線性多項式表達式，該式存在1個或3個實數解。當存在3個實數解時，唯獨最大和最小的兩個實數解表示非線性系統是穩定可實現的，這意味著對于給定的外部激勵頻率和幅值，雙穩態壓電振動能量采集器具有兩個穩態的諧波振動。

同理，將式（16）和式（17）代入式（11）可得雙穩態壓電振動能量采集器輸出電壓的幅值為：

則雙穩態壓電振動能量采集器在一個振動周期內的平均輸出功率為：

3 系統非線性特性仿真分析

本文仿真參數取：

①壓電懸臂梁結構參數：平均密度ρ=7.844 1×103kg·m-3，截面面積 S=8.172×10-6m2，截面慣性矩 I=1.403 6×10-13m4，彈性模量E=7.001 8×1010Pa，α=7.143 7×10-4，Cp=70nF，懸臂梁長度L=60mm，

②磁鐵參數：mA=mB=0.93×106A/m，VA= VB=0.6×10-6mm3。

將上述參數代入系統模型計算得到：μ=0.04，r=1.174，θ=1.030 1×10-5，κ2=0.058 9。

3.1 時域響應特性分析

圖3是外部激勵加速度的頻率Ω=0.8，初始平衡位置X0=0.417 3時，非線性壓電振動能量采集器的末端振動位移X、輸出電壓v以及相圖等特性在負載電阻R開路條件下隨外部激勵加速度幅值（F=[0.02，0.08，0.20]）的變化情況。從圖3可以看出，隨著激勵加速度幅值的增大，非線性壓電懸臂梁能量采集器的末端振動位移、振動速度和輸出電壓都隨之增大。當激勵加速度幅值很小（F=0.02）時，由圖3（a）可知，由于能量采集器輸入的能量很小，不足以克服勢能阱的阻礙作用，能量采集器被限制在初始平衡位置（X0=0.417 3）附近作小幅值的單穩態周期振動（或低能軌道振動），導致能量采集器的末端振動位移、振動速度、輸出電壓等較小。此時，相圖是一個以圓心（0.417 3，0）的圓。當激勵加速度逐漸增大，能量采集器開始由單穩態的周期振動變成為多周期振動，進而出現混沌-小幅值周期的擬周期振動；當激勵加速度幅值增加到F= 0.08時，由圖3（b）可知，能量采集器在兩個勢能阱之間作大幅混沌振動，并產生奇異吸引子；如果繼續增大激勵加速度幅值到F=0.2時，能量采集器則由大幅不規則的混沌振動變為在兩個勢能阱間作大幅周期振動（或高能軌道振動），如圖3（c）所示。此時，能量采集器的末端位移、振動速度和輸出電壓等會大大提高，表現出大幅周期吸引子。

圖4是外部激勵加速度的幅值F=0.2，磁鐵間距dr=12mm，初始平衡位置X0=0.417 3時，非線性壓電振動能量采集器的末端振動位移、輸出電壓以及相圖等特性負載電阻開路條件下隨外部激勵加速度頻率（Ω=[0.4,0.8,1.6]）的變化情況。由圖4可以看出，當激勵頻率很小時，由于激勵遠離系統非線性諧振頻率，即使外部激勵幅值很大，也很難激勵能量采集器出現大幅值的振動，能量采集器只能在平衡位置附近作小幅值的周期振動。隨著激勵頻率的增大，能量采集器逐漸進入混沌振動（圖4（a））和大幅值周期振動（圖4（b））；當激勵頻率增大遠遠超過其固有頻率（Ω0=1.0）時，能量采集器又回到平衡點附近作小幅周期振動，如圖4（c）所示。由此可見，要使能量采集器的輸出特性增加，激勵頻率范圍并非越大越好，而是低頻范圍下出現大幅振動。

圖3 能量采集器末端振動位移X、輸出電壓V以及相圖隨激勵加速度幅值F的變化

圖4 能量采集器相圖隨激勵加速度頻率的變化

圖5和圖6是外部激勵加速度的幅值F=0.2，激勵頻率Ω=0.8時，非線性壓電振動能量采集器的相圖在負載電阻開路條件下隨磁鐵間距dr的變化情況。由圖5、圖6可知，當磁鐵間距dr在某個范圍內，系統才會發生大幅值的高能軌道振動；當磁鐵間距很小時，由磁力模型可知，系統中的非線性力很大，能量采集器很難有足夠的能量越過勢壘的阻礙作用作大幅振動，只能在平衡位置作小幅的周期振動，如圖5所示。當磁鐵間距趨于無窮遠時，磁力作用變為0，此時，雙穩態系統變為線性系統，能量采集器在中心平穩位置附近作小幅的周期振動，如圖6所示。

圖5 dr=10.5 mm時系統相圖

圖6 雙穩態系統與線性系統相圖對比

3.2 磁鐵間距的影響

圖7是外部激勵加速度的頻率Ω=0.8，負載電阻R=136K時，非線性壓電振動能量采集器的末端振動幅值在不同磁鐵間距條件下隨激勵幅值的變化情況。

圖7 不同磁鐵間距下采集器末端位移幅值隨激勵加速度幅值的變化情況

由圖7可知，系統末端位移幅值隨著激勵加速度的增加逐漸增加，但增加幅度逐漸減小。當磁鐵間距dr=14mm時，系統在外部激勵加速度幅值F=0.06發生跳變；當dr=12mm時，系統在F= 0.35發生跳變；當dr=11mm時，系統在F=0.66發生跳變。這是由于隨著磁鐵間距的增大，系統非線性磁力和勢壘均減小，系統克服勢壘的阻礙作用所需要的外部激勵能量減小。反之，當磁鐵間距減小時，由于系統需要克服較大的勢壘才能跳躍到高能軌道振動，因此，需要較大的外部激勵加速度；一旦系統跳躍進入高能軌道，則會產生較大的輸出性能。

4 對比仿真分析

本文將非線性雙穩態壓電能量采集器的輸出特性與線性壓電能量采集器的輸出特性進行對比分析。線性壓電能量采集器的無量綱化運動控制微分方程如下［14］：

式中變量定義與式（12）是相同的。并可得到線性系統末端位移幅值表達式：

式中C=Ω3-(κ2+θμ)，D=-(μ+θ)Ω2+θ

非線性雙穩態壓電能量采集器末端振動相圖與線性系統相圖的對比結果如圖6所示，可以看出，雙穩態壓電能量采集器較線性系統具有更高的位移、速度和電壓輸出特性。

5 實驗與驗證

非線性雙穩態壓電振動能量采集器實驗系統如圖8所示。雙穩態壓電振動能量采集器由線性雙壓電晶片能量采集器（尺寸：60×18×0.454mm，其中每片壓電晶片厚度為0.127 mm，諧振頻率為21.6 Hz）和一對永磁鐵（磁鐵體積600 mm3，磁矩0.93×106A/m）構成。雙穩態壓電能量采集器通過螺釘固定在激振器臺面上，信號發生產生固定頻率和幅值的正弦加速度信號，通過功率放大器后激勵激振器作正弦運動，臺面振動加速度通過加速度計進行監控，能量采集器的末端振動位移和速度則通過激光測振儀采集后，通過控制器送入計算機進行計算處理和分析；能量采集器的輸出電壓則通過示波器采集獲取。實驗過程中，磁鐵間距可以通過螺旋測微機構進行調節，系統初始平穩位置為8 mm。

圖8 雙穩態壓電振動能量采集器實驗系統

實驗中磁鐵間距dr=14mm，此時雙穩態能量采集器系統諧振頻率為16.2 Hz，實驗時選取激勵頻率 f=17Hz，逐漸增大激勵幅值，測量雙穩態壓電振動能量采集器不同激勵幅值下的影響特性。圖9為激勵幅值A=13m/s2時的實驗現象，此時系統在初始平衡位置作小幅周期振動。當激勵幅值增大到A=19m/s2時，系統發生幅值混沌運動，如圖10所示；若繼續增大激勵幅值A=24.6 m/s2，則系統由混沌運動變為大幅值的周期運動，系統振動幅值達到15 mm，振動速度達到1 500 mm/s，如圖11所示。此時，當若增大激勵頻率 f=23Hz時，由于激勵頻率遠離系統諧振頻率，系統恢復在初始平衡位置附近做小幅值的周期振動，如圖12所示。圖9～圖12的實驗結果與4.1節的理論仿真結果是一致的。

圖9 末端位移時域圖、相圖實驗結果（A=13m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖10 末端位移時域圖、相圖實驗結果（A=19 m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖11 末端位移時域圖、相圖實驗結果（A=24.6 m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖12 末端位移時域圖、相圖（A=24.6 m/s2，f=23 Hz，dr=14 mm）

圖13是激勵頻率 f=17Hz、激勵幅值F=8m/s時磁鐵間距dr對雙穩態壓電振動能量采集器輸出性能的影響實驗結果，從圖中可以看出，當磁鐵間距很小（dr＜11mm）時，由于此時磁鐵之間的磁力很大，能量采集器沒有足夠的能量越過勢壘做大幅振動，只能在一個平衡點附件做小幅周期振動，此時，系統末端輸出位移幅值比較小；當且僅當磁鐵間距在區間內dr∈[12,16]時，系統做大幅值的周期振動，并且表現為雙穩態特征；隨著磁鐵間距dr的持續增大，磁鐵間的磁力也持續減小直到為零，此時系統變為線性系統，其幅值輸出將比雙穩態周期振動時要小很多，這與4.1節的理論仿真分析是相符合的。

圖13 磁鐵間距對能量采集器末端位移的影響

圖14是非線性雙穩態壓電振動能量采集器分別在無量綱激勵幅值作用下的升頻、降頻響應實驗結果。可以看出，隨著激勵幅值的增大，系統的頻率響應幅值和作大幅值周期振動的頻帶寬均增大。由于非線性振動的影響，雙穩態能量采集器的頻率響應特性在升頻激勵過程中具有跳躍現象，這種現象容易使能量采集器由低能小幅值振動軌道瞬間進入高能大幅值振動軌道，從而極大地提高能量采集器的輸出性能。此外，從圖14中還可以看出，隨著激勵幅值的增加，不僅系統的振動幅值有所增大，而且系統出現跳躍現象的頻率點逐漸提前，這有利于擴寬系統的頻率響應帶寬。在降頻激勵過程中，能量采集器的頻率響應特性與升頻過程中的頻率響應特性存在滯后現象，這種現象主要是由于壓電陶瓷材料的遲滯效應引起的。

圖14 不同激勵幅值下的頻率響應曲線

6 結論

本文建立非線性雙穩態壓電振動能量采集器的非線性機電耦合運動方程，并能量采集器非線性振動特性進行了研究分析，仿真和實驗驗證了本文方法的正確可行性，得到如下結論：①引入非線性磁力模型，線性壓電振動能量采集器變成非線性雙穩態能量采集器，可以提高能量采集器輸出特性；②雙穩態壓電能量采集器存在三個初始平衡位置；增大激勵幅值，可以使非線性雙穩態能量采集器經歷：小幅值周期振動-多周期振動-擬周期振動-混沌振動-大幅值周期振動；③雙穩態壓電能量采集器存在跳躍、多解現象；在低頻范圍內會出現大幅值周期振動，且響應頻帶很寬；④磁鐵間距對系統輸出性能影響比較大，當磁鐵間距落在［12，16］之間時，系統做大幅值周期振動，出現雙穩態振動行為，有利于提高能量采集器的輸出性能。

致謝

本文在理論與實驗方面受到香港中文大學智能材料與結構實驗室的大力支持和指導，在此表示感謝!

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王光慶（1975-），男，博士，教授，主要從事傳感檢測與信號處理、壓電超聲驅動器、壓電振動能量采集器的理論與應用研究，kele76@163.com；

張 偉（1990-），男，碩士研究生，主要從事壓電振動能量采集和壓電超聲波電機方面的研究工作，510293991@qq.com。

Vibration Performances and Experiments of Nonlinear Piezoelectric Vibration Energy Harvester*

Wang Guangqing1*，Zhang Wei1，Liu Chuang1，Yang Binqiang1，Liao Weihsin2
（1.School of Information and Electronic Engineering，Zhajing Gongshang University，Hangzhou 310018，China；2.Department of Mechanical and Automation，The Chinese University of Hong Kong，Hongkong 999077，China）

In order to improve the output performances of the linear piezoelectric vibration energy harvester（PVEH），a bistable nonlinear PVEH was developed by adding a Duffing nonlinear magnetic force to a tip end of the linear PVEH.The governing motion of the nonlinear electromechanical lumped parameter of the bistable PVEH was derived with considering the dynamic shape and the axial strain of the cantilevered beam of the linear PVEH，a four or five order Runge-Kutta algorithm was used to analyze the dynamic behaviors.The frequency responding function was derived with the resonant balance method；the effects of the exciting frequency，the exciting amplitude and the distance between the two magnets were numerically studied.The research results have shown that the bistable mo?tion can not only improve the operating frequency wideband and the energy harvesting efficiency，but also easily make it move in a periodic large-amplitude orbit under a low exciting frequency and amplitude.At last，some experi?ments are carried out to testify the validity of the numerical results.

Piezoelectric energy harvester；nonlinear vibration characteristics；bistable behavior；Duffing nonlinear magnetic force

TH825

A

1004-1699(2015)10-1494-09

??2860A

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.10.014

項目來源：國家自然科學基金項目（51277165）；浙江省自然科學基金項目（LY15F010001，Y1080037）；浙江省教育廳項目（Y201223050）；浙江工商大學青年人才計劃項目（QY11-23）

2015-05-20 修改日期：2015-07-20