空間幾何體知識點解讀及考點分析

陳昕+李偉玉

一、知識點解讀

1.熟練掌握棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，熟練掌握圓柱、圓錐、圓臺以及球的結構特征。

2.空間幾何體的三視圖畫法要求：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側視圖（從左往右看，也叫左視圖）；正視圖和側視圖的高度一樣，俯視圖和正視圖的長度一樣，俯視圖與側視圖的寬度一樣。即正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬。

3.空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法，其基本步驟是：（1）畫幾何體的底面。（2）畫幾何體的高。

4.熟練掌握柱、錐、臺和球的側面積與體積公式的應用。

5.球的組合體常見結論及解法。（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長。（2）球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長。（3）球與正四面體的組合體：棱長為“的正四面體的內切球的半徑為√6/12a，外接球的半徑為√6/4a。

二、考點分析

考點l：空間幾何體的結構特征

例1 下列四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③四棱錐的四個側面都可以是直角三角形；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點；⑤直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐。其中真命題的序號是

。

解：對于命題①，顯然符合平行六面體的定義，①是正確的。

對于命題②，底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直，②是錯誤的。

對于命題③，如圖1，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD為矩形，容易證明∠PAB，∠PCB為直角，這樣四個側面都是直角三角形。

由棱臺的定義知，命題④是正確的。

當以斜邊為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，⑤是錯誤的。

答案為①③④。

跟蹤訓練1：下列結論正確的是（）。

A. 各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊繞旋轉軸旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側棱與底面多邊形的邊長都相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線

提示：顯然選項A、B、C錯誤。應選D。

考點2：空間幾何體的三視圖

例2 已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖2所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能是（）。

解：當正視圖為等腰三角形時，則高應為2，且高應為虛線，排除A，D。當正視圖是直角三角形時，Ff1條件得一個直觀圖如圖3所示，中間的線段是看不見的線段PA形成的投影，應為虛線。應選B。

跟蹤訓練2：一幾何體的直觀圖如圖4所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）。

提示：由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成。從上往下看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內部有一條線段連接的兩個三角形。應選B。

考點3：空間幾何體的直觀圖

例3 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為圖5所示的一個正方形，則原來的圖形是（）。

解：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為√2，所以原圖形為平行四邊形且位于y軸上的對角線長為2√2。應選A。

跟蹤訓練3：用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖6所示，邊AB平行于y軸，BC、AD平行于z軸。已知四邊形ABCD的面積為2√2 cm²，則原平面圖形的面積為（）。

A. 4 cm²

B. 4√2 cm²

C. 8 cm²

D. 8√2 cm²

提示：依題意可知么BAD=45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長與BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2√2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm²。應選C。

考點4：空間幾何體的表面積

例4 圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖7所示。若該幾何體的表面積為l6+20π，則r=（）。

考點5：空間幾何體的體積

例5 《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖8，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問：米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）。

A. 14斛

B. 22斛

C. 36斛

D. 66斛

考點6：與球有關的“切”“接”問題

例6 已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）。

A. 36π

B.64π

C. l44π

D. 256π

因為在點D由P到B的運動過程中，△ADE的兩腰長先減小后增大，所以△ADE周長也會先減小后增大，可排除B、D，但不是直線變化，可排除A。應選C。endprint