二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題相似構(gòu)造解的應(yīng)用及Matlab圖版分析

劉愛(ài)華，李順初

（1.樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山614000；2.西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都610039）

二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題相似構(gòu)造解的應(yīng)用及Matlab圖版分析

劉愛(ài)華1，李順初2

（1.樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山614000；2.西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都610039）

在二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題相似構(gòu)造解式的基礎(chǔ)上，首先利用相似構(gòu)造法求解Bessel方程和變型的Bessel方程邊值問(wèn)題的解，然后建立了均質(zhì)油藏的滲流規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，再將均質(zhì)油藏的滲流數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成變型的Bessel方程的邊值問(wèn)題，利用二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法求解均質(zhì)儲(chǔ)層滲流的數(shù)學(xué)模型.最后通過(guò)Matlab編程進(jìn)行圖版分析，展示實(shí)例的函數(shù)解.這將極大地方便試進(jìn)分析軟件的編制，也提高了石油工作者的效率.

Bessel方程；均質(zhì)油藏；Matlab編程；圖版展示

1 引言

2014年以來(lái)，許多學(xué)者分別對(duì)一些二階齊次線性常微分方程、可轉(zhuǎn)化為常微分方程的偏微分方程［1-9］的解進(jìn)行了探索，獲得了形如（1.1）式的二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的解的結(jié)構(gòu)和步驟.

其中D，E，F(xiàn)，G，H，a，b均為已知的實(shí)常數(shù)，且D/=0，G2+H2/=0，a＜b；已知函數(shù)

隨著微分方程解的理論的不斷發(fā)展和完善，其解法廣泛應(yīng)用于求解工程領(lǐng)域的相關(guān)模型和油氣藏滲流模型［10-14］.但以往求解各類(lèi)油氣藏?cái)?shù)學(xué)模型都是運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法，其求解過(guò)程相當(dāng)繁瑣和復(fù)雜，也給計(jì)算機(jī)編程帶來(lái)了很大的麻煩.

本文將運(yùn)用二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造解法求解均質(zhì)儲(chǔ)層滲流的數(shù)學(xué)模型，并利用Matlab編制出相應(yīng)的程序，用圖版展示其函數(shù)解.

若邊值問(wèn)題（1.1）有唯一解，則其解為：

求解具體步驟如下：

第一步 由二階線性齊次微分方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1（x），y2（x），作二元函數(shù)

并計(jì)算Φ（a）.

2 二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題解的相似構(gòu)造解法及圖版分析

2.1求解Bessel方程邊值問(wèn)題的解及圖版分析

根據(jù)二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造解法求解Bessel方程邊值問(wèn)題的解，首先根據(jù)Bessel方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解作二元函數(shù)，然后求出輔助函數(shù)，再根據(jù)系數(shù)和（1.3）式構(gòu)造其核函數(shù)，最后利用系數(shù)和（1.2）式求出Bessel方程邊值問(wèn)題的解.

是標(biāo)準(zhǔn)的0階Bessel方程，J0（x）、Y0（x）是其兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其中Jn（·）、Yn（·）分別稱(chēng)為n階第一類(lèi)、第二類(lèi)Bessel函數(shù).

利用Matlab編程作圖如圖2.1.

圖2.1 Bessel方程邊值問(wèn)題解的示意圖

由圖2.1可知，該函數(shù)在［1，4.1］∪［7.5，10］上單調(diào)遞減，在［4.1，7.5］上單調(diào)遞增，并在中部出現(xiàn)拐點(diǎn).

2.2求解變型的Bessel方程邊值問(wèn)題的解及圖版分析

根據(jù)二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造解法求解變型的Bessel方程邊值問(wèn)題的解，首先根據(jù)變型的Bessel方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解作二元函數(shù)，然后求出輔助函數(shù)，再根據(jù)系數(shù)和（1.3）式構(gòu)造其核函數(shù)，最后利用系數(shù)和（1.2）式求出變型的Bessel方程邊值問(wèn)題的解.

（2.2）式中，方程x2y′+xy′-x2y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為I0（x）、K0（x），（其中In（·）、Kn（·）分別稱(chēng)為n階第一類(lèi)、第二類(lèi)變形Bessel函數(shù)）.

作二元函數(shù)φm，n（x，ξ）=Im（x）Kn（ξ）+（-1）m-n+1Km（x）In（ξ），作輔助函數(shù)：

圖2.2 變形的Bessel方程邊值問(wèn)題解的示意圖

由圖2.2可知，該函數(shù)在［1，8］上單調(diào)遞減，當(dāng)x的值大于4.5時(shí)，函數(shù)值趨于0.

2.3求解均質(zhì)儲(chǔ)層滲流中的定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

對(duì)均質(zhì)油氣藏，可建立考慮井筒儲(chǔ)集、表皮效應(yīng)和三種外邊界（無(wú)窮大、定壓、封閉）條件下的試井分析模型.

圖2.3 S=1，RD=1000時(shí)的井底壓力分布圖

由圖2.3可知，在油氣井開(kāi)發(fā)初期和中期，井底壓力的變化主要取決于井筒儲(chǔ)存系數(shù)和表皮系數(shù)，外邊界條件對(duì)井底壓力無(wú)影響，壓力不出現(xiàn)峰值.

在油氣井開(kāi)發(fā)中后期，井底壓力同時(shí)受到井筒儲(chǔ)存系數(shù)和表皮系數(shù)以及外邊界條件的影響，外邊界對(duì)其影響起主要作用，其井底壓力之值滿足：外邊界封閉時(shí)的壓力值＞無(wú)窮大外邊界時(shí)的壓力值＞外邊界定壓時(shí)的壓力值.其顯著的特點(diǎn)是：在外邊界封閉時(shí)會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn)，隨后井底壓力將會(huì)不斷上升.

當(dāng)S=0，RD=1000時(shí)，通過(guò)Laplace數(shù)值反演變換，用Matlab編程得到井底壓力分布圖如圖2.4所示.

由圖2.4可知，在油氣井開(kāi)發(fā)初期和中期，改善井和污染井的井底壓力基本相同.井底壓力變化隨著參數(shù)團(tuán)井筒儲(chǔ)存系數(shù)和表皮系數(shù)之值的增大而緩慢增大，不出現(xiàn)峰值.

圖2.4 S=0，RD=1000時(shí)的井底壓力分布圖

在油氣井開(kāi)發(fā)中后期，井底壓力同時(shí)受到井筒儲(chǔ)存系數(shù)和表皮系數(shù)以及外邊界條件的影響，其井底壓力之值滿足：外邊界封閉時(shí)的壓力值＞無(wú)窮大外邊界時(shí)的壓力值＞外邊界定壓時(shí)的壓力值.和S=1基本相同.

文章將二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造解法用于求解Bessel方程和變型的Bessel方程的邊值問(wèn)題，其相似結(jié)構(gòu)解將為求解工程上相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型帶來(lái)極大的方便；然后利用相似構(gòu)造法求出均質(zhì)儲(chǔ)層滲流模型的無(wú)量綱儲(chǔ)層壓力和井底壓力，這種解法避免了復(fù)雜的求解過(guò)程，提高了石油工作者的工作效率；最后利用Matlab編程作圖分析，直觀展示了相關(guān)問(wèn)題的變化情況.

［1］李順初，伊良忠，鄭鵬社.微分方程定解問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，43（4）：933-934.

［2］劉愛(ài)華.求解一類(lèi)二階線性齊次微分方程邊值問(wèn)題的相似結(jié)構(gòu)法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，36（9）：663-666.

［3］李全勇，李順初，遲穎.常系數(shù)齊次線性微分方程組邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)［J］.四川兵工學(xué)報(bào)，2010，31（4）：126-129.

［4］Li Shunchu.The Similar Structure of Solution to the Boundary Value Problem for Second-order Linear Homogeneous Differential Equations（in Chinese）［J］.Journal of Xihua University（Natural Science Edition），2009，28（5）：40-41.

［5］鄭鵬社，李順初，張宇飛.一類(lèi)常微分方程組在封閉右邊界條件下的解的結(jié)構(gòu)［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，24（6）：88-90.

［6］李順初，吳小慶.二階線性齊次方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的幾個(gè)重要性質(zhì)［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，32（1）：23-26.

［7］陳宗榮，李順初.求解Bessel方程的邊值問(wèn)題的相似結(jié)構(gòu)法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，34（6）：850-853.

［8］廖智健，李順初.求解擴(kuò)展Bessel方程的邊值問(wèn)題的新方法-相似結(jié)構(gòu)法［J］.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，43（12）：975-979.

［9］李順初.一類(lèi)偏微分方程組的Laplace空間解的形式相似性［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，26（4）：83-86.

［10］李順初，鄭鵬社，張宇飛.均質(zhì)油氣藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22（4）：459-463.

［11］李全勇，李順初，李偉，等.基于解的相似結(jié)構(gòu)的均質(zhì)油藏滲流模型［J］.天然氣與石油，2011，29（2）：40-42.

［12］盛翠翠，李順初，郭麗潔.分形均質(zhì)球向流油藏的解的相似結(jié)構(gòu)［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，37（6）：136-139.

［13］徐文昭，李順初，鄭鵬社.分形均質(zhì)外邊界定壓油藏試井分析模型解及分析圖板：數(shù)學(xué)及其應(yīng)用［M］.北京：原子能出版社.

［14］范聰銀，李順初，董曉旭，等.基于相似結(jié)構(gòu)的算法設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展，2013，2（3）：107-113.

Application and analysis of Matlab programming of the similar structuring solution of boundary value problems of second-order linear homogeneous differential equation

Liu Aihua1，Li Shunchu2

（1.Departengt of Mathematics，Leshan College of Profession and Technology，Leshan614000，China；2.Institute of Applied Mathematics of Xihua University，Chengdu610039，China）

Based upon the similar structuring solution boundary value problems of second-order linear homogeneous differential equation，we first use the similar structuring solution to solve the boundary value problems of Bessel equation and modified Bessel equation，and then build mathematics models of seepage flow law in homogeneous reservoir and transform it into the boundary value problem of modified Bessel equation，and use the similar structuring solution to solve mathematics models.Finally，function solution is shown through a plate used Matlab programming examples.It is convenient to design well test analysis program and improve the efficiency of oil workers.

bessel equation，homogeneous reservoir，Matlab programming，plate display

O175

A

1008-5513（2015）04-0350-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.003

2015-04-02.

國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)項(xiàng)目（2008ZX50443-14）；西華大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科-應(yīng)用數(shù)學(xué)（XZD0910-09-1）.

劉愛(ài)華（1970-），碩士，副教授，研究方向：微分方程.

2010 MSC:34K13，34B15