非齊次樹上馬氏雙鏈的一個強極限定理

金少華，趙旋，王東

（河北工業大學理學院，天津300401）

非齊次樹上馬氏雙鏈的一個強極限定理

金少華，趙旋，王東

（河北工業大學理學院，天津300401）

樹指標隨機過程已成為近年發展起來的概率論的研究方向之一.強極限定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類非齊次樹上馬氏雙鏈的一個強極限定理.

非齊次樹；鞅；馬氏雙鏈；強極限定理

1 前言

樹指標隨機過程已成為近年發展起來的概率論的研究方向之一.強大數定律一直是國際概率論界研究的中心課題之一.文獻［1］研究給出了非齊次樹上馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理.文獻［2］研究了Cayley樹指標有限狀態非齊次Markov鏈的強大數定律和漸近均分割性（AEP）.文獻［3］首先給出了在可列狀態空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式，然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強大數定律，最后研究給出了二叉樹上有限狀態分枝馬氏鏈的強大數定律.文獻［4］研究了m根Cayley樹指標m階有限狀態非齊次Markov鏈的一些極限性質.文獻［5］研究了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.文獻［6］研究了一類非齊次樹上連續狀態馬氏泛函的若干強偏差定理.文獻［7］研究了馬氏雙鏈函數的一個強大數定律.利用該定律，本文給出了馬氏雙鏈從一個狀態到另一個狀態轉移概率的極限性質，推廣了經典馬氏雙鏈的極限性質.通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類非齊次樹上m重連續狀態非齊次馬氏鏈的強大數定律.

2 定義

設T是一個具有根頂點O的無限樹，｛Nn，n≥1｝是一正整數集，如果第n（n≥0）層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰，稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地，若對非負整數集N，用模m（m≥2）的同余關系對其分類得到模m的剩余類：

當n∈（i）時，令Nn+1=αi（αi均為正整數且不同時為1），i=0，1，2，···，m-1，就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示樹Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）層上所有頂點的子圖，Tn表示從O頂點到第n層上所有頂點的子圖.s（t）表示頂點t的所有子代的子圖.設S為有限集，令?=ST，F為?中所有有限維柱集生成的σ代數，P為可測空間（?，F）上的概率測度.

定義2.1設S1=｛1，2，···，N｝和S2=｛1，2，···，M｝為兩個可列集，｛Xσ，σ∈T｝為定義在概率空間｛?，F，P｝上取值于S1的隨機變量族，｛p（x），x∈S1｝是｛Xσ，σ∈T｝的概率分布.｛Yσ，σ∈T｝是定義在概率空間｛?，F，P｝上取值于S2的馬氏鏈，其轉移概率分布為｛ln（y1，y2），y1，y2∈S2｝，若｛Xσ，σ∈T｝和｛Yσ，σ∈T｝滿足

則｛Yσ，σ∈T｝為馬氏環境，｛Xσ，σ∈T｝是馬氏環境｛Yσ，σ∈T｝中的馬氏鏈，此時稱｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為馬氏雙鏈，轉移矩陣為：

3 主要結果及其證明

引理3.1設｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為如前定義的非齊次樹T上的馬氏雙鏈，｛fk（x，θ，y，α）｝是定義在S1×S2×S1×S2上的四元實值函數列，λ為一非零常數，令

則｛tn（λ，ω），σ（XTn，YTn），n≥1｝是一非負鞅.

定理3.1設｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝為如前定義的非齊次樹T上的馬氏雙鏈，令

若存在常數α＞0，使得

則

［1］金少華，盧芳，陳秀引，等.非齊次樹上馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理［J］.純粹數學與應用數學，2014，30（4）：331-340.

［2］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-McMillan theorem for nonhomogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2011，81：1883-1890.

［3］黨慧，楊衛國，高榮，等.二叉樹上分枝馬氏鏈的強大數定理［J］.純粹數學與應用數學，2013，29（5）：529-535.

［4］Shi Z Y，Yang W G.Some limit properties for the m-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80（15）：1223-1233.

［5］Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

［6］金少華，王東，王永生，等.關于樹上連續狀態馬氏泛函的一類強偏差定理［J］.數學的實踐與認識，2014，44（1）：212-217.

［7］宋明珠.馬氏雙鏈函數的一個強大數定律［J］.數學雜志，2012，32（6）：1105-1110.

A strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree

Jin Shaohua，Zhao Xuan，Wang Dong

（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

In recent years，tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper，through constructing a non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree is given.

non-homogeneous tree，martingale，double Markov chains，strong limit theorem

O211.4

A

1008-5513（2015）04-0331-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.001

2015-03-17.

河北省高等學校科學技術研究重點項目（ZD2014051）.

金少華（1965-），博士，教授，研究方向：概率論極限定理.

2010 MSC:60B12