插齒刀刃磨誤差及修正

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李 瑞 張維林

目前內(nèi)齒均由插齒機直接加工成形，插齒精度要求較高。插齒加工過程中由于刀具磨損或損傷，插齒刀經(jīng)常需要刃磨。刀具刃磨后能否有效保持刀具固有參數(shù)及精度，對加工零件精度有非常大的影響。因此，分析研究刃磨角度對齒形誤差的影響、適當修正齒形角，對提高插齒刀刃磨精度，保證加工質(zhì)量具有重要意義。

1. 插齒刀刃磨

插齒刀本身是一個變齒厚漸開線齒輪，其后面是漸開線螺旋面。標準插齒刀頂刃前角γ=5°，頂刃后角α=6°，而側(cè)刃前角各點是不相等的，頂刃處最大，越靠近齒根部其側(cè)刃前角越小，側(cè)刃后角約2°。插齒刀用鈍或切削刃損傷后，把前刀面磨成圓錐面并保證γ=5°。所用砂輪半徑小于圓錐面的曲率半徑，并將砂輪軸調(diào)至合適角度，才能磨出準確的前刀面，然后用此刀具才能加工出準確的漸開線齒形。

2. 插齒刀刃磨引起的齒形誤差分析

按照日常生產(chǎn)習(xí)慣插齒刀一般只刃磨前角，所以這里主要研究前角刃磨引起的齒形誤差。根據(jù)插齒刀設(shè)計原理，γ＞0°前刀面為圓錐面，與齒形表面（漸開螺旋面）的交線（切削刃）在基面中的投影已不是漸開線。如圖1所示，如以Ⅱ—Ⅱ截面中的漸開線齒形為基準，則齒頂在Ⅰ—Ⅰ截面中，齒頂厚度增大Δfa，同理齒根處厚度減薄Δff，相當于分圓壓力角減小，造成較大的齒形誤差。

如圖2所示，通過插齒刀前刀面的錐頂作端截面O―O，得漸開線CD，以O(shè)―O為極坐標平面（基面），令坐標軸O0Y通過漸開線起點C，得漸開線的極坐標方程為

圖1 刃磨前角引起的齒形誤差

圖2 插齒刀齒形誤差分析

式中，αy=arccos（rbo/ry）。

對于切削刃上任意點M，該點的半徑為ry，截面為Ⅰ—Ⅰ，離基面O－O 的距離為Δ b，則Δb=rytanγ。M點相對于M′點轉(zhuǎn)過了Δ?，其值為

則可推出切削刃上任意點M的極坐標方程

式中，K=tanγ·tanα0·tanαe/r0。

即為切削刃在基面上投影的方程式。如果插齒刀齒形表面的端面齒形角α0磨制成和齒輪分圓壓力角相同，則切削刃在端面的投影將和理論漸開線有較大的誤差。

3. 插齒刀齒形誤差計算

如圖3所示，AB是理論漸開線，它的分圓壓力角為α，基圓半徑為rb，CD為插齒刀切削刃的投影，插齒刀齒形表面的斷面分圓壓力角為α0，基圓半徑為rb0，為便于比較切削刃投影和理論漸開線誤差，將切削刃投影繞O0點旋轉(zhuǎn)ε，使兩線在分圓處重合，這時距離FB即為插齒刀頂圓處的齒形誤差，AE為基圓處的齒形誤差。切削刃投影曲線轉(zhuǎn)過ε在分圓處αyε=α0，ry= r0。按照以上結(jié)論可得切削刃投影G′點角坐標θ′y0=invα0―r0·K，理論漸開線G點的角坐標θ=invα。切削刃旋轉(zhuǎn)角ε=（invα0―invα）―r0·K，切削刃投影轉(zhuǎn)過ε角后方程為θ″y0=θ′y0－ε。故切削刃投影和理論漸開線差值（以弧度計）可表示為：

按圓弧長計可表示為Δfy=ry·Δθy，即在齒頂圓圓周方向的差值為Δfa= ra·Δθy，基圓處差值為Δfb= rb·Δθy。

實例計算插齒刀齒形表面的齒形誤差。預(yù)定插齒刀參數(shù)：α=20°，m=5，z0=20，ha=1，ra=57.05，γ=5°，α=6°。插齒刀齒形角未修正，故α0＝α，rb0=rb，αy0＝αy。

計算可得該插齒刀頂圓和基圓處的齒形誤差Δfa=―ra（ra―r0）·K =―0.026 9mm，Δfb=―rb（rb―r0）·K=+0.009 4mm。對插齒刀來說這樣大的齒形誤差是不允許的。而且插齒刀前角愈大齒形誤差也愈大。

4. 齒形誤差的修正

為減少刃磨前角帶來的齒形誤差，我們采用修正插齒刀齒形角的辦法，即修正齒形表面的端面齒形角，使插齒刀的齒形角和齒輪分圓壓力角不等。具體機理就是使刀具切削刃投影在分圓處的切線和理論漸開線的切線重合，這樣導(dǎo)出刀具齒面的原始齒形角。

如圖4所示，M是切削刃曲線上的任意點。根據(jù)微積分幾何，M點的切線和向徑之間的夾角Ψ為tanΨ= ry（dθ′y/dry），根據(jù)微積分原理和上述推導(dǎo)結(jié)論可得：

令在分圓處切削刃投影曲線的Ψ角等于理論漸開線的壓力角α，則Ψ＝α，αy=α0，ry=r0。即可得到tanα0=tanα/（1―tanγ·tanαe）。方程式為插齒刀齒形表面齒形角的修正值α0，修正后切削刃投影的分圓壓力角正好是α，符合加工齒輪要求，但齒頂和齒根處仍有微量誤差。

仍以前面插齒刀為例（α=20°，m=5，z0=20，γ=5°，α=6°），修正后的插齒刀齒形角為α0=2 0°1 0′1 4.5″，修正后的基圓

rb0=46.933 45mm，cosα0=0.822 67，cosαe=0.82 57，cosαb0=0.998 91，K= 0.000 067 556。故可計算出頂圓處的齒形誤差Δfa=―0.006 92mm，基圓處的齒形誤差Δfb=―0.007 565mm。

從計算結(jié)果可以看出，插齒刀齒形角未修正前頂圓和基圓處的齒形誤差Δfa=―0.026 9mm，Δfb=+0.009 4mm；修正后齒形誤差顯著減少，Δfa=―0.006 92mm，Δfb=―0.007 56mm。

圖3 插齒刀齒形誤差計算

圖4 插齒刀齒形角修正

從圖5可以看出，修正后的切削刃投影在齒頂和齒根處比理論漸開線稍為凸出，這使得齒輪的齒廓有微量的頂切和根切，起自然修緣作用，可使齒輪嚙合時減少干涉和噪聲，因此插齒刀的微量齒形誤差還是允許的。尤其對于新舊插齒刀正負變位量絕對值相差不大或變位量不大的插齒刀更為適宜，因為這樣修正后使齒頂和齒根的齒形誤差大致相等，插齒刀加工出的齒輪具有較高的齒形精度。

圖5 修正前后刀刃投影和理論漸開線比較

[1] 袁哲俊，等. 齒輪刀具設(shè)計[M].北京：新時代出版社，1983.

[2] 謝明，欽柯，等. 齒輪刀具[M].北京：機械工業(yè)出版社，1965.