起伏地形下二維密度反演成像的研究及應(yīng)用

連偉章趙承寶

（1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都 610059；2.中國石油天然氣管道工程有限公司，河北廊坊 065000）

起伏地形下二維密度反演成像的研究及應(yīng)用

連偉章1趙承寶2

（1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都 610059；2.中國石油天然氣管道工程有限公司，河北廊坊 065000）

同其它物探反演方法一樣，重力反演也存在多解性，尤其在起伏地形下，根據(jù)異常分布進(jìn)行反演的難度較大。重力勘探的前提條件是，研究對象與圍巖存在著密度差，去掉觀測值中與研究對象無關(guān)的影響，就可以獲得單純由研究對象引起的重力異常。本文用水平圓柱體作為理論模型，并用等效源法在起伏地形下進(jìn)行二維密度反演，主要模擬地形為山脊，并且運(yùn)用實際資料進(jìn)行驗證，取得了較好的效果。

反演 等效源 起伏地形 重力異常

1 引言

反演就是根據(jù)獲得的異特征、數(shù)值大小、分布情況，結(jié)合物性資料來獲得地下地質(zhì)體的形狀和空間位置。和其他地球物理反演問題一樣，重力反演的解也存在非唯一性，特別在起伏地形下，反演就更加困難。如果不改變包含在引力等位面內(nèi)的物質(zhì)總量，而重新分布其密度，使原來的等位面大小和形狀保持不變，那么在這一等位面上和等位面外的引力場不會發(fā)生變化［1］。在位場理論中，場和場源具有唯一的對應(yīng)關(guān)系，但實際觀測得到的重力場只是整個場的一部分，再加上觀測誤差和隨機(jī)干擾，使其對觀測值的解釋不可避免地出現(xiàn)多解性，即有多種可能的場源分布與觀測場在一定的誤差范圍內(nèi)對應(yīng)。與觀測場對應(yīng)的場源如果不是真正的場源，我們稱它為等效源［2］。馮敬英，煕周襄（1987）提出了將等效源法運(yùn)用于位場反演［3］，Emila（1973）提出了利用偶極線作為等效源進(jìn)行磁異常向上和向下延拓以及計算一階、二階垂向?qū)?shù)和振幅譜的方法［4］。在其它反演方法中，多解性造成解譯的困難，這里利用多解性來對位場進(jìn)行反演，用等效源的質(zhì)量分布成像，以突出有用信息，增加解釋手段。

2 等效源反演方法的基本原理

圖1 模型體的理論異常圖

圖2 質(zhì)量分布圖

與觀測場對應(yīng)的多個場源中，選擇一組最簡單的場源，例如按一定位置分布或不固定位置的點(diǎn)荷、線荷，使它們產(chǎn)生的場值在觀測面上與實測獲得的場值一致，利用這組等效源就可以很方便的做各種位場轉(zhuǎn)換。等效源法的特點(diǎn)可以歸納如下：（1）把各種繁雜的位場轉(zhuǎn)換，變成一個簡單的正演計算，計算過程簡單，便于統(tǒng)一處理；（2）不丟掉邊部測點(diǎn)，條件好的情況下，可以適當(dāng)外推；（3）對地形起伏較大的觀測面，作位場轉(zhuǎn)換的效果仍然較好；（4）由于等效源產(chǎn)生的場僅在觀測面內(nèi)與真實場源產(chǎn)生的場在一定誤差范圍內(nèi)吻合，因而用等效源進(jìn)行位場轉(zhuǎn)換，特別是向下延拓就必然只限于一定的范圍內(nèi)，而不是整個空間，這就是該法的局限性。

在重力反演中，通常我們一般選用模型體的埋深、產(chǎn)狀、大小、物性參數(shù)等作為最優(yōu)化反演參量，當(dāng)用多體模型時需要考慮的參量更多，這時參量太多，計算復(fù)雜，多解性也突出［5］。而且在地下地質(zhì)體很復(fù)雜時，往往需要取幾個簡單的模型體或直接取一個復(fù)雜的模型擬合該場源，這種情況下往往很難選到合適的模型體，如果沒有選到能適合的初始模型，會導(dǎo)致最后的結(jié)果有較大的誤差甚至是錯誤［6］。考慮到等效源可以將復(fù)雜模型簡單化，因而考慮在重力反演成像中利用等效源進(jìn)行反演，減少一部分由模型選擇帶來的誤差，簡化計算過程，并且根據(jù)等效源質(zhì)量分布圖來直觀反映地下密度體的情況［7］。

用等效源進(jìn)行反演成像時主要有以下幾個步驟：

（1）根據(jù)實際重力異常，初步推測產(chǎn)生異常的地質(zhì)體的大致范圍，并在這個范圍內(nèi)選擇一定數(shù)量的等效源；（2）設(shè)置每個等效源的初始參量作為初值，由于等效源選取得很簡單，所以參量也相應(yīng)變得簡單；（3）用最優(yōu)化方法進(jìn)行迭代，計算出每個等效源的質(zhì)量；（4）根據(jù)求得的等效源的質(zhì)量及其分布，用軟件作出等效源質(zhì)量分布圖，直觀反映場源的情況。

其中，求取等效源是等效源反演中的關(guān)鍵，下面將著重介紹等效源的求取方法。以水平圓柱體作為等效源模型為例，第i個等效源產(chǎn)生在第k個觀測點(diǎn)上的重力值為：

圖3 異常曲線圖

圖4 質(zhì)量分布圖

其中，（Δgmk）i表示第 i個等效源產(chǎn)生在第 k個觀測點(diǎn)上的引力場垂直分量； mi為第 i個等效源的質(zhì)量； R為等效源到地質(zhì)體距離；（xi，zi）為等效源的中心坐標(biāo)，（xk，zk）為觀測點(diǎn)坐標(biāo)，（i=1，2，…，n，k=1，2，…m）；共有n個等效源，m個觀測點(diǎn)，通常m≥n。

令：

則式（1-1）簡記為：

按照場的疊加原理，第k個觀測點(diǎn)上的引力場垂直分量應(yīng)為所有等效源產(chǎn)生在該點(diǎn)上的場值之累加求和，即為：

按等效源的定義，等效源產(chǎn)生在觀測點(diǎn)上的場值應(yīng)與觀測值相同，設(shè)實測值為g0，即已知測點(diǎn)有m個，可列出m個方程式如下：

上述方程組未知數(shù)為m1，m2…mn共n個，而方程式有m個，因mn，所以為一超定方程組，一般求其最小二乘意義下的近似解，即目標(biāo)函數(shù) Φ為極小的解m1，m2…mn。

從而歸結(jié)為求解多元函數(shù)的極值問題。這里我們采用解病態(tài)方程組效果較好的奇異值分解法直接求解式（3），從而得到等效源參量分布。

3 理論模型

對于一些截面接近圓形并且在水平方向上延伸比較長，如扁豆壯礦體、兩翼較陡的長軸向斜和背斜研究它們的異常時，在一定誤差范圍內(nèi)，可以把它們當(dāng)成水平圓柱體。對于無限長水平圓柱體引起的異常，完全可以當(dāng)作剩余質(zhì)量集中在中軸線上的物質(zhì)線看待［8］。本文就用水平圓柱體作為理論模型。在水平地形下設(shè)計五個大小一致，埋深相同，密度均勻分布的水平圓柱體作為將要反演密度體的理論模型。模擬水平地形水平圓柱體的中軸線x、z坐標(biāo)分別為（500，1200）、（500，1600）、（500，2000）、（500，2400）、（500，2800），模擬山脊水平圓柱體的中軸線x、z坐標(biāo)分別為（500，1200）、（500，1600）、（500，2000）、（500，2400）、（500，2800），半徑均為100，相對圍巖的密度差都為-2.67g/cm3。

首先正演出五個模型體的理論異常如圖1，a為模擬水平地形，b為山脊地形。由圖1可知：由于水平圓柱體質(zhì)檢的距離較小，各個圓柱體的異常相互疊加，從整個異常曲線辨別是哪種模型引起的異常。根據(jù)此異常分布很難給出模型的個數(shù)及反演參數(shù)的初值。我們根據(jù)理論異常做等效源反演。

首先，在深度為500，x為0-4000的范圍內(nèi)，從0開始以20為間隔設(shè)計201個等效源。用SVD解方程求出等效源的質(zhì)量分布，畫出質(zhì)量分布圖2，a為水平地形，b為山脊地形。由圖2看出，等效源質(zhì)量分布位置與理論模型的位置相吻合。根據(jù)等效源的質(zhì)量分布，做出異常曲線圖3，可以看出與模型產(chǎn)生的異常曲線一致。

4 實際資料處理與結(jié)論

實際處理要比理論模型復(fù)雜的多，一是因為數(shù)據(jù)采集過程中存在誤差，而是實際的地質(zhì)情況本身就非常復(fù)雜。現(xiàn)以某礦的一條剖面作為應(yīng)用實例。測線為南北走向，長20公里，點(diǎn)距為40米，把野外數(shù)據(jù)做各項改正后得到重力異常曲線，通過反演得到質(zhì)量分布圖4。由圖可以看出，反演得到的質(zhì)量分布圖與重力異常分布位置對應(yīng)。

通過對二維重力反演成像在理論模型和實際資料中的應(yīng)用研究，等效源法在二維密度反演成像中的效果在實際資料中得到了證實，在二維密度反演中，等效源反演要比一般方法簡便，計算速度快，并能有效提高解釋的精度。

［1］陳佩良，江玉樂.重力學(xué)教程［M］.地質(zhì)出版社，2005.

［2］江玉樂，雷宛.地球物理數(shù)據(jù)處理教程［M］.地質(zhì)出版，2006.

［3］馮敬英，周煕襄.等效源模型反演方法的效果［J］.成都地質(zhì)學(xué)院學(xué)報，1987（2）.

［4］David A. Emilia.Equivalent Source Used as An Analytic Base for Processing Total Magnetic Field Profiles［J］.Geophysics.1973.（38）：339-348

［5］曾華霖，闞筱玲，謝婷婷，等重磁勘探反演問題［M］.石油工業(yè)出版社，1991.

［6］鐘本善，周熙襄，沙椿，等效源法在重磁異常解釋中應(yīng)用的進(jìn)一步探討［J］.物探與化探，1986（3）：201-204.

［7］艾瑛，等效源重力反演成像的研究與應(yīng)用［D］.成都：成都理工大學(xué)，2013.

［8］羅孝寬，郭邵雍.應(yīng)用地球物理教程-重力［M］.北京：地質(zhì)出版社，1991.