例析函數含參問題中的分類討論與分段討論

魏國達

（福建省清流縣第一中學）

例析函數含參問題中的分類討論與分段討論

魏國達

（福建省清流縣第一中學）

在高中數學思想方法中，分類與整合思想是非常重要的思想方法之一。這種思想在解決有關含參的問題中更是顯出它的重要性。分類與整合思想有兩種形式：參數的分類討論與自變量的分段討論。學生在運用時往往混淆不清，特別是在整合的結果上分不清是取交還是取并。通過對例題的解析談談分類討論與分段討論。

數學思想；分類討論；分段討論

高中數學的七大數學思想中，分類與整合思想是很重要的思想方法之一。福建2015年《考試說明》中指出：“分類與整合思想不僅是解決數學問題的常用方法，也是其他自然科學和社會科學研究的基本邏輯方法，高考把分類與整合思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進行考查。”分類與整合思想方法應用于高中數學的各個章節中，特別是在分段函數與含有參數的函數問題中更是體現得淋漓盡致。在含有參數的函數問題中討論有兩類：對于參數的分類討論和對于自變量的分段討論，然而學生在對于是分類討論還是分段討論混淆不清,也不知如何整合結果。這里結合一些例題談談函數中含參問題的分類討論與分段討論。

一、對參數的分類討論

1.含參的函數問題中研究的對象是自變量時，若需對參數進行分類討論，且自變量的范圍在參數的每一種分類中都是完整的，這種討論方法為參數的分類討論法，其整合的結果為各類結果的并集。

解：（fx）的定義域為R

由f′（x）=x2-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2）=0得x=a或x=2

（1）當a＜2時，由f′（x）＞0得x＜a或x＞2，由f′（x）＜0得a＜x＜2，則（fx）的增區間為（-∞，a），（2，+∞）；減區間為（a，2）；

（2）當a=2時，f′（x）=（x-2）2≥0恒成立，（fx）的增區間為R，無減區間；

（3）當a＞2時，由f′（x）＞0得x＜2或x＞a，由f′（x）＜0得2＜x＜a，則（fx）的增區間為（-∞，2），（a，+∞）；減區間為（2，a）；

綜上：當a＜2時，（fx）的增區間為（-∞，a），（2，+∞）；減區間為（a，2）；當a=2時，（fx）的增區間為R，無減區間；當a＞2時，（fx）的增區間為（-∞，2），（a，+∞）；減區間為（2，a）；

注：本題研究的對象是自變量x，通過比較f′（x）的兩個值a 與2的大小，對a進行分類討論。在a的每一種情形中，都是在自變量x的范圍R上研究，則結果為各類結果的并集。

2.含參的函數問題中研究的對象是參數時，常用分離參數的方法。若參數不好分離，則對參數進行分類討論，且在每一類的討論中自變量的范圍保持完整不變。其參數所求的結論是各類結論的并集。

解：（fx）的定義域為（0，+∞）

（1）當a=0時，（fx）=x（x＞0）在（1，2）上為增函數，符合題意；

（3）當a＜0時，由（fx）＞0得x＜3a或x＞-a，（fx）的增區間為（-∞，3a），（-a，+∞），由題意得區間（1，2）是（-a，+∞）的一個子集，

注：本題研究的對象是參數a，由f′（x）≥0不好分離參數，則根據f′（x）=0的兩根-a與3a的大小關系分類，求出增區間，利用（1，2）是f（x）的增區間的一個子集解決問題。在a的每一種情形中，x的范圍（1，2）沒有變化，因而這是一個分類討論問題，參數a的取值范圍是三種情形結果的并集。當然此題也可由f′（x）≥0在（1，2）恒成立，用二次函數的圖象解決。

二、對自變量的分段討論

用分離參數的方法研究含參問題中參數的取值范圍時，若在分離參數的過程中要對參數的系數進行討論，即要把自變量的范圍分割成幾個小范圍進行求解時，則應對自變量采取分段討論的方式，其參數的結果應取每段結果的交集。

綜上：a的取值范圍為［-2，2］。

注：本題中分離參數時由于參數的系數x的符號無法確定，因而要對x的范圍進行分割處理，所以本題要對x進行分段討論。其參數的范圍是各段參數范圍的交集。

（1）當x=0時，0≤0恒成立，則a∈R；

三、分類討論與分段討論的區別與聯系

含參的函數問題中，不論研究對象是參數還是自變量，若以研究對象作為主體進行討論時，則是分類討論，其結論為各類結論的并集；若研究對象不動，以另一個對象為主體進行討論時，則是分段討論，其結論為各段結論的并集。以研究對象作為主體進行討論其實是對研究對象自己進行分段討論；研究對象不動，以另一個對象為主體進行討論時，其實是對另一對象進行分類討論。這兩種分類方法實際上是解決問題的兩種不同的思維途徑，它們之間是可以相互轉化的，如解決含參問題中求參數的范圍時，既可對參數分類討論，也可對自變量進行分段討論。

（1）當Δ=a2-4≤0時滿足條件，解得：-2≤a≤2；

綜上：a的取值范圍為［-2，2］。

注：此種方法結合二次函數的圖象與x軸的交點個數和對稱軸的位置進行分類，實際是在對參數a進行分類討論，其結果取各類結果的并集。但這種方法很容易由于考慮不周全而漏解。

例4.另解：由于f′（x）=cosx-a

總之，含參問題中都是圍繞著所求對象展開的，無論是對哪個量進行討論，分類的對象都要科學分類，且分類標準要統一，做到不重不漏，并能科學地研究、合理地整合結果。

·編輯 魯翠紅