關注課堂教學設計，培養學生思維品質

浙江省桐廬分水高級中學 馮 杰

關注課堂教學設計，培養學生思維品質

浙江省桐廬分水高級中學 馮 杰

思維品質是指個體在思維發展中表現的個性差異，又稱為思維的智力品質，它是個體智力水平最集中的表現。新課程改革后地數學課堂推行分層走班教學，其實質就是強調要更加關注不同層次學生的思維個性品質的培養。本文從多個課堂教學設計闡述學生的思維個性品質的挖掘與培養，以體現新課程改革的理念與內涵。

教學設計 思維品質 培養提升

老師常有這樣的困惑：題目講了很多，但學生經常做錯或者做不出，面對陌生的題沒有思路。誠然，出現上述情況涉及多方因素，其中課堂教學設計一環值得我們反思。數學課堂往往是知識由產生到應用的關鍵一步，即所謂的“拋磚引玉”，現實課堂上為了完成書本知識的傳授，我們經常例題繼例題的講，練習續練習的練，忽視了對學生數學思維品質的挖掘與培養，出現上述問題也就不足為怪。

新課程改革要求數學教學必須以提高學生綜合應用知識的能力和培養學生良好的思維品質為目標。這既是學生理解知識的必要前提，也是鞏固知識重要的心理條件，更是作為評價學生，如邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力、數據處理能力等具體數學能力的核心依據。因此，課堂教學設計中，教師應從傳統應試教育中走出來，必須更加注重學生良好的數學思維品質的培養。

一、開放課堂，做中學，培養學生思維的開放性與廣闊性

美國著名教育學家杜威批判傳統教育的形式主義，提倡“ 從做中學”，即指對某個經驗情境中的問題進行反復的、持續不斷的思考，其功能在于解決問題、排除疑慮、解答問題。其教育觀目的就是通過活動性、經驗性的課程和教學方法使學生掌握科學思維，如知識、技能。例如，立體幾何中垂直關系的復習課堂教學設計：

方案一：同學們，我們一起復習立體幾何中的垂直問題，有哪些垂直關系？定理與性質分別是什么？然后一一回顧。

方案二：給出一組垂直的定理與性質判斷題組，通過的練習達到復習舊知的目的。

方案三：拿出一個正方體模型，請同學們以“木匠”的身份截出每個面都是直角三角形面的三棱錐。

范例1：π如下圖，在三棱錐A1-ABC中，A1A ⊥平面ABC，∠ABC=2， A1A=AB=3。

問題：在此幾何體中，（1）共有幾個直角三角形（面）？（2）共有幾組互相垂直的平面？（3）你能找出A在平面A1BC上的射影嗎？

事實反饋，方案三的課堂設計更有效，凸顯了數學源于生活實際且具有豐富的問題背景內涵，給學生提供了一個廣域的思維開放空間，有效地激活學生數學知識，發展運用數學知識的意識和潛能，學生思維就能很快進入“茫茫”數學定理中尋找問題的答案。解決上述問題也就把已學知識進行了有效復習，接下去對問題進行拓展，以此進一步理解和掌握知識，提升學生空間思維能力和解決問題能力。

1.變換空間幾何圖形，如三棱錐換成三棱柱、四棱柱、四棱錐等，幾何空間位置關系刻畫更加豐富以求空間模型更具有代表性和綜合性。

2.改變空間幾何圖形內部結構特征，使問題圍繞目標，層層遞進。

練習1：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD ⊥平面ABCD，E為PB上任意一點。求證：平面ACE ⊥平面PBD

練習2：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=2，AD=2.求證AC ⊥PB。

練習3：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PDC⊥平面ABCD，∠BCD=π4，PB=PC=3，BC=2，AB=2.求證：DC⊥PB

練習4：請學生圍繞本節課題目動手改編一題，演繹（嚴格證明）題目的正確性。

練習2將練習1中的底面ABCD由菱形改編為矩形，PD⊥ 平面ABCD改編為平面PAD ⊥平面ABCD，結論改編為證明AC⊥PB，適當添加條件之后，對學生的能力要求進一步提高，解題中還包含了平面幾何基本原理，提升了學生知識整合能力。練習3再做改編，解題思路更加開闊。練習4對學生的開闊思維提出了巨大挑戰，體現了教育教學的人才觀不是框架而是不拘一格，不是灌輸而是點燃火焰。

把課堂還給學生，讓課堂煥發生命的活力，課堂是“精彩觀念誕生的地方”。唯有開放，才有可能產生新質，才有可能產生真實的成長。

二、加強數學思想方法滲透，“一題多變”，培養學生思維的發散性與聚合性

1.抓形揭數，加強數學思想方法滲透。華羅庚先生指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事非。”

范例2：已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點P（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線：（1）只y2=4x，有一個公共點；（2）有兩個公共點；（3）沒有公共點？

書本上直接給出解題過程，步驟甚多，不符合初學學生認知過程，需要教師在課堂教學中做出多層鋪墊。

設計思路：

首先，畫出下列直線和拋物線 ，歸納它們的位置關系并從幾何圖形中做出解釋。

練習1：畫圖并判斷下列直線與拋物線y2=4x 的位置關系。（1）y = x +1（2）y = x +2（3）y =- 6（4）y = x -1

其次，利用代數方程（組）分析方程的解與交點個數，進一步體會如何判斷直線與拋物線位置關系。

再次，呈現書本例題，問題迎刃而解。這道例題的認知教學中，正是“形”引導解題步驟逐漸明朗化，已形助數，抓形揭數的思想得到充分展現。

2.概念內化，在同化與順應中聚合學生思維。練習2：直線l：y=k（x-1）與拋物線x2=4y，分別求k的范圍。

（1）只有一個公共點（2）有兩個公共點（3）沒有公共點。

練習3：過（1，0）點，與拋物線只有一個交點的直線有幾條？

練習2將例題條件與結論互換。練習3讓學生體會例題中出現的直線與拋物線相交時只有一個交點的那條直線在練習2中為什么不見了，說明直線斜率是否存在時要注意討論，這對提升學生思維的嚴密性是非常重要的。

3.概念外延，“一題多變”，培養學生思維發散性。（1）直線與拋物線相離、相切問題。范例3：求拋物線y2=2x上一點到直線x-2y+4=0的距離最小值及該點坐標。

（2）直線與拋物線相交涉及知識點非常多，如弦長、弦中點、直線過定點、對稱問題等問題，這些問題也是高考的重點、熱點與難點，下面舉例說明。

范例4：

（1）過拋物線 y2=2x的焦點做傾斜角為450的弦AB，則AB的長度是多少？

（2）已知拋物線y2=2x截直線y=kx+b所得弦長為4，求b的值。

范例5： 求拋物線y2=-8x被點P（-1，1）平分的弦所在直線方程。

變式1：過點P（-1，1）作拋物線y2=-8x的弦，求弦的中點所在的軌跡方程。

變式2：若直線y=kx+b與拋物線x2=4y相交于A，B兩點，且|AB|=4

（1）試用k來表示b。

（2）求弦AB中點M離x軸的最短距離。

變式3：已知A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上兩點，且OP⊥OB ，證明：直線AB過定點（2p，0）。

變式4：若拋物線y2=x存在關于直線l：y-1=k（x-1）對稱的兩點，求實數k的取值范圍。

需要指出的是，這里的教學設計并不是一節課的內容，只是拋物線教學的整個知識模塊的教學構架，相當于拋物線教學策略的一個“頂層設計”，具體分解到每一堂課的教學任務及目標，需要教師補充細化以致豐滿整個知識教學體系。

三、關注一題多解與通法通則，培養學生思維的敏捷性與靈活性

AB2=BM2+AM2-30cos∠AMB

AC2=CM2+AM2-30cos∠AMC

∴AB2+AC2=2·（9+25）=68

思路3：根據向量加減法法則可得，

思路4：如下圖建立平面直角坐標系。

設B（-5，0），C（5，0），A（x，y）。

根據AM=3，BC=10帶入計算即得。

范例7：（2013浙江，理7）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足PB=AB，且邊AB上任一點P，有

則（ ）

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

方法一：利用平面向量數量積的定義

方法二：根據向量的線性運算

方法三：建立坐標系利用坐標運算，如下圖建立直角坐標系，

設A（a，0），B（b，0），C（0，c），P（x，0）（a≤x ≤b ）。

平面向量數量積的計算一般從三個角度考慮，一是直接利用定義，二是利用向量的線性運算（幾何），三是建系通過坐標進行運算（代數）。這幾種運算均可以看作數量積運算的通法通則，具體選擇哪種運算要根據具體的問題及實際的計算難易。教學設計中，學生不斷體會這類問題的通法，遇見此類問題就不會沒有思路。一題多解對學生思維的靈活性培養是很有效果的，一題多解包含了“通法通則”，它是一題多解的深層次提煉。需要注意的是，教師要依據學情把握好度與量的關系，不去一味追求各種巧解妙解，“通法通則”明確化更加有助于學生培養學生思維的敏捷性與靈活性。

四、矯正錯誤原因和解法，培養學生思維的批判性與深刻性

只有教師平時更加關注課堂設計并引導學生在學習中提升自己的思維品質，我們的課堂改革才算邁出一大步。我們也經常反思自己：衡量一位教師是否優秀的標準是什么？應該是給學生成長與成才創造一個好的平臺，而這個平臺往往就在課堂上，在教學設計中。

∵α∈（0，π） ∴2α∈（0，2π）

∴cosC =cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=-（cosAcosB- sinAsinB）

兩例是三角恒等變換里的常見題目，學生出錯率很高，究其原因，主要是忽視了題目中三角形、三角函數值與角度之間的相互約束關系，按部就班地完成解題，這就是典型的經驗主義。師生應該把出錯原因進行全方位呈現、分析與矯正，以此提高學生思維的批判性與深刻性。

五、提升學生自主反思意識，培養學生思維獨特性與創造性

“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。教師要在解題易錯處，情感體驗處進行方法總結，因為整個解題過程并非僅是一個知識運用、技能訓練的過程，而是一個伴隨著交往、創造、追求的綜合過程，是學生整個內心

［1］馬 復.設計合理的數學教學 ［M］.北京：高等教育出版社，2003.08

［2］曹一鳴.數學教學論［M］.北京：高等教育出版社，2008.06

［3］張 雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2003.08

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［5］沈新權.中學生天地（C版）［M］.杭州：浙江教育報刊總社，2014.01

ISSN2095-6711/Z01-2015-11-0140