基于周期-擺幅測量的擺式陀螺全方位快速預定向方法

陳河，張志利，周召發，趙曉楓

（第二炮兵工程大學，陜西西安710025）

基于周期-擺幅測量的擺式陀螺全方位快速預定向方法

陳河，張志利，周召發，趙曉楓

（第二炮兵工程大學，陜西西安710025）

為克服目前國內擺式陀螺尋北儀難以實現全方位尋北的不足，通過對其大偏北角運動規律的分析提出了一種基于周期-擺幅測量的全方位快速預定向方法，通過測量擺動周期和擺幅計算偏北角；分析了轉子轉速對預定向時間的影響，以及各參數誤差對預定向精度的影響，并對提出的方法進行了初步試驗驗證。理論分析和試驗結果均表明，通過降低轉子轉速可以有效縮短擺動周期，在65 s內實現全方位預定向，精度在5°以內，滿足后續尋北過程的精度要求。

兵器科學與技術；擺式陀螺尋北儀；大偏北角；全方位尋北；周期-擺幅測量

0 引言

陀螺尋北技術自主性強，精度高，不依賴外界信息，可全天候使用，在軍事和民用領域得到了廣泛應用。其中，捷聯式陀螺尋北儀尋北時間3～5 min，精度1′～3′，主要應用于對尋北速度要求較高而精度要求不高的場合［1］；而擺式陀螺尋北儀尋北時間一般在10 min左右，精度可達5″以內，廣泛應用于對尋北精度要求較高的場合，如大地測量、礦山測量、科學實驗等民用測量領域，以及火炮、導彈、航空航天等軍事測量中［2］。國外以德國Gyromat-2000為代表的先進擺式陀螺尋北儀能實現任意初始架設方位全自動快速高精度尋北［2］。國產同類儀器雖然已經實現自動化，尋北精度也與國外儀器相當，但對初始架設方位要求嚴格，需要采用磁羅盤概略定北；磁羅盤定向易受環境磁場影響，難以保證可靠性［3］。為了克服上述問題，文獻［4］提出利用檢測陀螺力矩進行全方位預定向，能夠實現-90°～90°任意方位粗尋北，但還不能實現全方位（-180°～180°）尋北，且微小力矩量的檢測也比較困難；文獻［5］將步進迭代法應用于全方位預定向，并對步進策略進行了優化，但該方法中對步進時機的判斷比較困難。

擺式陀螺運動規律是尋北方法研究的基礎。由于大偏北角情況下陀螺運動方程為非線性微分方程，研究起來比較復雜，目前對其大偏北角運動規律的理論和試驗研究都很少［6］。只有文獻［6］運用李雅普諾夫穩定性理論分析了其尋北穩定性，文獻［7］對其大偏北角運動規律進行了數值仿真，文獻［5］用正弦曲線對運動方程的數值解進行了擬合。上述文獻對擺式陀螺的全局運動規律進行了分析，但未得到方程的解析解或近似解析解，不利于分析運動規律隨結構參數的變化規律。相應地，對尋北方法的研究也大都以小偏北角運動規律為基礎，研究真北附近的快速粗尋北和精尋北［8-10］，而缺乏對其任意初始架設方位下的全方位快速預定向方法的研究。

本文首先利用歐拉動力學方程建立擺式陀螺大偏北角運動方程，然后根據相平面法分析其全局運動規律，運用牛頓-諧波平衡法求得周期擺動的近似解析解；根據得到的解析解提出采用周期-擺幅測量法實現全方位快速預定向，并對其效果進行了詳細討論。

1 擺式陀螺大偏北角運動規律

1.1 擺式陀螺運動方程

如圖1所示，陀螺靈敏部由陀螺房、陀螺轉子和懸掛柱組成，它通過懸掛帶懸掛于儀器的殼體上，處于自由懸掛狀態。懸掛帶長為l，靈敏部重心為G，懸掛帶與陀螺房接觸點為O1，G與O1的距離為a，與轉子中心O2距離為d.尋北時轉子軸偏離真北的水平角為α（逆時針為正，-180°～180°），俯仰角為β（逆時針為正，0°～90°），懸掛帶與鉛垂線夾角為γ，尋北點的緯度為φ.

圖1 陀螺靈敏部力學模型Fig.1 Mechanical model of pendulous gyroscope

圖1中坐標系Oξηζ（OENZ）為固連于地球的地理坐標系，Oξ（OE）指向東，Oη（ON）指向真北，Oζ（OZ）指向天頂；坐標系Oxyz，原點為O，z軸沿陀螺房對稱軸指向上，y軸與轉子自轉角動量方向一致，x按右手法則確定。根據歐拉動力學方程，忽略次要因素，可得陀螺靈敏部運動方程［5-7］如下：

式中：H為轉子自轉角動量；ωe為地球自轉角速度；m為靈敏部質量；g為重力加速度；αn為懸掛帶扭矩為零時的方位角；DB為懸掛帶扭力系數；KD為阻尼系數。

該方程為平面自治系統。由于空氣阻尼很小，忽略KD

［7］.將方程（1）式中一式的β代入二式，令DK=Hωecosφ，K=DB/DK，得α滿足方程

β滿足方程

由（2）式求得α，代入（3）式可求得β.偏北角α較小時，（2）式可近似為線性方程，這是目前研究的比較多的一種情況；而α較大時，方程為非線性方程，目前研究的比較少。

1.2 相平面分析及全局運動規律

由（2）式知α的平衡位置α*滿足

由（4）式可知偏北角α的平衡位置α*的個數和數值取決于K和αn，且沒有一般的解析解。如圖2所示，α*為y=sinx與y=-K（x-αn）的交點。當0＜K＜1時，平衡位置的個數不僅與K有關，還與αn有關，情況比較復雜；當K≥1時，只有一個平衡位置。

圖2 偏北角平衡位置情況示意圖Fig.2 Equilibrium positions of α with different K

勢能函數為

1）若K≥1，對（5）式中恢復力函數有

由（7）式可知恢復力函數單調遞增，且f（α*）= 0，則x＜α*時，f（x）＜0；x＞α*時，f（x）＞0.于是x＜α*時，u（x）單調遞減；x＞α*時，u（x）單調遞增。α*為u（x）唯一極小值點，則可得勢能函數及相軌跡如圖3（a）所示，可見靈敏部繞其平衡點作周期性擺動。由于u（x）關于x=α*不對稱，靈敏部在平衡點左右的擺動并不對稱。值得注意的是，在這種情況下，平衡位置不一定在真北附近，如對某陀螺樣機，m=2.0 kg，g=9.8 m/s2，a=0.12 m，H= 0.19 kg·m2/s，ωe=7.29×10-5rad/s，φ=34°，K= 2.67.當αn=2π/3 rad時，唯一平衡點為α*= 1.724 3 rad，不再位于真北附近。特別地，當αn= 0 rad時，α*=0 rad，穩定平衡位置在真北方向；當αn=π rad時，α*=π rad，穩定平衡位置在正南方向。

2）若0＜K＜1，需要進行具體分析。具體思路是，根據恢復力函數曲線判斷平衡點的個數并求出相應的平衡點，然后根據相平面法得到平衡點的穩定性及全局運動規律。例如，αn=2π/3 rad，K=0.6時，系統僅有一個平衡點α*=0.846 3 rad，且f′（0.846 3）=0.001，α*為勢能函數的極小值點，相軌跡如圖3（b）所示，可以看出該平衡點為穩定平衡點；當αn=2π/3 rad，K=0.3時，系統有3個平衡點，分別為α*=0.499 1 rad，3.615 4 rad，5.134 8 rad，對應的f′（α*）分別為0.000 88，-0.000 44，0.000 53，所以0.499 1 rad和5.134 8 rad為勢能函數的極小值點，是穩定平衡點，3.615 4 rad為勢能函數極大值點，不穩定，其相軌跡如圖3（c）所示。在實際尋北時，α在［-π rad，π rad）范圍內，且初速度很小，扭力零位與初始位置很接近，系統的初始狀態在平衡點0.499 1附近，所以靈敏部實際上會在平衡點0.499 1附近擺動。

圖3 不同條件下偏北角變化的相軌跡Fig.3 Phase trajectories of α in different conditions

從圖2可知，即使在0＜K＜1的情況下，系統也必有一個平衡點在區間［-π rad，π rad）內。對于α*∈（-π rad，π rad），有f′（α*）＞0，所以其為極小值點，平衡點穩定；對于α*=-π rad，f′（α*）=0，其左右鄰域的點均滿足f′（α*）＞0，所以它也是極小值點，為穩定平衡點，即正南方向也有可能是穩定平衡點。實際尋北時，陀螺靈敏部應作繞［-π rad，π rad）內平衡點的周期性擺動。

1.3 周期擺動的近似解析解

實際尋北時，陀螺靈敏部作繞［-π rad，π rad）內平衡點的周期性擺動。忽略自擺零位δ，可以認為初始時刻懸帶扭力零位方位角與靈敏部主軸方位角重合，即αn=A，則有

（8）式的恢復力函數不是α的奇函數，給求解帶來困難［11-13］。為求其近似解，先對α進行平移變換，令α=x+α*，代入（2）式得

將（9）式中的sinx、cosx展開，并截取到x的二次多項式，得

設x的振動區間為［B1，B2］，則有

由u（B1）=u（B2）得

令τ=ωt，將對t的導數寫成對τ的導數，則（10）式為

為了獲得高階解析逼近解，根據牛頓法［11］，令非線性方程（10）式的近似周期解為

設Δx1（τ）=c1（1-cos 2τ），將x2=x1+Δx1代入（10）式，令常數項和一次諧波系數為0得

圖4顯示了1階逼近解x1、2階逼近解x2與精確解xe（由數值方法得出）的比較。可以看出1階逼近已有很好效果，2階逼近對1階逼近改進不大，這是因為在懸帶的作用下，擺幅被限制在一個較小的范圍內。

圖4 近似解析解與精確解的比較Fig.4 Comparison of approximate analytical solutions with the accurate solution

2 周期-擺幅測量全方位預定向方法

2.1 周期-擺幅法預定向原理

設扭力零位和逆轉點位置相同，方位角為A，由（14）式得無阻尼不跟蹤情況下有

由于B1、B2異號且絕對值相差不大，故B1+B2?K，將其忽略得

式中：T0=2π/ω0，為陀螺靈敏部跟蹤條件下在真北附近的自由擺動周期，可以事先通過試驗標定好；T（A）=2π/ω（A），為一定初始架設方位下陀螺靈敏部的實際擺動周期，可以在尋北時通過測量得到。則

從而

式中：B（A）為陀螺靈敏部的擺動幅度，可以在尋北時通過測量得到。

分別用近似后的周期公式與近似前的周期公式計算不同初始架設方位情況下的無阻尼不跟蹤擺動周期，如圖5所示。

可以看出二者相差不大，因此可以采用（22）式計算出對應的初始架設方位角。具體步驟是：架設好儀器，啟動陀螺馬達，待靈敏部擺動到第一個逆轉點處時，將扭力零位一步步進至該逆轉點處，然后測量步進后的擺動周期和擺幅，帶入（22）式計算出此時對應的方位角值，然后控制儀器轉過相應角度即可使陀螺主軸位于真北附近，實現預定向。該方法儀器處于不跟蹤狀態，擺動周期比跟蹤狀態下的擺動周期短，測量擺幅和擺動周期只需要半個周期，加上步進前的擺動時間，尋北時間不應超過一個不跟蹤周期。根據圖5可知正南附近時擺動周期接近3 min，需要尋找進一步縮短尋北時間的方法。

由（19）式得擺動周期為

在確定的尋北地點，φ和K不變。從（23）式可知，靈敏部結構參數不變的情況下，在某一架設方位，只能通過減小H縮短尋北時間。由于轉子轉動慣量一定，所以可以通過降低轉速的辦法來減小擺動周期。因此，可以采用如下兩級啟動快速尋北方法實現全方位快速尋北：預定向對精度要求不高，采用低速啟動陀螺馬達減小擺動周期，縮短定向時間；精尋北時額定轉速啟動陀螺馬達，保證尋北精度。

圖5 擺動周期隨初始架設方位角變化曲線Fig.5 Swing periods at different initial erecting angles

通過（23）式計算得到不同初始架設方位和不同轉速時的擺動周期如表1所示。表1中，A為不同的初始架設方位，分別為額定轉速、1/2額定轉速、1/4額定轉速和1/8額定轉速時的擺動周期。從表1可以看出，隨著初始架設方位的增大，擺動周期變長；額定轉速時，真北附近擺動周期約2 min，正南附近擺動周期約3 min；1/4額定轉速時的擺動周期為額定轉速時的一半，正南附近擺動周期約1.5 min；而1/8額定轉速時在正南附近（170°）擺動周期減小到約1 min（62.14 s）。可見預定向時低速啟動陀螺馬達有效縮短了擺動周期。實際尋北時，粗尋北時啟動陀螺馬達至1/8額定轉速，通過兩個逆轉點之間的擺動即可測出擺幅和周期，實際的預定向時間將在1/2周期到一個周期之間，最長為62.14 s，不超過65 s.

綜合以上分析可得周期-擺幅法的實現流程如圖6所示。啟動陀螺轉子馬達至1/8額定轉速；轉速穩定后下放陀螺靈敏部；靈敏部擺動到第一個逆轉點時將懸帶零位步進至該逆轉點處；測量靈敏部擺動到另一個逆轉點處的擺動時間和擺動角度，計算出擺動周期和擺幅；靈敏部擺動到第二個逆轉點時將懸帶零位步進到第二個逆轉點處以消除懸帶扭轉形變；控制鎖放機構鎖緊陀螺靈敏部使其停止擺動；根據（22）式計算出第一個逆轉點的偏北角，然后計算出第二個逆轉點的偏北角；將靈敏部主軸從第二個逆轉點處步進至真北附近，完成預定向。

表1 不同轉速情況下擺動周期比較Tab.1 Swing periods at different gyro-motor rotating speeds

圖6 周期-擺幅法預定向流程Fig.6 Flow chart of pre-orientation based on periodamplitude measuring

2.2 誤差分析

根據（22）式知預定向精度受T0、T（A）、K、B（A）測量精度的影響，另外由于（22）式為近似公式，會帶來方法誤差。下面分別分析其對預定向的影響。

2.2.1 方法誤差

方法誤差由近似化處理引入，對各A值，由計算得到的偏北角值與真實值偏差如圖7（a）所示。可以看出，推導公式過程中所作近似處理帶來的誤差很小，預定向時可以忽略。

2.2.2 周期測量誤差的影響

計算公式中包含T0和T，其中T0事先標定好，T預定向時測量得到。其誤差對預定向結果的影響分別如圖7（b）和7（c）所示，可以看出預定向誤差隨周期誤差的增大而增加；T值測量誤差對預定向結果的影響比T0值測量誤差大，T0誤差為0.5 s時將帶來0.8°的預定向誤差，T誤差為0.5 s時將帶來1.4°的預定向誤差。

圖7 測量誤差對預定向結果的影響Fig.7 Effects of different measuring errors on pre-orientation accuracy

2.2.3 K值誤差的影響

K值誤差對預定向的影響如圖7（d）所示，可以看出預定向誤差隨K值誤差的增大而增大，當K值誤差為0.05時，預定向誤差約為3°.可見，預定向結果對K值誤差更為敏感，這是因為其直接影響（21）式右邊余弦值的大小。

2.2.4 擺幅測量誤差的影響

從（22）式中可以看出，擺幅測量誤差對預定向結果的影響呈線性關系，主要受逆轉點位置測量準確度的影響。

2.2.5 轉位誤差的影響

預定向過程中有3次步進，每次步進時電機轉位誤差也直接影響預定向精度。

實際預定向時，如果通過標定將周期T0的誤差控制在0.05 s，K的誤差控制在0.01，T值測量誤差控制在0.2 s，則其帶來的預定向誤差分別為0.1°、0.6°、0.6°；若擺幅測量誤差為0.5°，轉位誤差為1′，則總的預定向誤差約為1°，可以保證在5°以內。

2.3 試驗驗證

為驗證本文所提方法的可行性，在實驗室中的尋北定向綜合試驗系統上進行試驗驗證，試驗系統組成如圖8所示。

該試驗系統主要由擺式陀螺尋北儀、數據采集模塊、主控計算機和外圍電路組成。數據采集模塊主要由Agilent 34401A數字萬用表和SDG1025數字信號發生器組成。擺式陀螺尋北儀由擺式陀螺儀、經緯儀、尋北控制盒等組成，由配套的控制盒控制陀螺尋北儀進行尋北；尋北控制盒內置完整的自動尋北流程，定向精度5″，要求初始架設方位在真北方向±20°以內；尋北控制盒還內置手動控制模式，可以控制尋北儀單獨實現粗尋北、自擺零位測量、限幅、精尋北、鎖放、跟蹤等操作；兩種模式下均可以通過修改控制程序實現對不同尋北方法的研究。

按照圖6所示尋北流程編制粗尋北控制程序，依次使初始架設方位位于東北、東、東南、南、西南、西、西北7個位置附近（依次用1～7表示），首先進行預定向，預定向后進入內置的自動尋北流程，將預定向輸出結果與最終尋北結果比較計算預定向誤差，試驗結果如表2所示。

圖8 尋北定向綜合試驗系統組成Fig.8 System composition of synthetical test stand for north finding

表2 周期-擺幅法預定向試驗結果Tab.2 Pre-orientation results based on period-amplitude measuring

從表2可以看出，采用周期-擺幅測量法可以實現全方位預定向，預定向誤差最大不超過5°；預定向時間介于1/2擺動周期到一個擺動周期之間，隨著初始架設方位的增加而呈增大趨勢；預定向時間最長為48 s，不超過65 s，與理論分析結果一致，滿足快速尋北要求。

3 結論

本文針對現有擺式陀螺尋北儀普遍存在的對初始架設方位要求嚴格的問題，在詳細分析其大偏北角運動規律的基礎上，提出了一種基于周期-擺幅測量的全方位快速預定向方法。分析結果表明：采用周期-擺幅測量法預定向，能夠實現全方位尋北，有效克服了傳統磁羅盤全方位預定向易受干擾、難以保證可靠性的不足；預定向時低速啟動陀螺馬達能有效縮短尋北時間，提高尋北效率，使預定向時間不超過65 s；預定向精度受各種誤差的影響，一般能夠控制在5°以內，滿足后續限幅、精尋北等過程的精度要求。由于尋北儀的精度主要取決于后續的精尋北過程，因此該方法配合相應的限幅和精尋北方法，能夠在不顯著增加尋北時間的基礎上使現有各種精度的尋北儀實現真正意義上的自主全方位尋北，擺脫對磁羅盤等輔助設備的依賴，提高系統的可靠性和使用靈活性。

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Omni-bearing Fast Pre-orientation of Pendulous Gyroscope Based on Period-amplitude Measuring

CHEN He，ZHANG Zhi-li，ZHOU Zhao-fa，ZHAO Xiao-feng
（The Second Artillery Engineering University，Xi'an 710025，Shaanxi，China）

A novel omni-bearing pre-orientation method based on period-amplitude measuring is put forward through the analysis of motion characteristics of pendulous gyro north seeker in wide azimuth.The proposed method can be used to calculate the azimuth of the gyro shaft by measuring its swing period and amplitude.The effect of gyro-motor rotating rate on pre-orientation time is analyzed，the effect of pertinent parameter errors on pre-orientation accuracy is discussed，and the preliminary experiments are conducted to verify the new method.Both the theoretical and experimental results show that the swing period can be shortened by decreasing the rotating speed of the gyro-rotor，and the rapid pre-orientation can be achieved accordingly within 65 s with the accuracy of higher than 5°，which can meet the accuracy requirement of subsequent north seeking procedures.

ordnance science and technology；pendulous gyroscope north seeker；wide azimuth；omnibearing north-seeking；period-amplitude measuring

TH761；U666.1

A

1000-1093（2015）08-1458-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.012

2014-12-19

國家自然科學基金項目（41174162、41404022）

陳河（1989—），男，博士研究生。E-mail：496076391@qq.com；張志利（1966—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhangzl202@126.com