基于不同方法計算橢球面上圖斑面積的比較分析

□李鐵 王建營

（1.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，天津 武清 301700；2.天津市測繪院，天津 西青 300381）

基于不同方法計算橢球面上圖斑面積的比較分析

□李鐵1王建營2

（1.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，天津 武清 301700；2.天津市測繪院，天津 西青 300381）

本文討論在給定一個橢球面上不規(guī)則圖斑的各個頂點的經(jīng)緯度坐標(biāo)的條件下，分別利用區(qū)域邊界點高斯平面坐標(biāo)和橢球面上梯形面積量算的精密公式兩種算法來計算該區(qū)域面積，并且顧及測區(qū)離中央子午線的距離及投影面高程對面積量算的影響。并結(jié)合工程實例，對比分析了兩種算法的優(yōu)劣，可以為類似工程提供參考。

地球橢球面；不規(guī)則圖斑；高斯投影；梯形算法

0.引言

面積測量是常見的測量工作，在土地規(guī)劃、管理等工作中經(jīng)常需要計算地類、宗地等各種類型的土地面積。目前，計算圖斑面積通常做法是測出邊界點的平面坐標(biāo)，然后按平面上的封閉區(qū)域計算面積[1]。然而，一方面高斯投影會產(chǎn)生面積變形；另一方面地球表面也并非平面而是一個曲面，所以這樣的算法計算出的結(jié)果必然與實際面積存在差異。本文通過對兩種方法計算出的結(jié)果進(jìn)行比較，討論哪種算法更趨合理。

1.高斯投影計算橢球圖斑面積

高斯投影計算橢球圖斑面積實際上是將地面邊界點從橢球面投影到高斯平面，再進(jìn)行面積計算。這種方法帶來的面積誤差主要有三方面：一方面與測區(qū)距高斯投影中央子午線的距離有關(guān)；另一方面按照在高斯面上計算橢球圖斑面積會產(chǎn)生差異；三是投影面高程也會對面積產(chǎn)生影響，但天津市絕大部分區(qū)域地勢平坦本文不做討論。

高斯投影長度變形m計算公式：

其中，η2=e2cos2B，l為大地經(jīng)度與高斯投影中央子午線經(jīng)度之差，B為大地緯度，單位均為弧度，e為橢圓第二偏心率。

面積變形即為長度變形的平方，在天津市若設(shè)緯度為39°，表1給出了測區(qū)離開中央子午線的距離與面積變形的關(guān)系：

表1 測區(qū)距離中央子午線的距離與面積變形的關(guān)系

2.橢球圖斑面積梯形算法

圖1

圖2

由兩條子午線和兩條平行圈圍成的橢球表面即為橢球面梯形，由圖1可知，微分面積：

又因為：dx=MdB，dy=NdL，所以：

則通過積分得：

首先對經(jīng)度積分得：

對緯度積分后得：

由于橢球圖斑一般為不規(guī)則的多邊形，如圖2為一簡單橢球面上多邊形，點A、B在同一經(jīng)線，點C、D在同一經(jīng)線，點B、C在同一緯線，E為AD中點。由橢球面性質(zhì)可知S1>S2，當(dāng)微分量dL→0時，S1→S2，于是有橢球面多邊形ABCD的面積等于橢球面梯形BCGF的面積。這樣即可應(yīng)用橢球面梯形面積公式對不規(guī)則橢球圖斑的面積進(jìn)行計算。

3.兩種方法計算結(jié)果比較

在天津市不同區(qū)域選取宗地，應(yīng)用這兩種方法進(jìn)行面積計算。其中平面面積計算采用天津市1990任意直角坐標(biāo)，橢球面梯形計算采用WGS84大地坐標(biāo)。比較結(jié)果如表2：

由表2可知，面積差值有正有負(fù)。這是因為高斯投影產(chǎn)生面積變形會使面積增大，而在高斯面上進(jìn)行面積計算會使其變小。在寶坻的圖斑，由于其距投影中央子午線較近投影面積變形影響較小，受到在高斯面上計算面積使其變小的影響，所以面積差值為負(fù)。其他幾個區(qū)域由于其距投影中央子午線較遠(yuǎn)，主要受投影面積變形影響，所以為正。且距離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大，如位于漢沽的圖斑，距投影中央子午線最遠(yuǎn)，面積差值百分比也最大。

表2

另外，由表2看出位于大港和靜海兩個圖斑前者面積小于后者，所處經(jīng)度基本相同，但面積差值百分比差別較大，說明在高斯面上計算圖斑面積隨著圖斑面積的增大而差異增加。

4.結(jié)束語

由以上的分析和實驗結(jié)果可知，在高斯面上計算橢球圖斑面積時，會受到多方面的影響而產(chǎn)生誤差。高斯投影產(chǎn)生面積變形會使面積增大，且距投影中央子午線越遠(yuǎn)，影響越大；在高斯面上進(jìn)行面積計算使橢球圖斑面積變小，且隨著圖斑面積的增大而影響增加。而應(yīng)用橢球面積梯形算法會避免這些情況，計算出的結(jié)果更趨合理。

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【2】孔祥元，梅是義.控制測量學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2005.

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【4】孔祥元，郭際明，劉宗全.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001.

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【7】黨亞民，成英燕,吳秀娟等.不同坐標(biāo)系圖斑理論面積計算研究[J].測繪科學(xué),2005,30(6):23-24.

【8】朱益虎,席加偉,蔣毅等.圖斑橢球面積計算方法研究[Z].江蘇省測繪學(xué)會2009年學(xué)術(shù)年會論文集,2009:125-128.

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P226+.2

A

2095-7319（2015）02-0018-04

李鐵（1980—），男，大專，工程師，天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，現(xiàn)在主要從事工程測量方面工作。