高考中物理學科有關極值問題的處理方法之分析

朱震文

（湖南省永州市祁陽縣第二中學）

物理學科極值問題在歷年高考理科綜合中經常出現，怎樣處理極值問題，大部分考生感覺比較棘手，結合多年高三的教學經驗，及學生在處理這類問題中存在的疑問，談一談這類問題的處理方法。

首先，對極值問題的處理，必須培養學生具有較高的綜合問題的處理能力，即既要有比較嫻熟運用物理規律處理物理問題的能力，又要有比較高的運用數學方法處理物理問題的能力。在具有這些基本能力的基礎上，還應培養學生對極值問題有一個系統的歸類分析，大致講物理學科的極值問題在處理過程中的方法可以分成兩大類：物理方法和數學方法。

物理方法就是從物理學的角度，應用物理定義、物理規律對極值問題進行分析判斷，找出問題過程中出現極值的時間點或位置點，再應用相應的物理規律列出物理等式加以求解。

物理分析方法有三角形矢量分析法、臨界條件分析法等。

方法一：三角形矢量分析法就是應用力的矢量三角形的邊角的關系，已知合力的方向和另一分力的大小和方向時，點到直線的垂直距離最小，如圖所示：兩個分力F1、F2和合力F構建一個矢量三角形，在已知合力F的方向和另一分力F1的大小和方向時，只有F2與合力F垂直時有最小值。場力方向與v0方向垂直時有最小值，如右圖所示。

解答：如圖所示，要保證微粒沿v0方向直線運動必須使垂直于v0向斜上方加勻強電場E有最小值，且Eq=mg cosθ，E=mg cosθ/q。

方法二：臨界條件分析法就是通過對研究對象的分析，找出物體在研究過程中可能出現的臨界條件，再應用相關的物理規律加以求解。

例題2：如圖所示，光滑水平面上放置質量分別為m和2m的四個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg。現用水平拉力F拉其中一個質量為2 m的木塊，使四個木塊以同一加速度運動，則輕繩對m的最大拉力為_______.

試題分析：本題的關鍵是要想使四個木塊一起加速，則任兩個木塊間的靜摩擦力都不能超過最大靜摩擦力。首先要找出A和B、C和D這兩對物體之間，哪一對物體間首先到達最大靜摩擦力這一臨界條件。由題意可知A和B的靜摩擦力僅是B物體產生加速度的動力，而C和D間的靜摩擦力是A、B、C三個物體產生加速度的動力，所以C和D這兩對物體之間先到達最大靜摩擦力這一臨界條件。

解答：對 A、B、C 三個物體作為整體有：fm=4ma，T=3ma，又有：fm=μmg以上各式聯立解得T=.

數學方法就是應用物理規律對物理極值問題進行分析之后，確定研究對象及研究過程，列出相關的數學表達式，再應用不同的數學工具加以處理。根據應用不同的數學方法，大致可以從四個方面加以處理。

第一種方法稱之為二次函數法：二次函數法就是關于y=ax2+bx+c的應用，根據二次函數的特點，a＞0時，圖像開口向上，y有最小值；a＜0時，圖像開口向下，y有最大值。且只有x=-時，y有最值。

例題3：如圖所示，理想變壓器輸入端接在電動勢為ε，內阻為r的交流電壓上，輸出端接負載R，則變壓器原副線圈的匝數比為多大時，負載R上消耗的電功率最大？

解答：設原副線圈的匝數分別為n1，n2，電流分別為 I1，I2，電壓分別為 U1，U2，

則：U1=ε-I1r電阻R消耗的電功率為P=U2I2=U1I1

即 P=（ε-I1r）I1=-I21·r+εI1

可見當：I1=時，P有最大值Pmax=

例題1：如圖所示，質量為m，帶電量為+q的微粒在O點以初速度v0與水平方向成θ角射出，微粒在運動中受阻力大小恒定為f。如果在某方向加上一定大小的勻強電場后，能保證微粒仍沿v0方向做直線運動，試求所加勻強電場的最小值？

試題分析：本題的根本在于確定電場力沿什么方向有最小值，由題意分析可得，只有當電場力與重力的合力與初速度方向在一條直線上，才能達到題中的要求，又由矢量三角形原理可得當電

第二種方法稱之為三角函數法：通過設定角度為一函數變量，應用物理規律列出相關的方程，然后加以處理。

例題4：半徑為R的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，環上套有一質量為m，帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場。如圖所示，珠子所受電場力是其重力的倍。將珠子從環上最低位置A點靜止釋放，則珠子所能獲得的最大動能為多少？

解答：設珠子的帶電量為q，電場強度為E。珠子在它與電場線的夾角為θ時，珠子所能獲得的動能最大，如圖所示，則由動能定理得珠子動能的表達式為 Ek=qER cosθ-mgR（1-sinθ），

利用三角變換可得：Ek=qER cosθ-mgR（1-sinθ）=3 mgR cosθ4 mgR sinθ-mgR.

第三種方法稱之為不等式法：不等式法就是如果兩數和為常數，當兩數相等時其乘積最大，由若 x+

y=P（定值），則當 x=y時，x、y的乘積有極大值。

例題5：如圖所示，已知R1=2Ω，R2=3Ω，R3=5Ω，電源電動勢 ε=6V，電源內阻r=0.5Ω。問：變阻器滑動片在何處時，電源發熱功率最小？

解答：設電源發熱功率為P，干路電流為 I，據 P=I2·r，可知：I最小時，P 最小。

根據不等式原理可知：當R1+Rx=R2+R3-Rx時，I有最小值。

第四種方法稱之為導數法：導數法就是應用數學中求導與極值的關系，對物理方程加以處理而求解。

例題6：一輕繩一端固定在O點，另一端拴著一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速地釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到垂直位置過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值。

解答：設繩達到與水平方向為角a時，重力的功率取得最大值，則速度v和重力mg之間的夾角也為a，對小球從A到C由動能定理，則有：mgR sin a=mv2，其中 R 為輕繩長。

以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在求解極值問題的過程中，首先應對這類問題加以歸類分析，確定問題應該使用物理方法還是數學方法的總的解題方向，然后根據題意，找出符合物理規律的物理方程或物理圖象，最終得以求解。