《直線的方程》教學設計

徐振宇，鄭南南，閆雨飛

（1.陜西師范大學數學與信息科學學院；2.陜西師范大學數學與信息科學）

【教材】

北師大版高中數學必修2第二章2.1.2節。

【課時安排】

第1課時。

【教學目標】

（一）知識與技能

1.掌握由已知直線上一點和斜率導出直線方程的方法。

2.掌握直線方程的點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式，并掌握它們各自的適用范圍，能熟練地進行各種方程形式之間的互化。

3.能根據已知條件熟練求出各種形式的直線方程。

（二）過程與方法

1.通過建立各種形式的直線方程，進一步熟悉和鞏固直線代數化的具體方法。

2.由“直線的點斜式方程”推導程序來類比學習其他形式直線方程建立方法，掌握類比的學習方法。

……

（三）情感、態度與價值觀

通過本節內容的學習，進一步認識到同一個對象可用不同方法來研究的認識觀；同時知道直線方程的五種形式是一個統一的相互轉化思想……

【教學重點和難點】

教學重點：直線的點斜式方程、直線的一般方程。

教學難點：直線方程的應用。

【教學方法和手段】

教學方法：以問題引導的研究性學習。

教學手段：恰當使用多媒體展示學習內容。

【教學過程】

一、創設情境，導入新課

教師活動1：提出問題：（1）確定一條直線所需要的幾何要素是什么？（2）一條直線與其斜率的對應關系是什么？

學生活動1：思考問題，回顧舊知，回答問題。

教師活動2：根據學生回答，用PPT呈現確定一條直線所需要的幾何要素和一條直線與其斜率的對應關系。

1.確定一條直線所需要的幾何要素

（1）已知兩點P1（x1，y2），P2（x2，y2）可確定一條直線。

（2）已知P0（x0，y0）和傾斜角（斜率k）可確定一條直線。

2.一條直線與其斜率的對應關系

（1）對于任意一條直線l，它的傾斜角α唯一。

（2）當 α=90°時，斜率 k 不存在，當 α≠90°時，斜率 k 存在且唯一。

學生活動2：學生觀看PPT，溫顧舊知。

設計意圖：通過老師提問，一是集中學生注意力；二是讓學生回顧所學知識，為新知識的學習做準備。

二、提出問題，探索新知

教師活動3：提出新的思考問題：給定直線l經過P0（x0，y0），且斜率為k，如何求直線l的方程？

學生活動3：進入思考狀態。

教師活動4：給予學生適當引導：設點P（x，y）是直線l上不同于點P0的任意一點，因為直線l的斜率為k，由斜率公式得：

圖1

學生活動4：學生思考并理解剛才的推導過程。

設計意圖：通過問題驅動學生思考，并調動學生學習新知識的熱情。

1.小組討論，引導探究

教師活動5：同學們分小組討論如下兩個小問題：

（1）經過點P0（x0，y0），斜率為k的直線l上的點，其坐標都滿足方程（1）嗎？

（2）坐標滿足方程（1）的點都在經過點P0（x0，y0），斜率為k的直線上嗎？

學生活動6：小組討論，并回顧方程（1）的推導過程，得出結論：上述的兩個小問題都是對的。

教師活動6：讓學生回答小組討論的結果并總結：方程（1）就是直線方程的點斜式。

設計意圖：通過小組討論，讓學生在與他人交流的過程中分享自己的收獲并讓學生感受到學習數學的快樂。

2.類比遷移，自主探究

教師活動7：繼續分小組討論，設計新的探究任務：若已知直線l的斜率為k，與y軸的交點為P（0，b），結合直線方程的點斜式，直線的l方程又如何？

學生活動7：學生分組討論，動手實踐，相互交流，嘗試給出結果。

預計學生能給出直線l的方程：

教師活動8：用幾何畫板演示直線方程的斜截式的發現過程，并動態演示截距b的變化過程；而方程（2）仍成立，讓學生體會直線方程的斜截式b的任意性。

學生活動8：學生觀看演示，形成完整的認知。

設計意圖：讓學生類比直線方程的點斜式探索過程，以自主探究與團隊協作相結合的形式探究新知，充分調動學生參與知識建構的積極性、主動性。

教師活動9：教師引導學生提煉發現過程，得出直線方程的斜截式。

學生活動9：學生領悟發現過程。

設計意圖：讓學生感悟由直線方程的點斜式到直線方程的斜截式的探索過程，并體會其中蘊涵的數學思想和方法，感受其中包含的數學之趣。

3.拓展延伸，升華能力

教師活動10：同學們想一想方程的斜截式：y=kx+b與我們學過的一次函數表達式之間有什么關系呢？

學生活動10：同學們思考。

預計有些學生會忽略一次函數中k不能為0。

設計意圖：讓學生在學習新知識的同時并回顧以前所學的知識，形成一個完整的知識系統。

教師活動11：同學們，我們已經學了直線方程的點斜式與斜截式。現在我們來完成以下知識清單來加強對知識點的掌握。

知識清單

學生活動11：填表，鞏固所學知識。

設計意圖：通過填寫表格，整體理解直線方程點斜式與斜截式的結構特征，領悟本節課的實質——將平面上點、線的幾何關系轉化為其代數關系（直線的方程）。

三、例題講解，學以致用

教師活動12：用PPT呈現例題，要求學生獨立求解。

例1：直線l經過點P0（2，3），且傾斜角為α=45°，求直線l的點斜式方程。

設計意圖：通過學生練習，及時提供反饋，讓學生感受合理選擇和應用公式的意義。

例 2：已知直線 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，試討論：（1）l1∥l2的條件是什么？（2）l1⊥l2的條件是什么？

學生活動12：學生在獨立思考的基礎上解決問題。

設計意圖：讓學生回憶前面用斜率判斷兩直線平行、垂直的結論，加深對直線斜率與傾斜角的理解。

四、學生總結，老師提煉

教師活動13：同學們，回憶本節課的教學，鼓勵學生進行總結。

學生活動13：學生嘗試給出總結。

本環節側重三點：（1）斜率式是點斜式的一種特殊形式；（3）說明本節課蘊涵著數形結合、分類討論等數學思想方法；（3）鼓勵學生反思，大膽質疑。

設計意圖：讓學生鞏固本節課所學知識，回顧探索歷程，體悟其中的數學思想與方法；認識到本節課的實質是將平面上的點、線的幾何關系轉化為其代數關系（直線的方程），再結合已經學過的直線傾斜角和斜率等知識，推導出直線的方程。

五、布置作業，拓展延伸

1.常規作業：P65頁練習1

2.拓展作業

當 α 為何值時，直線 l1：y=-x+2a與直線 l2：y=（a2-2）x+2 平行？

設計意圖：這是一道開放性題目，有助于培養學生的發散思維，鞏固新知識。

（選做題）在本節課的學習基礎上，預習直線方程的兩點式和一般式。

設計意圖：這是為學有余力的學生安排的，將課堂的數學探究活動延伸到課外。作業的分層布置，體現分層教學，使不同層次的學生都有所收獲。

劉影.數學教學實踐［M］.北京：北京大學出版社，2010.