一種提高中頻逆變器外特性的諧振控制器建模與帶寬設計

陳軼涵 龔春英 鄧 翔

（南京航空航天大學江蘇省新能源發電與電能變換重點實驗室 南京 210016）

1 引言

為了給機載交流負載供電，需要研發具備電氣隔離能力的航空靜止變流器將 360～800Hz的寬變頻交流電和270V高壓直流電變換為穩定的400Hz/115V恒頻交流電為交流負載供電[1,2]。該類型的中大功率ASI系統直直變換器通常采用能夠實現電氣隔離的高頻 DC-DC變換器得到穩定的直流母線電壓，后級采用逆變器獲得恒頻交流電。因此后級負載逆變器的設計直接關系到 ASI系統整機的穩定性、可靠性以及輸出波形的質量。

三相四橋臂逆變器拓撲三相解耦控制，通過添加第四橋臂為三相零序電流提供了通路，具備帶不平衡負載能力。同時文獻[3,4]通過三次諧波注入方法提高直流電壓利用率，降低主功率管的電壓應力，減小損耗。基于上述優勢，三相四橋臂廣泛應用于航空電源系統作為ASI的逆變級。

文獻[5,6]證明當逆變器功率提高時，傳統雙環控制系統中電壓調節器和電流調節器的增益有限，因此系統穩壓精度往往不夠高導致隨著負載增加輸出電壓值低于額定輸出電壓。外特性是衡量逆變器性能的重要指標[7]。文獻[8]采用了一種負載電流補償的方法提高逆變器外特性。但是該方法引入了負載電流反饋信號，當正反饋信號大于電感電流負反饋信號時，電流環將變成正反饋，從而影響逆變器的穩定性，同時負載電流的反饋增加控制電路的復雜性。文獻[9]提出了一種在控制環路中添加諧振控制器的方法，通過提高基波頻率處增益的方式提高系統的穩壓精度，在不影響系統的動態性能和效率的情況下改善了系統的外特性，但是該文獻并未考慮諧振控制器應用于中頻逆變器時，因為基波頻率與系統的截止頻率往往比較接近，諧振控制器在基波頻率附近會造成相頻曲線相位的超前和滯后，影響相頻曲線低頻段和截止頻率處的相位造成系統穩定性問題。本文在建立中頻三相四橋臂逆變器小信號模型的基礎上，分析諧振控制器的引入對變換器穩定性的影響，提出一套匹配主電路與環路參數的諧振控制器設計依據。

2 中頻三相四橋臂逆變器的解耦

三相四橋臂逆變器拓撲在三相三橋臂逆變器的基礎上增加了一個橋臂，此時第四橋臂為零序電流提供通路，實現了帶不平衡負載的能力[10]。同時第四橋臂的引入能夠方便的實現三次諧波注入提高逆變器的直流電壓利用率。三相四橋臂逆變器拓撲結構如圖1所示。

圖1 三相四橋臂逆變器拓撲Fig.1 Topology of three phase four bridge

文獻[10]采用平均開關狀態法得到式（1）所示三相四橋臂逆變器周期平均狀態模型。

根據式（1）可以得到三相四橋臂逆變器的開關周期平均模型等效電路如圖2所示。通過開關周期平均模型，能夠等效三相四橋臂電路的每一相都是獨立的，相互之間不存在耦合關系，可以把三相四橋臂逆變器解耦為三個獨立工作的全橋逆變器，三個逆變器輸出電壓相位互差 120°。因此對三相四橋臂逆變器的小信號建模，可以分解為對獨立的單相全橋電路進行建模和分析。

圖2 三相四橋臂逆變器的開關周期平均模型等效電路Fig.2 Equivalent circuit diagram of three phase and four bridge switch cycle average model

3 控制策略及其建模

根據電力電子變換器的最優控制理論，實現全狀態反饋的系統可以實現動態響應的誤差平方積分指標最小，其為最優控制系統[11,12]。在開關調節系統中提取輸出電壓和電感電流兩種反饋信號實現雙環控制符合最優控制規律[13]。以A相為例，雙環控制的原理框圖如圖 3所示，圖中Vao為該相輸出電壓反饋值；Vrefa為輸出電壓正弦波基準信號；GND為控制地；Iaref為電壓外環輸出信號，作為該相電感電流給定；ILfa為 A相電感電流反饋值；Sa為調制信號與載波進行SPWM調制以生成控制脈沖。

圖3 雙環控制原理圖Fig.3 Schematic diagram of double loop control

三相四橋臂逆變器每相雙環控制系統的小信號模型框圖如圖4所示。

圖4 三相四橋臂逆變器控制框圖Fig.4 Control block diagram of three phase and four bridge

定義圖 4電壓電流雙環控制框圖中占空比-輸出電壓傳遞函數Gud(s)、占空比-輸出電感電流傳遞函數Gdi(s)、電流內環開環傳遞函數Ti(s)、雙環開環傳遞函數Tv(s)、電流環采樣系數Ki(s)，電流環補償網絡傳遞函數Gi(s)，控制信號-占空比PWM調制傳遞函數Gm(s)，輸出電壓采樣系數Kv(s)，電壓環補償網絡傳遞函數Gv(s)。電流環補償前后開環傳遞函數如式（2）、式（3）所示。

占空比與輸出電感電流傳遞函數

式中，E為輸入直流母線電壓幅值；L為輸出濾波電感值。

假設GR為輸出濾波電感電流小信號擾動對輸出電壓小信號擾動的傳遞函數，Resr為輸出濾波電容等效寄生電阻。則輸出濾波電感電流對輸出電壓的傳遞函數

根據式（4）、式（5）可以得到占空比對輸出電壓的傳遞函數

逆變器控制策略的控制性能主要體現在穩定性、動態性與抗擾性三方面。根據線性系統控制理論，系統穩定性主要反映在相角裕度和幅值裕度上。通常相位裕度大于45°，幅值裕度大于 6dB[14]。動態性能則主要體現在系統開環截止頻率上，截止頻率越大，動態響應越快，但是截止頻率同時受到開關頻率的限制，以消除系統中由開關引起的高頻成分。對于采用電壓電流雙環控制的逆變器而言，電壓環截止頻率往往遠遠小于電流環截止頻率，以獲得良好的動態特性。

為了使電流補償網絡的輸出反映電感電流基波分量的變化，需要對檢測到的電流進行低通濾波，以消除電感電流上的高頻成分，避免調制信號和載波信號的多次交割，同時使電感電流采樣信號能很好地跟蹤基準信號。因此希望補償網絡在低頻段有很大的增益，在中頻段，補償網絡的相頻特性應有一個最大為 90°的超前相位，確保系統的穩定和快速的動態響應。在補償網絡的高頻段放大倍數應足夠小，以抑制開關頻率及寄生參數引起的高頻干擾及振蕩。所以采用如圖5所示單極點-單零點控制器作為電流環與電壓環的補償網絡。對于本文中所研究的積分型控制對象，單極點-單零點補償網絡可以滿足：①在穿越頻率處保證足夠的相位裕量；②在截止頻率至開關頻率范圍，保證幅頻特性有一個平坦的特性。

圖5 電壓環與電流環補償網絡Fig.5 Compensating network of voltage and current loop

式（7）為該補償網絡傳遞函數。補償網絡的直流增益Ki=R2/R1，零點角頻率為ωzi=1 /R2C2，極點角頻率ωpi=1 /R2C1

由于電流內環需要良好的動態特性，以期跟蹤電壓外環的輸出，因此電流內環需要較大的帶寬。結合式（2）～式（7），得到電流內環補償前后的傳遞函數Toi(s)與Ti(s)。利用Matlab軟件仿真繪制伯德圖曲線驗證設計結果的正確性。仿真參數根據實驗室搭建的6kV·A航空靜止變流器樣機進行設置。輸入電壓為290V，開關頻率20kHz，輸出濾波電感Lf為 240μH，輸出濾波電容Cf為 20μF，電壓采樣系數Kv為 0.034，電流采樣系數Ki為 0.4，逆變器三相輸出電壓為AC115V/400Hz，三相互差120°。根據式（2）電流內環開環傳遞函數不包含負載阻抗項，電流內環補償前后在不同負載的幅頻和相頻曲線如圖6所示。

圖6 電流環補償前后伯德圖Fig.6 Befor and after compensation Bode diagram of current loop

經過補償網絡Gi(s)補償后，提高了電流環低頻段的增益和截止頻率。滿載和空載時截止頻率皆為12kHz，系統獲得較好的動態性能。對于同樣的補償網絡參數隨著負載的降低截止頻率隨之降低。所設計補償網絡使電流環開環傳遞函數相角裕度大于 45°，幅值裕度大于 6dB，滿足穩定性和動態性要求。

電壓控制器的控制對象是由電流內環和負載組成的，根據圖4建立的小信號模型結合式（2）～式（7），設計電壓環參數，得到電壓外環補償前后的伯德圖如圖7所示。

圖7 無諧振控制器電壓環開環傳遞函數伯德圖Fig.7 Befor and after compensation Bode diagram of voltage loop without resonant controller

圖 7a中設計電壓環補償網絡將截止頻率設置在1.2kHz，相位裕度大于45°，滿足系統穩定性動態性要求。根據圖7b所示，隨著負載從額定負載到空載不斷降低，低頻段的相位逐漸接近-π，此時截止頻率大于低頻段相位偏移頻率段，且截止頻率處的相位裕度不發生明顯的變化，對逆變器的動態特性和穩態特性不會產生影響。考慮系統實際為非理想系統，由于變換器采樣、控制等環節固有的延遲特性，低頻段的相位在延遲的影響下空載或輕載狀態下有可能穿越-π。這就需要根據自動控制原理穩定性判據來重新定義系統的穩定性。

4 諧振控制器的建模與帶寬設計

外特性指標代表了逆變器輸出電壓受負載的影響程度。性能優良的逆變器通常具有較硬的外特性，逆變器空載到滿載過程中輸出電壓的幅值降低較少[15]。

文獻[16]認為提高電壓環電流環增益是提高逆變器外特性的一種有效策略，但是過高的增益會提升電壓環和電流環的截止頻率，同時提高非基波頻率段的增益，會降低系統的抗擾性，對ASI系統的穩定性產生影響。

在逆變器雙環控制的基礎上引入諧振控制器，是一種有效提高逆變器外特性的控制策略。該方法通過提高了基波頻率處的增益優化逆變器的外特性，該控制策略控制框圖如圖8所示。

圖8 包含諧振控制器的逆變器控制框圖Fig.8 Control block diagram of three phase and four bridge with resonant controller

諧振控制器的傳遞函數為

圖9a所示為該諧振控制器的幅相曲線。該諧振控制器等效為帶通濾波器，提高了系統開環傳遞函數基波頻率400Hz處的增益。

圖9 諧振控制器幅相曲線Fig.9 Bode diagram of resonant controller

根據圖 9a中相頻特性曲線可以發現該諧振控制器會造成基波頻率處相位的滯后和超前，設計補償網絡時為了提高系統的穩定性，往往將系統開環傳遞函數的截止頻率設置在 1/20或者 1/10的開關頻率處，這使得系統的截止頻率非常接近基波頻率，諧振控制器對相位的影響就會使截止頻率處的相位裕度發生偏移，此時必須保證相位裕度大于 45°，以保證系統的穩態和動態性能。

圖9b所示，諧振控制器僅在低頻段（逆變器輸出基波頻率附近）提高環路增益，同時影響該頻率段的相位，對于截止頻率以及中頻段沒有任何影響，因此諧振控制器的加入，及其帶通寬度不會降低系統的動態性能。同時，據圖7b所示低頻段的相位隨著逆變器負載降低而減小，當諧振控制器造成在空載或輕載下相頻特性曲線穿越-π，需要根據自動控制原理的穩定性判據對逆變器的穩定性重新評估。

設置諧振控制器的中心頻率為 400Hz，帶寬為60Hz，增益為 40dB，引入諧振控制器前后系統電壓環經過補償后開環傳遞函數伯德圖如圖10所示。根據圖 10a，當在控制環路中加入諧振控制器后，輕載下低頻段相位與未加入諧振控制器前比較更低，使相頻特性曲線穿越-π，同時在該頻率段增益大于0dB。

根據圖 10b，當負載降低時，該穿越頻率相位偏移深度會隨之加深。根據奈氏判據[17,18]，設傳遞函數右半平面極點數為P，相頻特性曲線正穿越-π的頻率點數為N+，相頻特性曲線負穿越-π的頻率點數為N-，則

圖10 諧振控制器帶寬為60Hz電壓環開環傳遞函數伯德圖Fig.10 Bode diagram of voltage loop open loop transfer function when resonant controller’s bandwith is 60Hz

當Z=0時可以認為系統是穩定的。其根據圖10a所示，2(N+-N-)=0 ，則需要判斷式（9）中P是否為0，即Tv(s)是否含有右半平面極點。根據式（2）～式（8）并代入仿真參數計算Tv(s)的極點方程解為

極點方程解中不包含實部為正的值，即不存在右半平面的極點，則可以判斷系統是穩定的。

根據圖 10a，在截止頻率處因為諧振控制器的影響，相位裕度低于 45°，此時雖然可以認為系統仍然是穩定的，但是考慮實際逆變器控制和主電路的非理想狀態會發生延遲，進而影響截止頻率處的相位裕度。當滿足以下兩個條件：①增益約等于 0；②增益為0處頻率對應相頻特性曲線相位小于-π，則滿足自激振蕩條件，此時系統會發生等幅恒定頻率的自激振蕩。

據圖10c所示，當降低逆變器輸入輸出電壓等級，會使截止頻率相位隨著諧振控制器的作用進一步降低，最終在空載狀態下相位低于-π，此時通過奈氏判據判斷系統是穩定的，但是在截止頻率處出現相位低于-π的正反饋，滿足自激振蕩的兩個約束條件，因而逆變器的輸出電壓會出現自激振蕩現象。

因此若降低諧振控制器的帶寬，能夠有效減小諧振控制器基波頻率附近相移頻率段的寬度。重新設計諧振控制器帶寬為5Hz，增益保持40dB，獲得電壓環開環傳遞函數伯德圖如圖11所示。

圖11 諧振控制器帶寬為5Hz電壓環開環傳遞函數伯德圖Fig.11 Bode diagram of voltage loop open loop transfer function when resonant controller’s bandwith is 5Hz

降低諧振控制器帶寬后，諧振控制器相移范圍變窄，將不會對截止頻率處相位裕度產生作用影響系統的穩定性，同時空載和輕載下低頻段-π的穿越依然存在，需要通過求解電壓環開環傳遞函數極點方程，重新根據其是否包含右半平面極點判斷系統的穩定性。

5 仿真和實驗驗證

設計諧振控制器帶寬為80Hz，通過Saber仿真軟件進行逆變器仿真與 Matlab所繪制伯德圖進行對比。Saber仿真主電路和控制電路參數同圖10a的Matlab仿真參數相同。仿真結果如圖12所示。

圖12a表明在諧振控制器的影響下增益為0dB處截止頻率為2.9kHz，對應的相位小于-π，滿足自激振蕩條件，此時圖12b中逆變器輸出電壓波形在基波頻率上疊加低頻振蕩成分，對該波形進行傅里葉分析，如圖12b中諧波分布圖所示，該振蕩頻率為2.8kHz，與伯德圖自激振蕩點基本吻合，證明本文對諧振控制器引起變換器自激振蕩現象分析的正確性。

圖12 SABER仿真波形與伯德圖Fig.12 Waveform of Saber simulation and Bode diagram

當降低諧振控制器帶寬為 5Hz，Saber仿真結果如圖12c所示，因為截止頻率處相位不再受諧振控制器的影響，輸出電壓自激振蕩問題得到抑制。

為了驗證本文提出的諧振控制器參數設計方案，在實驗室制作一臺6kV·A兩級式航空靜止變流器平臺進行實驗驗證。

樣機主電路拓撲和參數與Matlab以及Saber仿真參數一致。并降低諧振控制器帶寬，同時根據奈氏判據設計補償網絡，使系統在空載和輕載不包含右半平面極點，得到6kV·A航空靜止變流器啟動與穩態工作實驗波形如圖13所示。

圖13 直直變換器及級聯后各級變換器輸出電壓波形Fig.13 Output voltage waveforms of the DC-DC converter and inverter

圖13a中，示波器通道3為ASI前級直直變換器 300V輸出直流電壓建壓波形，即逆變器輸入直流電壓啟動波形；示波器通道 1、2、4、為逆變器三相輸出電壓啟動波形。圖13b為逆變器三相輸出穩態實驗波形。ASI啟動時間約為 900ms，實驗中逆變器具有良好的動態和穩態性能，證明遵循本文所提出的諧振控制器設計依據能夠保證中頻ASI逆變器的穩定工作。

為了進一步考驗逆變器的動態性能，驗證優化后的諧振控制器對逆變器的穩定性和動態性不造成影響，對實驗平臺進行短路實驗，短路電流峰值為53A，采用A相短路對地電路方式進行實驗，A相電感電流波形如圖14所示。圖14表明逆變器動態性能能夠達到ASI對負載短路的要求。

圖14 一相短路電感電流波形Fig.14 Inductor current waveform of one phase shor circuit

對不同負載的逆變器三相輸出電壓進行實驗測試，實驗結果見下表。三相四橋臂逆變器在加入諧振控制器之前，輸出電壓隨著負載從 1～6kV·A增加而降低，最終降低幅值最大值達到5V，加入諧振控制器后負載由 1～6kV·A增加輸出電壓降低幅值最大值為1.3V。實驗證明基于本文諧振控制器優化設計依據，加入諧振控制器后的逆變器不僅動態、穩態性能能夠達到設計要求，而且逆變器輸出電壓隨著負載提高下降值減小，三相輸出平衡度和穩定性得到了提高，逆變器的外特性符合測試指標要求。

表 逆變器外特性實驗數據Tab. Experimental data of inverter’s External Characteristic

6 結論

本文在建立三相四橋臂逆變器全負載狀態小信號模型的基礎上，分析了電壓電流補償網絡對逆變器穩態和動態性能的影響。為了優化逆變器外特性，采用了諧振控制器提高基波頻率增益的控制策略。并通過中頻 ASI逆變器中諧振控制器的小信號建模，論證了在輕載或空載狀態下，諧振控制器造成逆變器開環傳遞函數相頻特性曲線低頻段穿越-π。證明了當諧振控制器帶寬設計過寬將降低系統相位裕度造成自激振蕩。最后本文提出了一套適用于中頻逆變器的諧振控制器優化設計依據，給出了輕載、空載狀態穩定性判斷標準，通過仿真和實驗驗證了分析結果的正確性，得到以下結論：

（1）諧振控制器等效于帶通濾波器，通過提高基波頻率處的增益提高逆變器外特性，其對截止頻率點沒有影響，但是會造成基波頻率附近頻段的相移，進而影響相位裕度。

（2）隨著逆變器負載的降低，在小于基波頻率的低頻段相位會隨之接近-π，在諧振控制器作用下，相頻特性正負穿越-π各一次，需要通過解開環傳遞函數極點方程的方法重新判斷系統在空載和輕載下的穩定性。

（3）諧振控制器帶寬過寬會造成中頻逆變器截止頻率處相位裕度降低，當穿越頻率處相位低于-π，同時根據極點方程判斷系統又是穩定時，逆變器輸出將出現自激振蕩現象，在基波頻率上疊加N倍基波頻率的諧波，該諧波頻率接近截止頻率。同時諧振控制器對逆變器截止頻率處正反饋深度隨著逆變器輸入輸出電壓等級成反比，而且該正反饋不會隨著負載的提高而減弱。因此需要盡可能縮小用于提高中頻逆變器外特性的諧振控制器帶寬以降低諧振控制器對環路穩定性的影響。

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