一種基于協方差矩陣重構的相干信源DOA估計算法

劉曉娣，周新力，肖金光，張　燁（海軍航空工程學院電子信息工程系，山東煙臺264001）

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一種基于協方差矩陣重構的相干信源DOA估計算法

劉曉娣，周新力，肖金光，張燁
（海軍航空工程學院電子信息工程系，山東煙臺264001）

摘要：針對空間相干信源的波達方向估計問題，提出了一種基于協方差矩陣重構的TSVD-ESPRIT算法。它利用包含所有信源信息的特征向量構造Toeplitz協方差矩陣，避免了陣列有效孔徑的損失，分辨率高且穩定性好；并且利用ESPRIT算法代替MUSIC算法進行DOA估計，避免了譜峰搜索，大大降低了計算量。數據仿真和分析證明了該算法的正確性和有效性。

關鍵詞：DOA估計；協方差矩陣；ESPRIT；相干信源

波達方向（Direction of Arrival，DOA）是陣列信號處理的一個熱點問題，在通信、雷達、聲納等領域有重要應用[1-4]。實際應用中，受多徑效應或電磁干擾等影響，信號到達天線陣列時往往產生相干，接收數據的空間協方差矩陣產生秩損失，傳統的DOA算法如多重信號分類[5]（Multiple Signal Classification，MUSIC）、利用旋轉不變性進行信號參數估計[6]（Estimation of Signal Parameter Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）等在相干環境中失去效用。針對相干信號源的DOA估計，很多算法相繼被提出，這些算法總體上分為解相干預處理和基于解相干基礎上的DOA估計（即傳統的DOA估計）2個部分。目前，解相干預處理算法主要有2類[7]：一類是降維法，如空間平滑類算法、矩陣重構算法；另一類是非降維處理法，如Toeplitz法。降維法以犧牲陣列有效孔徑為代價獲得解相干能力，降低了算法的分辨率，而非降維處理法往往會產生較大的估計偏差。為此，文獻[8-9]綜合考慮2類算法，重構協方差矩陣，在一定程度上提高了解相干的性能。而這些算法大都以MUSIC作為DOA估計處理技術[10]，由于MUSIC需要進行譜峰搜索，致使算法的運算量較大。

為了解除信號源的相干性，不損失陣列有效孔徑，同時避免譜峰搜索，本文在文獻[10]的基礎上提出了一種基于協方差矩陣重構的TSVD-ESPRIT算法。該算法首先通過奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）獲得包含所有信號信息的特征向量；然后，利用所得的特征向量構造一個Toeplitz協方差矩陣，重構的協方差矩陣維數等于陣元個數，對其進行特征值分解即可得到信號子空間和噪聲子空間；最后，利用ESPRIT進行DOA估計。與文獻[8，10]和傳統的SVD算法相比，該算法沒有陣列孔徑損失，分辨率高；與文獻[9]相比，該算法用ESPRIT代替MUSIC，且不需構造多個Toeplitz矩陣，復雜度大大降低。

1　信號模型

假設一個標準均勻線陣，包含N個相同的全向陣元，陣元間距滿足“半波長條件”，即d≤λ/2（λ是入射波長）?，F有M個遠場窄帶信號（M

陣列接收的數據可以表示為式（2）中：A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]為陣列流型矩陣，其中，a(θ)=[1,e-j 2

λπdsinθi,…,e-j 2

λπd(N-1)sinθi]T為陣列接收第i個

i信號時的導向向量；S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T為信號向量，N(t)=[n1(t),n2(t),…,nN(t)]T為陣列接收噪聲向量。

根據上述假設，陣列的協方差矩陣表示為：式（3）中：E{?}表示統計期望；RS=E{S(t)SH(t) }表示信號協方差矩陣；RN=σ2I表示噪聲的協方差矩陣，σ2表示噪聲功率，I表示單位矩陣。

在信號統計獨立的情況下，rank(R)等于信號個數M，對R進行特征值分解可以得到相互正交的信號子空間和噪聲子空間；而在相干環境下，相干信號對應的信號特征向量將惡化轉變到噪聲子空間，rank(R)小于信號個數M，從而無法利用傳統的算法對相干信號進行DOA估計。

2　基于協方差矩陣重構的TSVD-ESPRIT算法

對于相干信源DOA的估計，本文首先利用包含所有信號信息的數據矢量，構造一個秩等于信號個數M的Toeplitz矩陣，實現解相干的目的；而后，利用ESPRIT算法進行DOA估計。

2.1解相干預處理

定理1：[11]假設M(M≤N-1)個平面波入射到N元天線陣上，陣列流型矩陣A的秩為M，信號矩陣RS的秩為K(K≤M)，噪聲協方差矩陣RN為滿秩矩陣，則有

如下線性關系成立：式（4）中：ek(1≤k≤K)為對應于K個信號特征值λ1≥λ2…≥λK>σ2的信號特征向量；αk(i)為線性組合因子。

根據上述假設RN=σ2I，式（4）可簡化為：

由定理1可知，在理想高斯白噪聲條件下，無論入射信號是否相干，對應大特征值的信號特征向量是各信源導向向量的一個線性組合，即包含了所有信號方向信息。在此，對大特征值對應的特征向量取均值：式中，

利用eˉ構造Toeplitz矩陣：

將式（6）代入式（7）得：

式（8）中，，顯然rank(Rα)=M。

又陣列導向向量矩陣A為Vandermonde矩陣，rank(A)=M，所以ARαAH的秩為M，即rank(G)=M。這表明無論入射信號是否相干，新構造的協方差矩陣G的秩都等于信號數，從而達到了“解相干”的目的。對G進行特征值分解可得到M個大特征值和N-M個小特征值，它們對應的特征向量分別為…,uM，uM+1,uM+2,…,uN，則US=[u1,u2,…,uM]的各列可張成信號子空間，UN=[uM+1,uM+2,…,uN]的各列可張成噪聲子空間。

2.2 DOA估計

根據2.1中分析所得的信號子空間和噪聲子空間，利用ESPRIT進行DOA估計。令陣列流型矩陣

，其中：a1和aN分別對應A的第一行和最后一行，由陣列流型矩陣的結構可得式中表示包含方向信息的旋轉矩陣。

對U進行同樣地分解，U=é

ê1ùú=éê

Fùú，其中u和

SS?UB??uN?1

uN分別對應US的第一行和最后一行。由陣列流型矩陣的各列也可張成信號子空間，從而必存在一個非奇異矩陣T滿足

由式（10）可得：由式（9）、（11）可得式（12）中：( )?-1表示逆矩陣；( )?+表示矩陣的Moore-Penrose廣義逆。

令顯然，Ψ和Φ有同樣的特征值，對Ψ進行特征值分解即可得到Φ，從而可估計出各信號的到達角θi(i=1,…,M)。

2.3算法步驟

利用本算法進行相干信源DOA估計的具體步驟：

2）對協方差矩陣R進行特征值分解，取出信號特征向量并根據式（6）求出信號特征向量的均值eˉ；

3）利用eˉ根據式（7）重構協方差矩陣G；

4）對協方差矩陣G進行特征值分解得到信號子空間US；5）利用US得到UB和UF，根據式（13）計算Ψ；6）對Ψ進行特征值分解得到Φ，根據Φ的表達式就可得到對應的入射信號的到達角。

3　數值仿真

為驗證新算法的有效性，利用Matlab進行了數值仿真實驗，將本文提出的TSVD-ESPRIT與SVD-MUSIC、文獻[10]中的第1種方法SVD1-ESPRIT 3種算法進行比較分析。實驗中，接收陣列為均勻線陣，陣元間距為λ 2，背景噪聲為與信號不相關的窄帶高斯白噪聲。每次實驗都取200次Monte Carlo實驗結果的平均值，數據快拍數為200，SVD-MUSIC功率譜搜素步長為0.01°。仿真中，DOA估計的均方根誤差定義為式中，i(n)表示第n次θi的估計值；M表示入射的窄帶信號的個數。定義均方根誤差θRMSE<0.2°時算法估計成功，成功概率定義為估計成功次數與總實驗次數之比。

實驗1：2個相干信號，SNR =5 dB，第1個信號從-1°入射到均勻線陣，第2個信號的方位角從0°到9°為間隔變化，每個方位間隔進行200次Monte Carlo實驗。分析3種算法的均方根誤差θRMSE、成功概率隨SNR的變化情況，見圖1、2。

圖1　成功概率隨方位間隔的變化曲線Fig.1 Chang curve of probabilitwith success with angle interval

從圖1、2中可以看出，在SNR一定的情況下，3種方法的成功概率、均方根誤差皆隨方位間隔的增大而增大，其中TSVD-ESPRIT算法的性能優于其他2種算法，這是由于該算法在解相干預處理時避免了陣列有效孔徑的損失，使得分辨率提高。

實驗2：3個等功率相干信源分別以-15°、5°、15°入射到均勻線陣，陣元數為15，SNR從-10 dB到20 dB以0.5dB的間隔變化，每個SNR進行200次Monte Carlo實驗。分析3種算法的均方根誤差θRMSE、成功概率隨SNR的變化情況。

圖3為成功概率隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，在信源夾角一定的情況下，3種算法的成功概率隨SNR的增加而增大，其中TSVD-ESPRIT優于其他2種方法，即使在低信噪比（-10dB≤SNR≤0dB）的情況下，該算法與其他2種算法相比，也具有較高的成功概率。

圖3　成功概率隨SNR的變化曲線Fig.3 Chang curve of probabilitwith SNR

圖4為θRMSE隨SNR的變化曲線。隨著SNR的增大，3種方法的θRMSE逐漸減小。其中，TSVD-ESPRIT的均方根誤差最小，SVD-MUSIC其次，SVD1-ESPRIT誤差最大。而當信源完全相干時，SVD-MUSIC和SVD1-ESPRIT的解相干性能是一致的，這證明了在同樣情況下，MUSIC算法的估計性能要優于ESPRIT算法[7]。當SNR在4~8dB變化時，TSVD-ESPRIT算法的θRMSE比SVD-MUSIC低約0.05°，表明該算法在計算精度方面優于SVD-MUSIC。同時，因避免了譜峰搜索，在計算速度上也優于SVD-MUSIC。

圖4　均方根誤差隨SNR的變化曲線Fig.4 Chang curve of RMSE with SNR

因此，本文提出的TSVD-ESPRIT算法，對相干信源DOA具有良好的估計性能，且穩定性好，在低信噪比情況下，優勢更為明顯。

4　結論

本文在文獻[10]的基礎上提出了一種估計性能高、穩定性好的TSVD-ESPRIT算法。它利用包含所有信源信息的特征向量構造Toeplitz協方差矩陣，避免了陣列有效孔徑的損失，分辨率高且穩定性好；相比傳統的SVD-MUSIC的算法，避免了譜峰搜索，降低了運算量。

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An DOA Estimation Algorithhmm of Coherent Signals Based on Conviance Matri

Abstrraacctt:: For the direction of arrival (DOA) of coherent signals, a new algorithm based on covariance matrireconstruction named TSV-ESPRIT was proposed. The signal eigenvectors including the direction information of all sources was used to construct the Toeplitz covariance matri. This construction method is without reducing the arraaperture and increase esti?mation resolution and stabilit. The estimation of signal parameter via rotational invariance techniques (ESPRIT) instead of multiple signal classification (MUSIC) was used to avoid the peek searching and reduce the computational compleit. Sim?ulation results and analsis proved the validitand effectiveness of the algorithm.

作者簡介：劉曉娣（1982-），女，講師，碩士。

收稿日期：2014-10-09；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.005

文章編號：1673-1522（2015）02-0120-05

文獻標志碼：A

中圖分類號：TN929.53

修回日期：2015-01-20