精密GNSS衛星鐘差擬合及預報模型研究

孫大偉，賈小林

1.長安大學，陜西 西安，710054；2. 西安測繪研究所，陜西 西安，710054

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精密GNSS衛星鐘差擬合及預報模型研究

孫大偉1，賈小林2

1.長安大學，陜西 西安，710054；2. 西安測繪研究所，陜西 西安，710054

根據衛星鐘固有的物理特性和周期性，構造了一種基于頻譜分析的鐘差擬合及預報模型。通過模型擬合與預報誤差評定其擬合預報精度，并通過與二次多項式鐘差模型的預報結果對比，得出基于譜分析的鐘差模型要優于二次多項式鐘差模型的結論。計算結果表明，基于譜分析的鐘差擬合模型能夠很好地對衛星鐘差進行擬合和預報，擬合精度為亞納秒量級，鐘差預報精度在納秒量級。

衛星鐘差；譜分析；擬合預報

1　引　言

星載原子鐘作為導航定位系統測距的重要時間基準，是衛星導航定位系統的核心載荷，而鐘差數據的精確度直接決定用戶的導航定位精度。因此，對GNSS鐘差特性進行分析并對其預報方法進行研究是十分重要的[1]。

常用的衛星鐘差預報方法有二次多項式模型、灰色模型和ARIMA模型等[2-4]。二次多項式模型的優點在于建模時可使用較長的歷史數據進行充分擬合，且模型簡單明了，易于編程實現；缺點是預報誤差隨著預報時間的增加而不斷變大，因此該模型更適合鐘差的短期預報。灰色模型的優點在于可使用較少的鐘差信息建立模型，適于鐘差的長期預報；其缺點是預報穩定性較差，且沒有充分利用鐘差信息。ARIMA模型具有消除周期項和無規律變化的特點，其優點是避免了隨時間增加而造成的預報誤差積累，但與二次多項式模型相比，沒有很好地表征出原子鐘的頻移和頻漂等物理特性。參考ARIMA模型對鐘差趨勢項和隨機項分開處理的思想，本文結合頻譜分析的方法，在二次多項式模型的基礎上加入周期項改正模型，進行了鐘差的擬合與短期預報研究。該模型中包含一個表征原子鐘頻移、頻漂、頻漂率等物理性質的二次多項式，以及表征原子鐘周期性特性的多個周期項。利用IGS提供的事后鐘差產品，先進行二次多項式擬合獲得擬合殘差；再通過對擬合殘差的譜分析，確定其主要的周期項，求出鐘差模型；最后分別使用二次多項式模型和基于頻譜分析的附加周期項二次多項式模型預報鐘差，經預報結果的比對，得出后者的預報效果優于前者的結論。

2　基本原理

2.1衛星鐘差模型

進行衛星鐘差研究，必須根據衛星鐘的物理性質構造鐘差模型。衛星鐘的物理性質，即頻移、頻漂、頻漂率[5]，可以粗略地用二次多項式來擬合。但是為了更加真實地反映衛星鐘特性，還必須考慮到衛星鐘的周期性變化，該部分可用一組周期函數來表達。因此，衛星鐘差中除了包含二次多項式外，還要包含衛星鐘差周期性的特征，鐘差擬合模型為：

(1)

式中，T(j)表示第j個歷元的衛星鐘差值，由IGS提供；ak、Am和Bm表示待求模型參數，m=1,2,…n,m 的大小由功率譜決定；t(j)表示第j個歷元的時刻；ωk表示該衛星鐘的頻率變化特征參數；v(j)表示該衛星鐘第j個歷元鐘差的殘差。

2.2頻譜分析原理

頻譜分析是利用數據呈波形的性質，通過對數據波形的幅值進行分析，找出數據序列中存在的顯著周期項，這些周期項在頻譜圖上表現為具有較大的能量(幅值)特征。對于鐘差殘差數列，根據其特殊性質，可以認為是具有顯著周期項的數據波。借助頻譜分析，在擬合模型中除掉周期性誤差，提高擬合精度。

頻譜分析主要是將數據數列進行傅里葉級數展開，獲得數列中各數值的頻譜值。對于IGS鐘差數據來說，可采用離散傅里葉級數將其展開[6]：

(2)

其中，X(k)代表k時段的頻譜值，x(n)為數列中的值。通過上式可以求出數列中各點對應的頻譜值，然后畫出數列的頻譜圖。通過頻譜圖，容易確定顯著的周期項。

3　試驗與分析

3.1數據來源

本文采用IGS提供的2015年3月1日～3月14日的CIK鐘差產品，數據采樣間隔為5min，對此期間每一天的鐘差進行擬合。

3.2計算過程

基于以上原理，本文采用如下步驟對IGS衛星鐘差數據進行擬合與預報：

1)對鐘差數據進行二次多項式擬合，得到鐘差殘差數列vi。

2)采用公式(2)傅立葉變換處理殘差vi，得到功率譜。對應頻譜圖，確定周期函數的階數n(本文采用12階周期函數)，找到第m個功率譜對應頻率ωm。

3)將ωm代入鐘差擬合模型式(1)中，通過最小二乘解算出模型參數αk、Am和Bm。

4)由計算出的模型參數，對鐘差數據進行擬合和預報，擬合殘差與預報殘差是由鐘差模型計算值與IGS鐘差產品作差得出。

3.3結果分析

下面給出G01衛星的單天算例(圖1)。首先對G01單天的鐘差產品進行二次多項式擬合并求出擬合殘差(圖1a)；其次對擬合殘差進行譜分析，找出其顯著周期項(圖1b)；再次將周期項改正加入二次多項式中，求出模型(1)中各參數，然后計算其擬合殘差(圖1c)；最后采用求出的模型(1)進行第二天的鐘差預報，并求出其與IGS鐘差產品的差值作為預報誤差(圖1d)。從圖1a可以看出，直接進行二次多項式擬合得到的擬合殘差具有明顯的周期性特征；從圖1b可以看出其顯著周期項為12h、24h和6h等；從圖1c可以看出加入這些周期項改正的擬合殘差數列無明顯周期項；從圖1d中看出預報誤差3ns以內，但是隨著預報時間的增加，預報誤差逐漸增大。

圖1　G01衛星擬合殘差顯著周期項與預報誤差圖

擬合模型殘差數列的中誤差在一定程度上可以直接反映擬合模型的精確程度，計算2015年3月1日～14日間IGS鐘差數據的擬合殘差中誤差，列于表1。從表1可以看到，基于頻譜分析的鐘差擬合模型擬合精度基本達到厘米量級(即10-10s量級)。其中，G10為BLOCKⅡA型衛星，搭載的為CS鐘，其服役時間過長，衛星鐘可能出現設備老化導致的問題；G24為BLOCKⅡF型衛星，搭載的為CS鐘，由于出現周期性震蕩， 體現為

存在顯著周期項之外的其他周期項，因此擬合精度較低；G26衛星在1834周和1835周運行中斷，雖然在1835周內第四天開始運行，但其穩定性可能尚未達到服務水平，因此擬合結果較差；R15衛星擬合精度較低，可能是由衛星鐘本身穩定性和數據質量等原因導致。在不考慮以上衛星的情況下，基于頻譜分析的鐘差擬合模型可以有效地對衛星鐘差進行擬合，擬合標準差最大不超0.5ns。

表1GPS、Galileo、GLONASS和北斗系統星載鐘鐘差擬合精度對比情況

系統/批次GPSGalileoⅡAⅡRⅡR-MⅡFⅡFGIOVE-AGIOVE-BGLONASS北斗類型RbRbRbRbCsRbPHMCsRb擬合中誤差(ns)0.1～0.270.1～0.230.1～0.170.03～0.050.030.070.03～0.070.13～0.50.07～0.23

圖2中列出了四個系統不同衛星鐘差的單天預報結果，從圖中的結果可以看出，除G10號衛星由于鐘差產品穩定性較差導致預報精度較低以外，其他衛星僅使用單天鐘差預報第二天的鐘差，其預報精度即可達到納秒等級。由此可見，附加了周期函數的鐘差模型可以有效地對衛星鐘差進行預報，并能保證較高的預報精度。

本文采用單天精密鐘差產品預報第二天鐘差，并將預報結果與第二天的IGS鐘差產品作差求其RMS，將統計結果列于圖3(圖中model 1 為二次多項式鐘差模型，model 2 為附加周期項改正的二次項鐘差模型)。從圖3可以看出：附加周期改正的鐘差模型預報效果總體上要好于二次多項式模型；兩種模型對于變化比較穩定的衛星鐘預報比較可靠，但是對于變化較大的鐘差預報結果較差；銣鐘的預報結果總體要好于銫鐘；兩種模型對于氫鐘鐘差預報結果相差不大。

圖2　不同衛星單天鐘差預報結果

圖3　兩種模型鐘差預報RMS對比圖

4　結　論

基于頻譜分析的鐘差擬合預報模型方法簡單有效，可以對衛星鐘差進行較好的擬合與預報。試驗中得出以下結論：

1)基于頻譜分析的鐘差模型可以有效地對衛星鐘差進行擬合，擬合標準差最大不超過7×10-10s(即20cm)，大多數情況下擬合精度在厘米級。

2)基于頻譜分析的鐘差模型其擬合預報結果均優于二次多項式鐘差模型。

3)對于變化比較穩定的衛星鐘差預報的精度比較可靠，且其單天預報第二天精度在納秒等級，但對于穩定性變化較大的衛星鐘預報結果較差。

4)基于頻譜分析的鐘差模型在預報時，存在同二次多項式鐘差模型類似的誤差積累，其主要原因在于模型中的主要誤差累計源于模型中的二次項。

5)氫鐘的鐘差預報結果要優于銣鐘，銣鐘的鐘差預報結果要優于銫鐘。

本文基于頻譜分析，對衛星鐘差中的周期項進行了研究，并將周期項改正加入到二次多項式鐘差模型中，改善了鐘差擬合，預報的結果。本文的研究表明，基于頻譜分析的二次多項式鐘差模型擬合,預報結果總體優于二次多項式鐘差模型。文中對穩定性較差的衛星鐘差預報結果不佳，如何提高此類衛星鐘差預報精度，有待進一步研究。

[1]張勤, 李家權.GPS測量原理及應用[M] .北京:科學出版社, 2005.

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[3]黃觀文. 基于頻譜分析的IGS精密星歷衛星鐘差精度分析研究[J].武漢大學學報(信息科學版),2008,33(5):497-499.

[4]張斌, 歐吉坤. 一種小波與譜分析結合的GPS精密衛星鐘差擬合方法研究[J]. 武漢大學學報(信息科學版),2007,32(8):715-718.

[5]郭海榮.導航衛星原子鐘時頻特性分析理論與方法研究[D].鄭州:信息工程大學, 2006.

[6]芮國勝, 康健.小波與傅立葉分析基礎[M].北京:電子工業出版社,2004.

[7]International GNSS Service (IGS) IGS Products[EB/OL].[2014-04-16].http://cddis.gsfc.nasa.gov/.

Research on Precise GNSS Satellite Clock Bias Fitting and Prediction Model

Sun Dawei1,Jia Xiaolin2

1.Chang’an University, Xi’an 710054, China 2. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054, China

According to the intrinsic physical features and periodicity of satellite clock, a clock bias fitting model based on the spectrum analysis is constructed in this paper. The model fitting and prediction error can be used to assess the precision of the clock model, and the result is compared with the quadratic polynomial clock bias model. The result shows that the model based on the spectrum analysis is better than the quadratic polynomial one. The fitting precision of the former model can reach the level of nanosecond, and the prediction precision can be less than ten nanoseconds.

satellite clock bias; spectrum analysis; fitting and prediction

2015-06-29。

孫大偉(1987—)，男，碩士研究生，主要從事衛星導航研究。

P223

A