基于經驗自然延續的教學
——以“角的表示”為例

☉江蘇省如皋市石莊鎮初級中學　呂愛勤

基于經驗自然延續的教學
——以“角的表示”為例

☉江蘇省如皋市石莊鎮初級中學呂愛勤

在學生的數學認知活動中，基本活動經驗有著巨大的作用.它是學生獲得新知的前提和基礎，沒有經驗參與的數學活動是不能深刻持久的，學生的所獲是很難融入到已有知識結構中去的.因此，在數學教學中，我們應從他們固有的經驗入手，設置基于經驗之上的數學探究活動，讓學生的認知在固有經驗上自然延續.本文將結合“角的表示”教學片斷，談談基于經驗自然延續的教學，希望能引發您的思考.

一、“角的表示”教學片斷及簡析

圖1

1.回顧舊知，用交流喚醒經驗

教師：（投影一個點）這里有一個點，你能給它起個名字嗎？

學生1：點A.（教師板書：a）

學生（齊）：錯了，應該是大寫字母A.

教師（恍然大悟的樣子）：哦！看來老師記錯了！在表示什么幾何圖形時，可以用小寫字母？

學生2：線段，直線，射線.

教師：是嗎？（投影圖1，注：這里不含字母，圖中字母隨著教學進程逐漸添加）這三條線該如何表示呢？

學生3：用兩個大字字母.

投影：在三條線上分別出現兩個大寫字母.并請學生作答.

學生4：第一條是直線AB；第二條為射線OP；第三條為線段MN.

教師：還有其他不同的表示方法嗎？

學生5：第一條還可以說成是直線BA.

學生6：第三條也可以說成是線段NM.

教師：這種表示方法和剛才的表示方法相比，有什么不同？

學生7：兩個字母的位置顛倒了！

教師：可以這么表示嗎？

學生8：可以！從“公平”的角度看，兩個字母都可以放在前面.

教師：很好，看來這兩種表示方式都是可以的.那么，還有沒有其他表示方法了？

學生9：還可以用小寫字母表示.

教師：好的，你說說看.

學生10：第一條可以表示為直線a；第二條可以表示為射線l；第三條可以表示為線段m.

在學生10發言過程中，教師用電子筆在課件上進行相應標注，如圖1.

教師：你說得完全正確！那么，在我們的已有經驗中，點和“線”（特指直線、射線、線段，師生先前已經達成共識，下同）是怎樣表示的呢？

學生11：只能用一個大寫字母表示點.

教師：表示直線、射線和線段呢？

學生12：既可以用一個小寫字母表示，又可以用兩個大寫字母表示.

教師：在表示“線”的時候，這兩個字母表示的是什么？

學生13：是“線”上的兩個點.

簡析：通過前兩課的學習，學生已經掌握了用字母表示點和“線”的方法，積累下獲得這些知識的經驗，它們是后續幾何學習的起點.在本節課的認知活動中，前兩課積累的“用字母可以表示幾何圖形”，“用大寫字母表示幾何圖形”、“用小寫字母表示幾何圖形”，以及“表示點、直線、射線、線段”這一系列經驗等都可以得到有效延續.所以，喚醒這些經驗顯得十分重要.片斷1中，教者從表示“無名點”、“無名線”入手，巧妙設問，讓學生重回認知情境，有效喚醒已有經驗，為下一步獲取新知做好了準備.

2.探究新知，用追問激活經驗

教師：表示點只有一種方法，而表示線可以有兩種方法.那么表示這個角（投影圖2），你有幾種方法呢？

圖2

學生（齊答）：三種.

教師：是嗎？說說看是哪三種？

學生14：∠O或∠AOB或∠BOA.

教師：這能算三種嗎？

學生15：不能.

教師：為什么？

學生16：在表示直線時，直線AB和直線BA只能算一種.

教師：這個例子舉得好！看來，用一個大寫字母表示和用三個大寫字母表示只能算一種了！你們同意嗎？

學生（齊）：同意！

教師：這種表示方法，有沒有什么要求呢？學生17：用一個字母表示，只能用頂點.教師：為什么？

學生18：角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，這個公共端點就是它的頂點.也只有用這個點來表示這個角時，兩條射線才會“服氣”.

教師：嗯！有道理！要不然兩條射線可要“打架”了.

學生19：老師，我知道了，用三個字母表示角的時候，在頂點之外的兩條射線上也各取了一個點，這樣做也是為了“公平”.

教師：有點道理.那么，這三個點寫的時候要注意什么呢？

學生20：頂點寫在中間，這樣就不會“疏遠”任何一條射線了.

教師：看來為了“公平”，我們寫這三個字母還是要注意喲！

簡析：順著“點的表示方法只有一種，線的表示方法有兩種”，讓學生猜想角有幾種表示方法，這是認知經驗的自然延續.學生得出“三種”，應該是在情理之中的.學生14給出的用一個或三個大寫字母表示的方法僅是教者期待的方法之一，教者抓住這一生成，利用學生的經驗，讓他們較為深入地明晰這“三種”用大寫字母表示角的聯系與區別.在此過程中，學生能類比直線的表示方法，明晰“∠AOB、∠BOA和∠O”都是同一種方法，實屬不易.如此探究，讓學生腦海中“公平”經驗得以強化，為下一步的生成與應用夯實了基礎.

3.即時鞏固，通過應用固化經驗

圖3

教師：圖3中有幾個角，該如何表示這些角呢？

學生21：有兩個角.

學生22：不對！應該是三個角！

教師：到底幾個？

學生23：三個.

教師：哪三個？如何表示？

學生24：∠COA和∠BOA和∠O.

教師：這樣表示行嗎？

學生25（很激動）：不行！不能用∠O表示這里的任何一個角！

教師：為什么？

學生26：O點既是∠AOC的頂點，又是∠BOC的頂點，還是∠AOB的頂點，用∠O表示其中任何一個角都不“公平”.

教師：很好！看來這些角是不能用∠O表示了！那么什么情況下能用一個大寫字母來表示角呢？

學生27：同一頂點處只有一個角.（說明：七年級學生所認知的角一般都小于平角）

教師：你說得真對！這一點今后大家在用大寫字母表示角時可要注意喲！

簡析：追求“公平”，不讓一個點、一條線不“服氣”，上一個教學片斷中的經驗得到延續.學生從“一個頂點，多個角”的問題展開思考，通過表示一些具有公共頂點的角，將剛剛獲得的經驗進一步應用.“這樣表示行嗎”，一句簡單的追問，讓前一片斷中的經驗在辨析交流中進一步延伸.新知得到了鞏固，經驗被不斷強化，隨著幾何學習的深入，這節課上的經驗將會逐漸被“固化”，融入學生的知識網絡之中.

4.再獲新知，用探究積淀經驗

教師：我們已經學習了用大寫字母表示角的方法，猜一猜，我們有沒有其他方法表示角呢？

學生28：應該還可以用小寫字母表示吧！

教師：是的！不過為了與“線”的表示方法略有區別，我們這里用希臘字母來表示角，如圖2中的∠AOB，我們還可以表示為∠α.（投影圖2中的弧線及字母“α”）

教師：剛剛我們猜想可以用三種方法表示角，猜想一下，有沒有比用希臘字母表示角還容易的方法？

學生29：用數字表示.

教師：何以見得？

學生30：數字比字母更容易寫，而且不受數量限制.

教師：非常棒！你的猜想符合規律，這個角還可以表示為∠1.（投影：將圖2中的字母“α”隱去，投影數字“1”），像圖3中的∠AOC也可以表示為∠2.（投影）

教師：下面，我們一起來小結一下角的表示方法.

學生31：可以用大寫字母表示.

學生32：不僅可以用希臘字母表示，還可以用數字表示.

教師：剛才的學習給了你什么啟示？

學生33：表示角的方法很多，我覺得用數字表示角最簡單.

學生34：如果頂點處只有一個字母，可以用表示頂點的字母表示這個角.

教師：很好！今后，在解決幾何問題時，用什么樣的方式去表示角，應取決于問題所處的圖形情境.靈活應用三種表示方法，將簡化你的解題過程！

簡析：片斷1中用小寫字母表示“線”的經驗，在這則片斷中得到了很好的延續.師生對話，有效點燃了學生用“小寫字母”表示角的熱情.這一經驗延續，對后續幾何內容的學習十分重要.此外，“有沒有比用字母表示角還要容易的方法”，激活了學生求簡的經驗，能想到用數字來表示實屬不易.暫不考慮該生是如何發現這一方法的，最起碼他陳述的數字表示角的優越性確實令人信服.“簡便，不受個數限制”，個體經驗的放大，引發了其他同學的深層思考.豐富的生成隨著經驗的延續自然呈現，令人欣慰！

二、教后反思

歷經這次基于經驗自然延伸的數學教學，筆者感慨良多，經驗是蘊藏于人的認知網絡深處的知識，它是隱性的，只在特定時點上才能發揮其價值.因此，我們必須正視學生的經驗并運用好這些經驗.

1.重現認知情境能有效喚醒學生的已有經驗

經驗的隱性特征決定了其教學應用中的價值較難發揮.在初中數學教學中，要為學生創設出合適的情境，尤其是最初學生能夠積累下這一經驗的情境，這樣的設置極易帶領學生重回舊境，喚醒他們的固有經驗，服務于新知的學習.以本文所述片斷為例，“點的表示”、“‘線’的表示”均是“從‘無名’走向‘有名’”，“從無法走向有法”，這樣的過程是一致的.在教學中，教者讓學生重回知識建構的原情境，知識回顧的過程實則也恰到好處地激活了學生獲取知識積累下的“用字母表示幾何圖形”（點、線）的經驗.情境的重現，讓學生浮想聯翩，喚醒了諸多共性經驗，如，“只能用一個大寫字母表示點”，“直線AB和直線BA是同一條直線”；也不乏一些個性化的經驗，如，“公平”的經驗等.這些數學認知活動中的經驗和生活中的經驗，對數學學習是十分有效的.從教學效果看，后面三則片斷幾乎都沿用了片斷1中梳理出的經驗.由此可見，認知情境的再現，對喚醒學生固有經驗的作用是巨大的.

2.順勢而為是經驗得以延伸的基本保證

學生的認知是有規律的，只有符合個體需求的知識才能進入其知識網絡.此外，我們還應保證進入的方式必須是學生主體最適宜接受的，否則，對今后的生活作用再大的知識也不一定會融入已有的結構.所以，引導學生獲得新知的方式就顯得很重要了！筆者認為，在已有知識和經驗之上的“順勢而為”是一種有效的手段，有利于學生從已有的認知網絡中捕捉到新知的“生長點”.教師的引導是這種順勢而為的“推手”，學生在一個個追問下自然會順勢生成符合教學要求的新知.基于經驗喚醒下的數學活動，學生的探究，有舊知（知識與經驗）的鋪墊，加之學生的主動參與，教師只需順著學生的交流進行適度矯正，固有的經驗便會得到自然延伸，新知的生成自然會十分順利了.以上面的片斷為例，在學習“角的表示”前，學生已經具備了“用字母表示點和‘線’的經驗”，這些是“新鮮”的，沿著新鮮的學習經驗，老師的順勢而導，學生在猜想與驗證中獲取了本節課應得的新知，并同步實現了經驗的積累和能力的提升.

三、寫在最后

經驗不僅存在于學生生活中，還存在于學生的數學學習中，作為一種隱性的知識，無論是生活中的經驗，還是數學學習中的經驗，抑或是其他學科認知活動中的經驗，都可以成為學生獲取新知的起點.在教學中，筆者就是利用這些固有經驗，讓他們在學生的認知活動中延伸疊加，不斷充實學生的數學認知結構，讓更多的數學知識有序地融入到知識網絡中去.如此一來，學生的數學探究會隨著經驗不斷應用與疊加漸行漸遠，讓他們的數學知識網絡日益豐滿充實.