“不等式”起始課的教學(xué)與思考

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　茅玲玲

“不等式”起始課的教學(xué)與思考

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)茅玲玲

筆者最近在一次教學(xué)觀摩活動(dòng)中執(zhí)教“不等式”起始課，受到觀摩教師的好評(píng)，本文展示該課的教學(xué)預(yù)設(shè)，并給出教后反思，與更多同行研討.

一、“不等式”起始課的教學(xué)預(yù)設(shè)

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）類比方程學(xué)習(xí)不等式.

（2）以章前圖“甲、乙兩商場(chǎng)”的生活問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生自主定義、探究、建構(gòu)不等式新知.

（3）理解不等式學(xué)習(xí)“基本路徑”，為后續(xù)不等式具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

（4）經(jīng)歷情境問題的求解，感受模型思想，積累分類討論方法，思辨獨(dú)立思考與團(tuán)隊(duì)合作.

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

理解不等式學(xué)習(xí)的“基本路徑”，初步探索不等式的性質(zhì)，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式.

（三）學(xué)習(xí)過(guò)程

1.情境問題

引例：甲商場(chǎng)購(gòu)買某種商品超過(guò)100元后，超出100元的部分按90%收費(fèi).

（1）若累計(jì)購(gòu)物200元，則實(shí)際花費(fèi)多少元？

（2）若實(shí)際花費(fèi)190元，則累計(jì)購(gòu)物多少元？

預(yù)設(shè)：

（1）實(shí)際收費(fèi)100+0.9（200-100）=190（元）.

（2）100+0.9（x-100）=190，即0.9x+10=190，解得x= 200.

追問1：這是一元一次方程，定義是：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程.

追問2：怎樣解一元一次方程？

預(yù)設(shè)：去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1.

移項(xiàng)的依據(jù)是什么？系數(shù)化為1的依據(jù)呢？

預(yù)設(shè)：等式的基本性質(zhì)1、2.

例題：甲、乙兩商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元后，超出100元的部分按90%收費(fèi)；在乙商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元后，超出50元的部分按95%收費(fèi).顧客到哪家商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

預(yù)設(shè)：

針對(duì)三種情況進(jìn)行討論.

（1）什么情況下，到甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）.

（2）什么情況下，到乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.

（3）什么情況下，到兩商場(chǎng)花費(fèi)一樣？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.

引入不等式的學(xué)習(xí)、定義、舉例、探究性質(zhì)、解法等.

2.新知學(xué)習(xí)

類比方程自主探究、建構(gòu)不等式的概念、性質(zhì)、解法等（板書規(guī)劃如下）.

學(xué)法指導(dǎo)：閱讀學(xué)生寫作.

“實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)”不等式的性質(zhì)

七年級(jí)小陳

學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，我模仿七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)的方法，也選了一些特殊數(shù)據(jù)進(jìn)行“實(shí)驗(yàn)”.

計(jì)算：

（1）5＞3，5+2________3+2，5-2________3-2；

（2）-1＜3，-1+2________3+2，-1-3________3-3；

（3）6＞2，6×5________2×5，6×（-5）________2×（-5）；

（4）-2＞-3，（-2）×6________3×6，（-2）×（-6）________3×（-6）.

于是，我發(fā)現(xiàn)：……

預(yù)設(shè)意圖：安排學(xué)生跟進(jìn)計(jì)算、填空，猜想、發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)，并質(zhì)疑性質(zhì)，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)3；最后歸納出如下的不等式性質(zhì)1～3.

不等式性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.

不等式性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除）以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

不等式性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除）以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

符號(hào)表達(dá)：

不等式性質(zhì)1：如果a＞b，那么a±c＞b±c.

進(jìn)一步，安排學(xué)生舉例解簡(jiǎn)單不等式.如x-7＞26，3x＜2x+1，-4x≥3等.

3.解決問題

情境問題繼續(xù)解決.分三種情況討論.

（1）累計(jì)購(gòu)物不超過(guò)50元；

（2）累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元而不超過(guò)100元；

（3）累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元時(shí)，設(shè)累計(jì)購(gòu)物x（x＞100）元，又可分三種情況進(jìn)行討論.

①什么情況下，到甲商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）通過(guò)數(shù)軸“數(shù)形結(jié)合”表示后，記作x＞150.

②什么情況下，到乙商場(chǎng)購(gòu)物花費(fèi)少？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.通過(guò)數(shù)軸“數(shù)形結(jié)合”表示后，記作100＜x＜150.

③什么情況下，到兩商場(chǎng)花費(fèi)一樣？

預(yù)設(shè)：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.當(dāng)x=150時(shí)，到兩商場(chǎng)花費(fèi)一樣.

4.課堂小結(jié)，變式設(shè)問

引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本課所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步給出開課情境問題的變式問題，提供給學(xué)生課后繼續(xù)思考.

變式追問：甲、乙兩商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100元后，超出100元的部分按90%收費(fèi)；在乙商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)50元后，超出50元的部分按95%收費(fèi).

設(shè)累計(jì)購(gòu)物x元，

（1）當(dāng)?shù)絻缮虉?chǎng)花費(fèi)一樣時(shí)，求x的取值范圍；

（2）當(dāng)?shù)郊咨虉?chǎng)花費(fèi)較少時(shí)，求x的取值范圍；

（3）當(dāng)?shù)揭疑虉?chǎng)花費(fèi)較少時(shí)，求x的取值范圍；

（4）……

預(yù)設(shè)意圖：滲透數(shù)學(xué)建模思想，體現(xiàn)分類討論思想，傳遞數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的推動(dòng)作用（如費(fèi)馬大定理歷經(jīng)358年的證明過(guò)程，更重要的不是問題的最終攻克，還在于為了解決這個(gè)世紀(jì)難題，推動(dòng)了數(shù)學(xué)諸多分支的發(fā)生和發(fā)展）.

二、教后反思

1.基于“整體觀”，追求“前后一致，邏輯連貫”的教學(xué)

章建躍在《數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)》一文中指出：“教好數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵應(yīng)該是“為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考”.并進(jìn)一步指出“在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象時(shí)，要有‘整體觀’，要先為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架”.基于上述“整體觀”理念，我們從一個(gè)熟悉的情境問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生類比方程學(xué)習(xí)不等式；類比等式的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)；類比方程的解法學(xué)習(xí)不等式的解法等.目的就是向?qū)W生滲透“前后一致，邏輯連貫”的不等式學(xué)習(xí).

2.基于“生活情境”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)建?！钡娜^(guò)程

數(shù)學(xué)教學(xué)需要不斷追求數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括數(shù)學(xué)是什么？為什么進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)？?jī)r(jià)值定位是什么？數(shù)學(xué)育人，如何讓學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？史寧中教授說(shuō)，數(shù)學(xué)的基本思想包括抽象、建模、推理.如果把握不住就是“燒中段”（去頭、掐尾、燒中段）.我們開課階段安排的情境問題是一個(gè)熟悉的生活情境，整節(jié)課都是圍繞這個(gè)生活情境開展，其求解過(guò)程就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化、選擇工具、解決問題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

1.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（10）.

2.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.