結構抗震設計中振型分解反應譜法的應用與分析

高藝斌

（四川大學建筑與環境學院）

結構抗震設計中振型分解反應譜法的應用與分析

高藝斌

（四川大學建筑與環境學院）

計算結構地震作用效應時應根據一定的設計原則和假定條件對結構簡化計算。本文對振型分解反應譜法理論做了研究，確立多質點體系的頻率方程和振型方程，進而求解出各質點的地震效應。討論了周期比對結構抗震影響以及各振型組合方法，為選取各階振型提供依據，針對不同的振型組合得到各地震效應。

引言

隨著我國經濟的快速發展，高層建筑結構在大中小城市的越來越多的出現，其抗震性能的好壞決定著人民的生命財產安全。規范上規定高層建筑都要做抗震設計，須做地震水平作用和豎向作用對結構整體的分析。地震作用取決于地震烈度、距離震源的距離等因素有關，目前抗震分析中普遍采用振型分解反應譜法分析[2～3]。本文在前人研究基礎上，研究振型分解反應譜的理論原理，推導各振型理論解、不同質點不同振型的理論解以及各振型組合情況。

1　抗震設計原則及假設

建筑結構的地震反應屬于短時間發生的大變形問題，須按照彈塑性理論進行分析。按大變形對對強度驗算，會造成材料的過度消耗。小震不壞，中震可修，大震不倒為結構三水準設防原則，抗震設計必須按照這一原則進行。豐定國[2]等人指出在不考慮豎向振動時，可以將框架各層看成一質點，分析有限質點受地震作用在水平方向的振動問題。各層等效的慣性力作用在各質點質心處，與外荷載構成力平衡體系。

2　反應譜法理論（如圖1）

振型分解理論就是利用多質點體系自由振動特性來簡化多質點體系強迫振動求解。即多質點體系振動問題，通過振型變為單質點振動組合問題來求解。

2.1各質點慣性力

多質點系統中，質點i上地震作用力等于該點的慣性力：

因各振型｛Yi｝（i=1，2，…，n）為獨立的向量，則可將單位向量｛1｝由向量組｛Y1｝｛Y2｝，…，｛Yn｝表示，即：

圖1　多質點自由度體系簡化圖

其中ai為待定系數。等式兩邊同乘以｛Yj｝T［M］，由振型正交性知，除了aj｛Yj｝T［M］｛Yj｝以外，其余的都等于零，得：

解得：

將式（4）代入式（2）中得：

2.2多質點振動頻率和振型

多質點體系有阻尼運動方程表示：

根據振型正交性可知，體系中的地震位移反應向量｛x｝可表示為：

將式（7）代入式（6）中得：

將上式兩邊左乘｛Yi｝T得：

各振型與結構質量矩陣、剛度矩陣正交，并假定振型與結構阻尼矩陣也是正交的，即｛Yi｝T［C］｛Yj｝=0，i≠j。

則式（9）成為：

則得到：

令：

將式（10）兩邊同時除以｛Yi｝T［M］｛Yi｝得：

由杜哈密積分可得式（12）解為：

將式（13）代入式（7），即得多自由度體系的位移解：

對任意質點i在任意時刻時的相對水平位移為：

則質點i在任意時刻時的相對加速度為：

水平地面的水平加速度表達成：

則質點i在任意時刻的水平地震作用力為

式中：fji為質點i的第j振型水平地震慣性力：

2.3水平地震作用力

令質點i的第j振型水平地震作用力為該階振型最大慣性力，即：

將式（17）代入式（18）中得：

則由地震反應譜定義可將第i質點第j振型水平地震作用表達為：

由建筑結構地震影響系數與地震反應譜之間的關系可知：

式中：Gi為質點的重量；αi為相應于j振型自振周期的地震影響系數。

2.4振型組合方法

振型組合方式和整個結構的平面布置、空間布置、是否考慮扭轉效應、結構體系是否均勻對稱等方面有關；對于沿水平方向振動，可簡化為多質點的彈性體系而言，一般可以采用平方和開平方法即SRSS法；對于結構體系因整體布置不規則須考慮扭轉耦連效應的多質點體系來說，一般可以采用完全二次項組合法即CQC法。兩者主要區別在于從數學角度講SRSS法是建立在各獨立事件的概率統計方法基礎上，也就是說要求參與數據處理的各事件之間是相互獨立的，不存在耦聯關系；當考慮扭轉耦聯效應時各振型之間的頻率間距小，相鄰較高的振型頻率近似，此時應考慮不同振型的相關性。當結構的自振頻率相差較大時，可近似看成每個振型是相互獨立的，采用SRSS法得到較好的結果。

圖2　各自振周期比對應的耦聯系數

對第j振型各質點水平地震作用，按靜力方法計算，可得體系該振型下的最大地震效應。記體系第j振型某特定最大地震反應為Sj，而特定體系下的最大地震效應為Smax，則可以通過各振型的地震反應來估計Smax。

（1）當結構不進行扭轉耦聯計算時，采用平方和開方法（SRSS法）計算體系最大反應，即：

式中：Sj為在第j振型水平地震作用下產生的結構內力包括軸力、剪力和彎矩等。

（2）當結構考慮扭轉耦聯計算時，采用完全二次項組合法（CQC法），對于單向水平地震作用時，地震作用最大反應即地震作用標準值為：

當考慮雙向水平地震作用時，按下式中得較大值確定：

或

式中：Sx、Sy分別是x方向和y方向單向水平地震作用按式（23）計算。

3　振型分解反應譜法采用的地震反應譜圖形

圖3　地震影響系數線

α為地震影響系數；αmax為地震影響系數最大值；T為結構自振周期；Tg為特征周期；η1為下降斜率調整系數；η2為阻尼調整系數；γ為衰減指數。

4　周期比對計算結果的影響

周期比是結構本身以扭轉為主的第一振型周期Tt與以平動為主的第一振型周期T1之比。當結構的質心與剛度重心重合時，該情況只有單一平動或扭轉變形，此時結構的周期和結構之間的周期比為非耦聯的周期和周期比。如果結構的質心和剛度重心不重合時，這種情況下的周期和周期比須考慮結構之間相互耦聯影響。

周期比控制是考慮結構側向剛度和扭轉剛度之間的相對關系，為了使抗側力構件在平面空間上布置更堅固、更有效的起到抗震作用，防止產生大的扭轉影響。調整周期比的原則為：結構抗側力構件應布置盡可能的均勻對稱；增加結構周邊剛度；降低結構中部的剛度。

5　結論

（1）框架結構在水平地震作用下的振動響應，分析抗震設防的原理，為了能夠達到預期設防效果，采用振型分解反應譜法能夠較合理的計算建筑結構地震效應。振型分解法較底部剪力法等誤差小，結果較精確。在復雜情況下，規范上給出了時程分析法來補充計算。地震分析時因屬于大變形問題，應將結構進行彈塑性分析，結構處于彈性階段截面強度設計。

（2）不論結構對稱與否，結構的扭轉偏心總是存在的，在實際工作中直接選用CQC法進行振型組合。振型組合方法的選擇根據結構平面布置情況，是否考慮扭轉效應來判斷，對于多振型的結構可以僅計算2～3個振型即可。

（3）周期比是控制高層結構扭轉的重要指標，在抗震設計時應滿足規范規定的最低要求前提下，調整合理結構合理的剛度，進而提高結構抗震作用。

（4）本文對抗震計算的基本理論做了一定研究，為更好的研究地震動態響應分析提供一定的理論基礎。在求解頻率和振型時，需計算大型非線性方程組，應在提高計算精度方面做更多的研究。

[1]中華人民共和國住房和城鄉建設部.《建筑抗震設計規范》（GB50011-2010）[S].北京：中國建筑工業出版社，2010.

[2]豐定國，王社良.抗震結構設計[M].北京：地震出版社，2006.

[3]李國強，李潔，蘇小卒.建筑結構抗震設計[M].北京：中國建筑工業出版社，2002.

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TU834.36

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1673-0038（2015）27-0049-03

2015-6-20