玫瑰線的曲率積分是定值

2015-10-31 11:03:32劉帥鄔雯雯

中國科技縱橫 2015年15期

劉帥　鄔雯雯

（1.大連理工大學，遼寧大連　116024；2.咸陽師范學院，陜西咸陽　712000）

玫瑰線的曲率積分是定值

劉帥1鄔雯雯2

（1.大連理工大學，遼寧大連116024；2.咸陽師范學院，陜西咸陽712000）

玫瑰線是一種重要曲線，極坐標下通過改變參數而得到不同葉子半徑和數量的優美曲線，一般情況下參數n取正整數時得到閉合圖形。而曲率是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度，曲率問題是工程技術中的常見問題。通過求解玫瑰線的曲率對曲線的積分，在不同的參數n下分析得到一個玫瑰線全曲率的普遍規律。

玫瑰線參數方程曲率積分全曲率

玫瑰線是一種具有周期性且包絡線為圓弧的重要曲線，它的極坐標方程為：ρ=asin（ nθ），而玫瑰線的幾何結構取決于方程參數的取值，不同的參數決定了玫瑰線的大小，葉子的數目和周期的可變性。這里參數a（包絡半徑）控制葉子的長短，參數n控制葉子的個數，葉子的大小及周期的長短。如，n分別取2，3，3/2時分別對應的是三葉、四葉和六葉玫瑰線如圖1所示。通過計算機的大量實驗得到玫瑰線的一些特性如下：

特性1：當n為整數時，若n為奇數，則玫瑰線的葉子數為n，閉合周期為π，即θ角在0-π內玫瑰線是閉合的。當n為偶數時，玫瑰線的葉子數為2，閉合周期為2π，即θ角取值在0-2π內玫瑰線才是閉合和完整的。

特性2：當n為非整數的有理數時，設為L/W，且L/W為簡約分數，此時L與W不可能同時為偶數。L決定玫瑰線的葉子數，W決定玫瑰線的閉合周期（Wπ或2Wπ，見特性3）及葉子的寬度，W越大，葉子越寬。但W也會同時影響葉子數的多少，對同一奇數值L，在W分別取奇數和偶數值時，葉子數也是不同的。

特性3：當L或W中有一個為偶數時，玫瑰線的葉子數為2L，閉合周期為2Wπ。當L或W同為奇數時，玫瑰線的葉子數為L，閉合周期為Wπ。換句話說，生成偶數個葉子的玫瑰線，L或W中必須有且只有一個為偶數值，且L為葉子數的一半，而生成奇數個葉子的玫瑰線，L和W都必須為奇數，且L值就是葉子數。圖2是一些不同參數下的玫瑰線圖形。

這里僅研究n取值為正整數時候的玫瑰線。

曲線的曲率是曲線傾角對其弧長的變化率，它合理而準確地刻畫了曲線在一點的彎曲程度。它針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。直角坐標下，將玫瑰線在其弧長上每一點的曲率作以積分就得到了玫瑰線的全曲率。