齒輪倒角輪廓協同高精度測量方法的研究

許增樸，張 馳，蔡春明，王永強，周聰玲

（天津科技大學 機械工程學院，天津 300222）

0 引言

利用單一圖像傳感器的機器視覺測量技術難以滿足精密制造業中對測量方法的精度高、速度快、非接觸等諸多要求。因此，研究結合多種不同傳感器各自優點的兩級甚至多級視覺協同精密測量方法十分重要。

協同視覺測量方法是根據傳感器各自的特點選擇多個不同的視覺傳感器配合使用并按特定要求完成測量。若為兩級視覺協同測量，則使用第一級視覺傳感器完成大范圍粗略測量或是測量定位，使用第二級傳感器完成局部小范圍精密測量。第二級視覺傳感器可以是不同分辨力的圖像傳感器，也可以是高精度的激光位移傳感器。本文以齒輪倒角輪廓測量為對象，采用面陣圖像傳感器結合標定算法完成第一級測量定位，使用二維高精度電動平臺攜帶點視覺的激光位移傳感器按規劃路徑完成對工件輪廓尺寸的協同高精度測量。

1 協同測量的基本原理及坐標關系

1.1 協同測量的基本原理

本文所研究的測量系統用于對齒輪倒角表面輪廓的測量，精度要求在1μ m。由于目前面陣CCD自身的特性，像素尺寸通常大于2.5μ m，難以滿足測量精度要求。而亞像素算法又存在對圖像的矩特征估計，且計算復雜、計算結果穩定性不高，不適于對工件的高精度測量。因此，本系統采用面陣圖像傳感器拍攝圖像，通過標定算法完成第一級視覺粗測量，及定位到需要精確測量的局部區域，采用重復測量精度達0.1μm的激光位移傳感器完成工件表面輪廓的第二級視覺高精度測量。具體實現方式如圖1所示，攝像機拍攝圖像，計算機完成圖像處理和標定矩陣的計算，然后發出指令給XY電動平臺攜帶激光位移傳感器按要求的路徑完成測量，并輸出打印測量報告。

圖1 系統測量原理

1.2 坐標轉換關系

系統在測量工程中，使用圖像經過標定引導XY驅動平臺按測量路徑運動，因此需要把測量過程中涉及到的幾個坐標系統一在世界坐標系下。本系統包括世界坐標系XwYwZw、二維驅動平臺坐標系XYZ、圖像傳感器坐標系XiYiZi和圖像像素坐標系UV，對應序號依次為A、B、C、D，如圖2所示。

圖2 系統中的四個坐標系

為方便計算，系統的世界坐標系XwYwZw的建立應與二維電動平臺的坐標系XYZ重合。圖像傳感器坐標系的Zi軸即為攝像機光軸，與圖像平面垂直，其余兩軸Xi和Yi分別與圖像的像素坐標系UV的U軸和V軸平行。圖像像素坐標系（像平面坐標系）是一個平面坐標系，其坐標用離散的像素位置U和V表示。本系統將待測物放在二維平臺坐標系的XOY平面（物平面）上，XOY平面和UOV平面之間的坐標關系可由相應的標定算法確定。

1.3 圖像傳感器的標定方法

利用圖像傳感器拍攝圖像，根據物體在像平面上的像素位置關系確定物體在物平面上的實際位置，則應解決像平面與物平面之間的坐標映射關系（本系統中指UOV平面與XOY平面），這就涉及到標定問題。在單目視覺標定中，物平面中任意一點的齊次坐標(x, y)與像平面中的像素坐標(u, v)之間的關系可有一個3×3的矩陣確定[1]。

其中w為系數，m33=1，展開后即得：

因此，只要求出式(1)標定矩陣中的8個待定系數，即可根據式(2)求得像平面上任意像素點所對應的物平面上點的實際坐標。通過印有矩形方塊的標定板可以求得物平面上矩形4個角點的真實坐標，再通過在圖像上搜索矩形方塊的4個角點，即可求得對應的像平面坐標。將物平面上4個點的坐標及其在像平面上對應4個點的坐標通過式(1)即可求得標定矩陣中的8個待定系數。下一步即可通過像平面上的坐標引導激光位移傳感器完成測量。

2 齒輪倒角的協同測量

2.1 齒輪倒角一級測量的圓心定位計算

2.1.1 測量對象

本系統要測量的倒角齒輪的實物圖和局部放大圖如圖3所示：左圖中的放射直線是每個齒的齒頂圓圓弧中點與齒輪圓心的連線，右圖中單個輪齒上的3條白色折線所在的截面與左圖中對應輪齒的放射線垂直，激光位移傳感器沿白色折線完成測量。

圖3 倒角齒輪實物圖和局部放大圖

2.1.2 齒輪圓心定位方法

系統中的攝像機使用LED背光光源的透射光成像，因此可以得到邊緣輪廓清晰的灰度圖像，如圖6中左圖所示，利用VC++6.0軟件編寫程序對其進行圖像處理，使用邊緣檢測算法提取齒輪圖像的外圈邊緣在圖像像素坐標系UV下位置點的坐標集合。該集合根據邊緣點的不同位置可分為三個子集合，包括齒輪齒頂圓上的點的集合、齒根圓上的點的集合和齒廓上的點的集合。將齒根圓上的點的集合從中提取出來，再通過最小二乘圓擬合算法即可求得齒輪圓心的坐標。經提取后，圖像上齒根圓上所有點組成的集合記為D，其中任意一點Di(ui, vi)距圓心的距離為Ri，以Ri為半徑的圓面積為si，擬合圓心坐標為(x0, y0)標準圓半徑為R，面積為s，兩圓的面積誤差為：

誤差的平方和函數為：

根據最小二乘原理，求取使F (x0, y0, R)最小時x0、y0和R的值，即對F(x0, y0, R)求偏導，且使之為零，即：

求解式(6)可得：

其中：

通過式(7)可求出齒輪精確圓心坐標O (Ou, Ov)。

2.2 齒輪倒角的測量

2.2.1 測量的主要參數

齒輪倒角的主要測量參數包括：成型截面的夾角，如圖4中M所示；成型面交線到指定面的距離，如圖4中

N所示。

圖4 測量截面參數圖

圖5 單齒測量定位圖

2.2.2 測量要求

圖5中給出了倒角齒輪的一個輪齒待測量的三個截面位置，其中43.7、45.1等表示待測截面到齒輪圓心（中心）的距離，具體的數值應根據齒輪直徑的大小設定。齒輪圓心為O點，被測齒的齒頂圓圓弧的中點為P點，則測量截面必須與直線OP垂直。根據測量截面到齒輪圓心距離的要求以及測量截面與直線OP的垂直的要求，決定了齒輪圓心定位的重要性。圖4為測量截面中的一個，角度M和距離N即為待測參數。

2.3 測量路徑規劃

測量路徑規劃原理圖如圖7所示。

圖6 測量路徑原理圖

圖7 圖像空間坐標系

圖6中直線AB為測量數據時激光器走過的路徑，P為被測齒的齒頂圓圓弧的中點，由前文關于測量要求的論述可知，AB與OP垂直，且OP1之間的距離L為已知。由于O點在圖像像素坐標系UV中的坐標可由式(7)求出，因此，只要求出圖像像素坐標系下的P點坐標(Pu,Pv)即可確定直線OP。直線CD為對應齒頂圓圓弧的弦，P2為直線CD的中點。

系統測量時，用戶可通過鼠標點擊選擇齒輪圖像上的任意一個齒，系統便可自動完成對該齒測量。Windows程序是基于消息機制的，用戶點擊輪齒時，程序便會感應到點擊消息并記錄該點。假設將該點記為Q3，其在圖像像素坐標系UV下的坐標為(Q3u, Q3v)。此時，即可通過程序在圖像上搜索點Q3附近的一個較小鄰域，得到圖像的局部邊緣點的集合，此集合中包括齒頂圓圓弧CPD上的所有點，然后將圓弧CPD上的第一點C和最后一點D提取出來。求直線CD中點P2坐標(P2u, P2v)，由于P、P2、O三點共線，即可求出直線OP的方程。

將圖像像素坐標系下的點O和點P2通過式(2)轉換到二維平臺坐標系的XOY平面上，求得坐標分別為(Ox, Oy)和(P2x, P2y)。直線OP2的斜率為k， OP1長度已知為L，可利用極坐標求得點P1在XOY平面上的坐標(P1x,P1y)。在如圖10所示坐標系中，可推導如下公式：

直線AB與OP1垂直，且AB為測量長度，此長度根據齒寬人為設定，即為已知L1，則點A坐標(Ax, Ay)為：

類似的，可求出B點坐標(Bx, By)。

2.4 利用激光位移傳感器完成第二級精密測量

系統中采用點視覺的激光位移傳感器完成第二級局部精密測量，測得的數據即為輪廓的高度信息Z坐標，配合高精度的XY電動平臺的X、Y兩維坐標信息，即可完成對表面輪廓的三維尺寸測量。

1）系統運動方式：系統按測量路徑運動是依靠XY二維平臺完成的。計算機發指令給二維平臺控制步進電機帶動高精度滾珠絲杠完成平臺運動。平臺的運動精度為1μ m，通過不停的發送不同方向的脈沖給步進電機即可攜帶激光器在XY平面內完成不同的運動。

2）測量方法：使用式(9)求出點A和點B在二維平臺坐標系的XOY平面上的坐標后，便可由計算機發出指令驅動XY二維電動平臺攜帶激光器按測量路徑運動，以完成測量。

2.5 測量數據輸出

激光位移傳感器可通過激光三角測距法測量物體表面輪廓的高度信息，即z坐標。同時XY平臺以1微米的精度在XY二維方向上運動，可提供XY二維坐標信息。將上述XYZ三維信息配合在一起，即可測量物體的三維輪廓尺寸。如果使所有截面的Y坐標都為0，則可將齒輪倒角輪廓繪制在一個平面（XOZ）中，一個輪齒三個截面的測繪結果如圖8所示。在三維空間中，通過將XOZ平面配合不同的Y坐標即可形成輪齒倒角的三維輪廓，結果如圖9所示。

圖8 齒輪倒角輪廓測繪結果

圖9 輪齒倒角三維表面輪廓

3 結論

本文提出了一種的結合兩種不同視覺傳感器各自優點的協同視覺高精度測量方法。滿足精密制造業中關于測量的速度快、精度高、非接觸等測量要求，并將此方法成功應用于倒角齒輪輪廓測量系統，對齒輪倒角輪廓高度測量的精度達1μ m。本系統無需機械卡具定位且可以測量齒輪中的任意輪齒倒角的輪廓，降低了生產成本，提高了測量效率和測量精度。

[1] 許增樸,于德敏.光—象平面自動標定方法的研究[J].天津輕工業學院學報,1993,S1:14-21.

[2] 李自芹,董小雷,李慶利,郭彩玲.小模數齒輪視覺測量系統研究[J].沿海企業與技,2010,(5).

[3] XU Z P, ZH SH. Gear Chamfering Profile Measurement System Based On Laser And Machine Vision[C].AMR,[EI] 2011:888-893.

[4] 張新華.齒輪倒角輪廓激光測量系統研究[D].天津:天津科技大學,2010.03.