基于終端滑模控制的兩輪移動機器人自平衡實現方法研究

王利清

（包頭鐵道職業技術學院，包頭 014040）

0 引言

兩輪移動機器人（又稱輪式倒立擺）結構簡單、體積較小，可在狹小、危險等環境中運動，故兩輪移動機器人在軍工、民用、航空航天等領域具有廣闊的應用前景[1]。但是兩輪移動機器人是一種欠驅動系統，其動力學模型具有不穩定、多變量、強耦合、非線性等特點，因此如何解決兩輪移動機器人的控制問題至關重要[2,3]。滑模變結構控制作為一種特殊的非線性控制策略，其滑動模態的設計與對象參數及系統擾動無關，因此滑模控制器響應速度快，系統無需在線辨識，具有較強的魯棒性[4,5]。與普通的滑模控制相比，終端滑模控制的瞬態性能大幅提高，動態響應速度、跟蹤精度、收斂速度均獲得了一定程度的改善[6]，因此本文在分析兩輪移動機器人動力學模型的基礎上，基于終端滑模控制實現兩輪移動機器人的自平衡控制，并進行相關仿真研究。

1 兩輪移動機器人動力學模型

一般情況下，兩輪移動機器人的運動過程比較復雜，很難確定其精確動力學模型，為便于分析，可建立如圖1所示的兩輪移動機器人簡化模型。假設機器人的重心為P點，機器人兩側驅動輪的重心在輪中心。可建立慣性坐標系OX0Y0Z0，以兩驅動輪重心連線的中點作為坐標原點；x軸與移動機器人的移動方向重合；y軸與驅動輪軸線方向重合；z軸與豎直方向重合。若忽略機器人側翻等情況，可建立兩個輔助坐標系：偏航坐標系OX1Y1Z1、俯仰坐標系OX2Y2Z2，定義偏航角為α、俯仰角為θ。機器人轉向的過程中，左右兩輪的旋轉角分別用lψ、rψ表示。

圖1中相關符號說明如下：1l表示機器人重心與驅動輪中心之間的距離；b表示Ow和O之間的距離；rw表示驅動輪的半徑；m1表示機器人質量；mw表示驅動輪質量；Dw表示地面粘滯阻力；D1表示機器人粘滯阻力；lψ、rψ分別表示左右驅動輪的旋轉角；Iwa表示驅動輪對軸的慣性矩；Iwd表示驅動輪對直徑的慣性矩。

基于拉格朗日運動方程[7]，運動過程中，兩輪移動機器人的位置和速度方程可表示為：

兩輪移動機器人的平動動能表達式為：

其中，Tw、Tl分別為驅動輪和機器人本體（不含驅動輪）的動能：

兩輪移動機器人的旋轉動能表達式為：

其中：

選取移動機器人的驅動輪中心所在平面為零勢能面，那么移動機器人的勢能可表示為：

運動過程中，摩擦等因素將導致移動機器人系統本身能量的耗散，移動機器人的耗散能可表示為：

根據拉格朗日動力學方程可得兩輪移動機器人的動力學方程為：

假定移動機器人運動過程中不會出現“打滑”的情況，那么系統約束方程可表示為：

由式(10)可得矩陣A(q)為：

另外，矩陣A(q)的零空間可表示為：

向量q依賴于零空間矩陣S(q)而且滿足：

式(13)中，v為移動機器人運動的線速度。

等式(9)兩邊同時乘以ST，由于STA=0，所以：

將式(14)代入式(13)可得兩輪移動機器人的動力學方程為：

由式(15)可知，移動機器人的動力學方程包含兩個驅動力矩和三個自由度，所以該動力學模型為二階欠驅動系統。

2 兩輪機器人終端滑模控制

2.1 終端滑模控制器設計

兩輪移動機器人系統的驅動方程為：

考慮到非線性因素，對應的估計系統為：

可設計滑模平面[8]：

可設計滑模控制器[9]：

式(21)中：

由滑模控制器設計原理可知，滑模控制器(21)可以保證兩輪移動機器人系統(16)在滑模面(20)上穩定。

2.2 穩定性分析

定義一個新的矩陣V：

兩輪移動機器人動力學方程兩端左乘矩陣V可得：

其中：

式(22)中的第一項和第三項為驅動方程，第二項為欠驅動方程[10]，可表示為：

當兩輪移動機器人在滑模面上運動時，由式(20)可得：

上式中v1、v2表達式已知。設定初始條件的具體數值，即可由式(25)求出和。那么就可以得到關于v的一階線性微分方程：

其中P(t)為有界函數。式(26)的穩定性與P(t)無關，僅由下式決定：

3 仿真實驗

為驗證本文所述兩輪移動機器人動力學模型的正確性以及終端滑模控制方法的有效性，采用MATLAB仿真驗證理論分析結果，兩輪移動機器人的主要參數如表1所示。

表1 兩輪移動機器人主要參數

根據上述分析，滑模平面中的增益方程vi(t)可設計為：

其中：

圖2 仿真過程中兩輪移動機器人系統狀態

圖3 仿真過程中兩輪移動機器人輸出轉矩

4 結束語

本文基于拉格朗日運動方程，推導出了兩輪移動機器人的動能、勢能等，進而得到了兩輪移動機器人的動力學模型。基于滑模變結構控制的基本原理，設計了一種終端滑模控制器，用于兩輪移動機器人的自平衡控制，并進行了穩定性分析。最后，針對上述內容進行了仿真實驗，仿真結果表明：終端滑模控制器具有較好的控制效果，而且具有較快的收斂速度，可以實現兩輪移動機器人的自平衡控制。

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