基于牛頓迭代法的S形加減速時間算法研究

楊亮亮　許守金　史偉民　葛宏偉

1.浙江省現代紡織裝備技術重點實驗室,杭州,3100182.浙江理工大學,杭州,310018

基于牛頓迭代法的S形加減速時間算法研究

楊亮亮1,2許守金1,2史偉民1,2葛宏偉1,2

1.浙江省現代紡織裝備技術重點實驗室,杭州,3100182.浙江理工大學,杭州,310018

S形加減速控制涉及求解多元高次方程或者不等式，且要求求解出來的最終解是非負數，為此根據時間最優原則和速度、加速度的限制條件，把S形加減速控制中所涉及的五元非線性方程組分解為2個二元非線性方程組和1個一元線性方程。采用牛頓迭代法和迭代修正的方式逐步求解出符合要求的加減速時間，進而求出速度曲線，進行插補運算。仿真與實驗結果證明,該算法簡明高效、運行穩定，能夠滿足高速高精數控要求。

S形加減速控制;五元非線性方程;牛頓迭代法;時間最優原則

0　引言

數控機床的進給速度與加工精度、生產率以及工件表面粗糙度有著密切關系,因此進給速度應該穩定、可靠[1]。現在較為流行的加減速控制是S形加減速控制,相比直線型加減速和指數型加減速控制,S形加減速控制有速度曲線光滑、均勻、運動平穩、無沖擊等優勢[2]。S形加減速控制能較好地實現機床各軸的平滑啟停和速度切換，可做到無加速的突變，能夠較好地減小機床的運動沖擊和振蕩,從而有效提高工件的加工質量，特別適用于高速高精加工[3]。

一般的S形速度曲線是關于時間的多項式，其位移曲線的最大階次可以是3、4、5。高階的曲線可以獲得高階的連續導數，但計算量也會更大[4]。應用中,大于3階的位移曲線對加工精度影響不明顯，實際上最為常用的是限制加加速度的2階S形速度曲線即3階位移曲線。一般情況下，始末速度不為零的S形加減速曲線包含5個時間未知量，加速度曲線最多會有十幾種變化情形[5],又涉及多元非線性方程，計算比較繁瑣，沒有統一的公式解法。在加減速時間規劃中，這5個時間未知量不能為負數，這使得求解S形加減速控制的各階段時間尤為復雜[6]。

穆海華等[7]研究了點對點運動三階軌跡輪廓可能存在的情形并建立三個約束基準用來預判以上情形，給出了一種三階點對點軌跡規劃的通用算法。該算法處理了實際應用中存在的各種情形，具有極強的靈活性和可靠性，但這種規劃方法加減速模式分類復雜、運算繁瑣、不易理解。郭新貴等[8]研究了一種柔性加減速算法，采用三角函數構造加減速曲線，從而使得機床運行具有柔性。雖然三角函數加減速規律可以實現平滑運動，由于三角函數的計算復雜，需要事先對其進行處理，并且要將其作為樣板以數表的形式存放于內存，通過查表的方式實現，這給實際應用帶來了諸多不便。徐瑞民[9]總結了利用牛頓迭代法求解二元非線性方程組根的計算方法，并通過軟件仿真驗證該算法的可行性，但是該算法只是針對數學問題，沒有考慮怎么求得非負數的收斂值，因此不能完全適用于運動控制領域。

為此,本文根據時間最優原則并考慮速度、加速度限制的S形加減速時間算法，把S形加減速控制中所涉及的五元非線性方程組分解為2個二元非線性方程組和1個一元線性方程，采用牛頓迭代法和迭代修正的方式逐步求解出符合要求的加減速時間，進而求出速度曲線，進行插補運算。

1　S形加減速時間規劃算法

圖1中,tj1為加加速時間(減加速時間),ta1為勻加速時間,tv1為勻速時間,tj2為加減速時間(減減速時間),ta2為勻減速時間。

圖1　完整的加速度變化曲線

始末速度不為零的S形加減速控制包含7個速度變化段：加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段和減減速段。其中，加加速段與減加速段的時間相同，加減速段與減減速段的時間相同。始末速度與加減速時間的關系為

(1)

式中,j為加加速度;vs為初始速度;ve為末速度。

位移s與加減速時間的關系為

(2)

1.1時間最優化下的加速度變化時間

式(1)、式(2)有5個未知量,但是只有2個方程，直接根據方程無法得到確切的加減速時間。從實際情況考慮，總是希望在滿足加工精度要求下，最大限度地提高生產率。根據經驗可知，一段位移如果想在最短的時間內移動完畢，不考慮限制因素，它的移動方案應該是從開始一直以最大的加速度進行加速移動，移動一段時間后，再以最大的加速度進行減速移動，到達終點時恰好速度減為零，這種移動方案用時最短，這種滿足最高效率的算法稱為時間最優算法[10]。用到數控機床上就是只有加加速段、減加速段、加減速段和減減速段,不存在其他速度變化段,加速度變化如圖2所示。考慮到機床系統的動力學因素，這種加工模式無法實現[11],但是可以先求出加速度的變化時間，再考慮限制條件。因此先令ta1=ta2=tv1=0,求tj1、tj2值。

圖2　不考慮加速度、速度限制的加速度變化曲線

由式(1)、式(2)可得關于速度和位移的二元三次方程組：

(3)

1.1.1加速度變化時間的牛頓迭代算法

無法通過現成的公式得到二元三次方程組的準確解，但可采用牛頓迭代法求出它的收斂值,進而求出方程組的解,首先把式(3)構造成2個函數：

(4)

(5)

求式(4)、式(5)的一階偏導數并構成矩陣A：

(6)

求得偏導數矩陣A的逆矩陣A-1,計算tj1、tj2的迭代初值。好的迭代初值能加快收斂，節省計算時間,由于tj1、tj2在很多情形下相差不大,且迭代初值也不需要太精確,因此把tj1、tj2看作相等的值tj,根據式(3)可得tj計算公式：

再把tj賦值給tj10、tj20后,并代入式(4)～式(6)計算出第一次迭代值tj11、tj21：

(7)

式中,tj10為tj1的迭代初值;tj20為tj2的代初值;tj1 i、tj2 i分別為tj1、tj2第i次迭代值。

利用計算出的迭代值計算迭代精度:

P=(tj11-tj10)2+(tj21-tj20)2

(8)

判斷精度是否滿足要求,如果不滿足則把計算出的tj11、tj21值作為迭代值,代入式(4)～式(8)進行第二次迭代計算。反復進行迭代計算，直到計算出滿足精度要求的迭代值。如果迭代始終無法收斂，則迭代次數達到設定值就停止迭代，進行后面的計算。

加減速控制涉及的是時間分配問題，如果最終收斂值是一組負數解，考慮到關于始末速度和位移所組成的方程組的復雜性，此時取最接近收斂值的一組正數解作為方程組的最終解。通過上述過程就能得到初步滿足要求的tj1、tj2。

1.1.2加速度變化時間的迭代修正

速度、加速度必須滿足機械系統動力學約束條件，即需要考慮速度、加速度的限制條件。首先考慮速度約束，由于最大速度出現在減加速段結束時，因此根據牛頓迭代法求出的收斂值必須與所允許的最長加速度時間進行對比，取其中的較小值作為tj1，計算公式如下：

再考慮加速度約束要求,加速度最大值出現在加加速度段結束時，根據前面求出的tj1的值必須滿足加速度的約束要求，與機械系統所允許的最長加速時間進行對比，取其中的較小值，計算公式如下：

tj1←min(tj1,am/j)

由式(3)可得,tj1改變時,相應地tj2也需要重新計算，計算公式如下：

把tj2與允許的最長加速度時間進行對比,取其中的較小值,計算公式如下：

tj2←min(tj2,am/j)

這樣就求出滿足速度和加速度限制要求的tj1、tj2。

用迭代法求出的最優解存在誤差,為了減小誤差,提高準確度，需要根據始末速度限制條件和位移限制條件對求出的tj1、tj2再次進行迭代修正。考慮到計算出的時間必須滿足加速度和速度的限制要求,則進行第二次迭代修正時，時間值tj1、tj2只能減少不能增加。速度誤差Pv的計算公式如下：

(9)

設定精度Pv>P說明tj1取得值較大,tj1相應地減少一個伺服周期Ts后,再代入式(9)進行計算比較,如果還不滿足要求，則繼續減少，一直減少到滿足要求為止。如果tj1減到零時也無法滿足要求,則退出循環。Pv<-P說明tj2取得值較大，tj2相應地減少一個伺服周期Ts后,再代入式(9)進行計算比較,一直減少到滿足要求為止,如果tj2減到零時也無法滿足要求,則退出循環。

根據位移限制條件進行判斷,對求出的tj1、tj2,進行迭代修正。計算公式如下：

(10)

其中,Ps為根據規劃的時間計算得到的位移值和實際位移值之差。Ps>0說明規劃出來的軌跡長度大于實際的長度,這不符合要求,必須減少規劃的時間，tj1應減少一個伺服周期，tj2相應地也要改變,由式(3)可得tj2的計算公式：

把重新計算得到tj1、tj2代入式(10),計算位移誤差Ps并進行比較，如果不滿足要求則重復此過程。Ps<0說明按照tj1、tj2進行軌跡規劃的位移量小于實際的位移，則結束迭代修正過程。

通過牛頓迭代和迭代修正的方法就求出了滿足要求、誤差減到最小的tj1、tj2。

1.2最優時間下的勻加速時間

通過式(10)可知，最終求出的tj1、tj2能滿足速度和加速度的限制要求,但一般無法運行完期望規劃的軌跡長度,即只有加加速段、減加速段、加減速段、減減速段的S形加減速控制無法滿足所需要位移要求,S形加減速控制還存在勻加速段、勻減速段和勻速段，根據時間最優原則令tv1=0,此時S形加減速控制的加速度變化如圖3所示。由式(1)、式(2)可得關于始末速度和位移限制方程組：

圖3　不考慮勻速段的加速度變化示意圖

根據1.1節中的牛頓迭代和迭代修正理論可以求出滿足要求、誤差減到最小的ta1、ta2。

1.3最優時間下的勻速時間

S形加減速控制涉及7個速度變化段、5個時間量，通過上述過程，4個滿足要求的時間參數tj1、tj2、ta1、ta2已經求出,關于tv1的方程是一元一次方程，必有一個解。由位移與加減速時間的關系方程(式(2))可得關于tv1的方程：

(11)

通過式(11)可以求出tv1。至此,一段軌跡的加減速變化時間都已經求出，根據加減速變化時間，可以得到此軌跡的速度曲線。根據求出的速度曲線以及起始點，進行插補運算計算出中間點的坐標值，根據坐標值變化向相應坐標輸出脈沖信號，控制各執行元件的進給速度、進給方向和進給位移量等，進而完成工件的加工任務。

2　實例與分析

2.1對運算速度進行驗證

為驗證本論文算法的運算速度,用MATLAB進行編程仿真,編程思路如圖4所示。給定限制條件：起始速度vs=0.06 m/s,末速度ve=0.03 m/s,加加速度j=25 m/s3,伺服周期Ts=1 ms,最大限制加速度am=5 m/s2,最大限制速度vm=0.8 m/s,把位移量作為唯一變量,位移量s從0.005 m到500 m進行等間距取值,統計取不同的位移值時MATLAB軟件仿真完成所需要的時間,仿真結果如圖5所示。

圖4　S形加減速控制時間計算流程圖

圖5　仿真運算時間隨著位移變化曲線

通過圖5可以看出,位移s=0.05 m時所需要的運算時間最短,隨著位移的增加,求解時間都小于1 ms,這說明本文算法夠滿足高速的加工要求，能有效提高數控系統的穩定性和效率。

2.2對軌跡規劃精度進行驗證

上述實例沒有對本算法的軌跡規劃精度進行考慮，為了進一步驗證本算法的可行性，在自行開發的“計算機+運動控制卡”架構的直線伺服系統上運行圖6所示的樣條曲線,直線伺服系統為2個直線電動機構成的X-Y運動平臺,2個直線電動機均為Baldor公司的LMCF02C-HCO,伺服驅動器為Baldor公司的FMH2A03TR-EN23。把本算法編進運動控制卡中進行插補控制,直線伺服系統平臺如圖7所示。

圖6　樣條曲線

圖7　直線伺服系統試驗臺

圖8　弓高誤差效果圖

圖9　加速度變化圖

圖10　速度變化圖

給定限制條件：加加速度j=25 m/s3,伺服周期Ts=1 ms，最大限制加速度am=5 m/s2,最大限制速度vm=0.8 m/s，允許的弓高誤差為0.1 μm，采用周期為1 ms。最終運行的弓高誤差效果如圖8所示，加速度、速度隨著插補時間變化如圖9、圖10所示，可以看出本算法能完全滿足加工精度的要求。

3　結論

(1)本文提出了一種S形加減速時間計算方法，根據時間最優原則以及加速度、速度限制條件，把加減速控制方法所涉及的十幾種加速度變化模式簡化為3種加速度變化模式，避免了復雜、繁瑣的計算，降低了理解難度。

(2)提出的算法利用牛頓迭代理論對S形加減速控制方法所涉及的五元非線性方程組進行求解，并根據加減速時間的實際意義，對迭代值進行迭代修正，使得計算結果的切實可行。

(3)本論文算法在求解時，所需要的計算時間更短，精度更高，求出的時間能很好地滿足加工要求，減少了機床運動的沖擊和振蕩，特別適合高速高精加工，提高了機床的加工精度和效率。

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(編輯張洋)

Research on Algorithm of S_shape Acceleration and Deceleration Time Based on Newton Iterative Method

Yang Liangliang1,2Xu Shoujin1,2Shi Weimin1,2Ge Hongwei1,2

1.Zhejiang Provincial Key Lab of Modern Textile Machinery & Technology,Hangzhou,310018 2.Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou,310018

Due to S_shape acceleration and deceleration control involved solving multiple high-order equation or inequality,and the final solution was non negative,so that it was difficult to calculate.Therefore nonlinear equations of five independent variables of S_shape acceleration and deceleration control were decomposed into two nonlinear equations of two independent variables and a linear equation according to time optimal principle and the constraints of speed,acceleration.The final solutions were obtained by Newton iterative method and the iterative correction method then the velocity curve and interpolation algorithm were found.The simulation and experiments were presented to prove that the algorithm is simplicity,stable operation and the ability to meet the requirements of high speed and high precision of computer numerical control.

S_shape acceleration and deceleration control;nonlinear equations of five independent variables;Newton iterative method;time optimal principle

2014-09-19

國家自然科學基金資助項目(51305404)；國家科技支撐計劃資助項目(2013BAF05B01)

TP391< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.010

楊亮亮,男,1978年生。浙江理工大學機械與自動控制學院講師、博士。主要研究方向為高速高精運動控制、數控技術、發表論文20余篇。許守金，男，1989年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。史偉民,男,1965年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授、博士。葛宏偉,男,1990年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。