以“分數的意義”為例談“分數的教學”

丁銀霞

分數是小學數學教學中的一個重點和難點。分數教學之難，不僅表現為其概念、規則、類型等內容不易為學生所理解和掌握，更為根本的是難在其概念、規則與運算的相互關聯與融合。而分數及其相關概念作為分數學習的基礎，其教學效果更是決定著后續教學內容的順利推進。如果學生在分數的初步認識上就出現了理解的偏差，那么之后對于分數意義和運算的學習就可能遇到更多障礙、出現更多問題。擬以人教版小學數學五年級下冊的“分數的意義”為例談談“分數的教學”。

一、情境，激發興趣

興趣是最好的老師。有效的教學情境可以大大提高學生的學習興趣，激發學生自主探究的欲望。“分數的意義”這節課，教師可以創設學生在春游中“分食物”的場景。在春游時平均分一個橘子、一個餅的過程，可以有效地喚醒學生的記憶，激活學生對分數已有的認識。在此基礎上讓學生把一袋餅干平均分給2個小朋友，每個小朋友分到這袋餅干的幾分之幾？學生很自然地想到。此時學生并沒有感覺到“把一袋餅干平均分”與“把一個餅平均分”有什么不同。讓學生初步認識到一袋餅干是1個“單位”。再讓學生說說還有哪些物體也能用“1”來表示，從而使學生認識到一個物體、一些物體組成的整體都可以用單位“1”來表示。

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：“數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境。”由于情境的表現形式是多種多樣的，所以創設情境的方法也是多種多樣的。對于中低年級學生，可以通過講故事、做游戲、表演、演示等方法創設情境;而對于高年級學生，則要側重創設有助于學生自主學習、合作交流的教學情境，用數學本身的魅力吸引學生。

二、問題，引領思考

“分數的意義”這節課的教學中，通過有目的地啟發誘導學生思考，點燃學生的思維，讓學生在獨立思考、集體交流討論的基礎上，循序漸進地揭開分數的奧秘。在“探究新知”的過程中，教師給學生提供了一些學習材料：如一個圓形、一個正方形、一條線段、4根香蕉組成的一個整體和8個面包組成的一個整體，要求各個小組里的每位組員選擇一種材料，通過折一折、分一分、涂一涂等方法，自己創造一個分數，并在小組內說一說：把（ ）看作單位“1”，平均分成（ ）份，涂色表示了這樣的（ ）。一人說，小組其他成員仔細傾聽，積極補充，最后到講臺上展示自己的作品，一邊展示，一邊介紹。在此基礎上教師追問：“為什么涂色部分都可以用表示呢？”學生有些困惑，此時組織學生進行討論，引領學生自主探究問題、解決問題。讓學生明白不管是一個物體、一個圖形、一個計量單位還是一些物體組成的整體，只要平均分成4份，每份就是它的。既然都是，為什么涂色的香蕉是1根，而涂色的面包卻是兩個呢？通過問題引領他們去思考，從而讓學生明白單位“1”不同。

愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅是一個科學上的實驗技能而已。而提出新的問題、新的可能，以及從新的角度看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”學生自己發現的問題，更能引領學生思考。那么，學生如何發現問題呢？一是教師的提問中發現數學問題;二是學生的解答中發現數學問題;三是數學的活動中發現數學問題……

小學數學中的“分數教學”結束后，教師亦可拋出如下問題引領學生思考：

1.一定要是平均分才能用分數表示嗎？比如，EF是△ABC的中位線（E和F分別是AB和AC的中點），它將△ABC分成不相等的兩部分，△AEF的面積能用分數來表示嗎？

通過作如圖的輔助線，可知△AEF的面積是△ABC的。

2.單位“1”是什么？我國的小學數學教材曾長期采用這樣的分數定義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。此定義出來后，就引起了單位“1”是什么的長期爭論。有的認為單位“1”就是自然數“1”，有的認為不是。引起爭論的原因，首先是因為單位“1”的說法本身就不妥，意義不清;其次是對分數概念認識不透徹。

從對分數概念的分析可清楚地看到，分數是由平分單位產生的。因此，“單位‘1”應為“單位”。2009年版《辭海》把“分數”定義為：“把一個單位分成若干等份，表示其中一份或幾份的數稱為‘分數”，強調的是“一個單位”。

華羅庚先生說：“數起源于數，量起源于量。”數和量都離不開單位。“分數的意義”教學中，通過研究，發現“單位”非常重要。如下圖：要求學生在括號中寫出陰影部分所表示的數。

沒有規定單位是什么，向學生硬要“”是不是有些不講道理？如果以1個小正方形為單位，則應填;以2個小正方形為單位，則應填;以3個小正方形為單位，則應填……

“平均分”并不是分數概念的關鍵，“單位”才是分數概念的關鍵。恰當地選擇單位是解答應用題的好方法。不僅如此，分數的加減運算也是建立在“分數單位”的基礎上的，分母相同就是分數單位相同。單位相同就可以直接相加，這與量的加法一樣，學生很容易理解。

3.“”就是“三分之一”嗎？比如，判斷：比15多是15。（ ） 這道題其實是正確的。為什么呢？與整數對比一下就清楚了。在整數里，比15多3的數是18，所以在分數里，比15多是15;在整數里可以說“比15多它的3倍的數是60”，而不能說“比15多它的3的數是60”，所以在分數里只能說“比15多它的倍的數是20”，而不能說“比15多它的的數是20”。但是后一種說法是非常普遍的。為什么都這樣說呢？原因是這里把“”等同于“三分之一”了。

……

三、比較，感悟本質

“分數的意義”對于五年級學生來說非常抽象，怎樣讓學生在一次次分的過程中感悟分數的本質？可以采用“比較法”，比較法是一種自然科學或社會科學的研究方法，是通過觀察、分析找出研究對象的相同點和不同點，它是認識事物的一種基本方法。比較亦是一種有效的數學學習方法。

“分數的意義”這節課通過把一個圓形、一個正方形、一條線段、4根香蕉組成的一個整體、8個面包組成的一個整體平均分成4份，每份都是它的。此時教師進行拓展12個、16個、20個面包甚至更多的面包平均分成4份，每份是它的幾分之幾？為什么面包的個數在不斷地改變，而每份都是這些面包的呢？引導學生透徹把握一個“單位”的的本質含義;通過一個圓形的、8個面包、12個面包、16個面包、20個面包的的對比，幫助學生厘清新舊各知識點之間的聯系與區別。在讓學生自主創造分數時，教師提供的是同樣的12塊糖，為什么學生創造出了不同的分數？通過比較發現平均分成的份數不同，得到的分數就不一樣了。此時出示、、、，讓學生說出每個分數各表示什么，讓學生自己概括出分數的意義。

在練習環節教師精心設計了對比性練習：在下面每個圖里涂色表示。

提問：（1）這三幅圖為什么都用表示呢？（2）這三幅圖，既然都表示，為什么涂色的桃子的個數卻不同呢？

通過練習讓學生明白因為單位“1”不同，所以同樣表示，但涂色的個數不同。看來，單位“1”是什么的確很重要。

下面圖中涂色部分的五角星可以用什么分數表示？

自己先獨立思考，有困難的同學可以與同桌討論，最后全班展示交流。

生1：。

生2：涂色部分的五角星可以用和表示。

師：還有不同的分數嗎？

生3：。

師：這一回，單位“1”一樣嗎？（生：一樣）涂色部分的五角星個數呢？（生：也一樣）為什么表示的分數卻各不相同呢？

生1：因為它們平均分的份數不同。

生2：而且表示的份數也不同。

師：這樣看來，要準確表示一個分數，既要關注單位“1”是什么，還要關注單位“1”被平均分成了幾份，表示這樣的幾份。

通過這兩題的比較，讓學生對分數的本質含義有了更深的認識。

欲深刻感悟分數的本質，必須對分數的定義做全面的了解。分數該如何定義？一般地，有以下四種：1.份數定義：分數是把一個單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。教學中，教師要強調“平均分”是必要的。同時，也要注意平均分只是各個部分的地位相同，外觀不一定相同。例如，12輛汽車中，8輛是卡車，4輛是轎車，問轎車是全部汽車的幾分之幾？12粒糖中，巧克力有4粒，問巧克力占多少？這里平均分的是汽車、糖，而不在乎具體內容。2.商定義：分數是兩個整數相除（除數不為0）的商。目前的小學數學教材大多回避這一定義，只是用“分數和除法的關系，分數是分子除以分母”這樣簡單說明。3.比定義：分數是整數q與整數p（p≠0）之比。中學數學和高等數學常常這樣說。但是，小學數學課程的安排是先學分數，再學比。因此，不可能一開始就采用比作為分數的定義。4.公理化定義：有序的整數對（p，q），其中p≠0。比的定義和商的定義相近，值相同，表達的方式不同。在教學處理上，第一階段的分數教學，先出“份數”的分數定義，然后過渡到“商”定義。“份數”定義顯示過程，“商”定義表示結果。到了六年級，自然而然地用比來加深對分數的理解;到了中學再過渡到比的公理化定義。只有對分數的四種定義有所“比較”，才能真正深刻地領會分數的本質。

由于分數的學習不僅涉及各種具體的數學知識，而且也與數學思維的滲透有著重要聯系，因此，分數的理解就有一個較長的過程，在教學中更可能出現“先掌握算法、再逐步理解”的情況，包括“由記憶通向理解，通過記憶加深理解”等。只有真正理解了分數的意義，才能很好地認識分數的各種性質，包括清楚地理解各種算法的合理性，并切實避免對算法的機械記憶與純粹模仿。

◇責任編輯：徐新亮◇

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