跨越直觀 深入本質

周瑩

“平行四邊形面積”是小學傳統的幾何內容，10年間我先后三次執教該節公開課。隨著教學經驗的豐富與教學理念的不斷更新，課堂教學從開始的“一味強調等積轉化”到“用面積單位度量和等積轉化平行展示”，最后“順應學生思維實現兩種方式的溝通”，真正幫助學生理解面積計算公式。這一變化讓學生學習空間不斷加大，教師也由講授者慢慢向組織者與引導者轉變。很好地達成了“引導學生在直觀理解基礎上，跨越直觀達到本質理解”的課堂教學效果。

一、引入

1.知識回顧。（課件出示一個平行四邊形）這是什么圖形？四年級的時候我們認識了平行四邊形，它有什么特點？

設計意圖：一種圖形的面積計算公式，從本質上說，是由它的形體特征所決定的。平行四邊形之所以可以通過“剪、拼”的方式，轉化為與它等底等高的長方形，利用長方形的面積計算公式求得面積，就是由它對邊平行且相等的形體特征所決定的。正是這一特征，使得通過剪、拼的方法得到長方形的長和寬正好對應著原來平行四邊形的底和高。本環節喚醒學生對平行四邊形形體特征的認識，為后面自主研究平行四邊形面積奠定基礎。

2.引入新課。

師：今天我們來研究平行四邊形的面積，要想知道這個平行四邊形的面積是多少，你需要知道些什么？

生1：我想知道長和寬。

師：你上來指一下，你需要哪些數據？

（學生指了相鄰的兩條邊，課后調查，很多學生把平行四邊形的兩條相鄰的邊自主遷移為平行四邊形的長和寬。）

師：你是打算研究一下這兩條邊和面積之間的關系。

生2：我想知道高。

師：剛才這兩位同學都是想要平行四邊形邊和高的數據，不用數據可以嗎？

生3：用數格子的方法也可以的。

師：你想用面積單位來測量一下……

設計意圖：引導學生思考“需要什么？”激活學生的思維，迫使學生調用已有的長、正方形面積測量的數學活動經驗，思考確定一個平行四邊形面積的方法。

二、探究

1.研究目標。

老師準備了這兩種學習材料（圖1、圖2），請選擇你需要的材料，想辦法確定出圖中平行四邊形的面積。

圖1 ? ? ? ? ?圖2

2.反饋交流。

師：（多媒體出示圖1）哪些同學是選擇這個材料的？誰上來給我們介紹一下你是怎么想的？研究的結果是什么？

生1：我是這樣想的，這個平行四邊形的面積就是它所包含的面積單位的個數，也就是說，我們只要數出這里面有多少個面積單位就行了。我的研究結果是：它的面積是18平方厘米。

師：有同學對他的發言要提問或補充的嗎？

生2：請問這里面有很多不足一個面積單位的地方，這些地方怎么數？

生1：不夠一格的，我們只需要把它們拼成整格的再數就可以了。大家可以觀察一下，你們看出來哪些地方可以拼在一起了嗎？

生3：我發現，每一行左邊的一小塊都可以與它對應的右邊的一塊拼起來，我給大家拼一下……

（學生在多媒體課件上拖動平移）

生4：其實也可以把左邊的大三角形整塊移到右邊拼在一起的。

……

師：這樣一拼，剛才不足一格的問題解決了嗎？這個平行四邊形的面積是多少？若是請你寫一道算式，你打算怎么寫？

生5：6乘3等于18平方厘米。

師：這里的6和3分別表示什么？

生5：6表示一層有6平方厘米，3表示有這樣的3層。

師：噢，用了“每層數×層數”來計算這個平行四邊形所包含的面積單位的數量。

師：（多媒體出示圖2）哪些同學是利用這個材料來研究平行四邊形面積的？誰上來介紹一下你是怎么想的？研究的結論是什么？

生6：其實我的方法和剛才的差不多，就是把左邊的三角形直接拼到右邊去。不過不用數格子，拼好之后就可以看到一個長方形，這個長方形的面積就等于原來平行四邊形的面積。

師：有同學對他的發言要提問或補充的嗎？

生7：這個長方形的面積你是怎么知道的？

生6：我們可以看到長方形的長是6厘米、寬是3厘米，長乘寬就等于它的面積。

生8：我補充一下，其實現在看到的這個長方形的長就是原來平行四邊形的底，寬就是原來平行四邊形的高。

生9：這里要先明確，是沿著這條“高”剪下來的。

（交流略有停頓后教師介入。）

師：你們是先把這個平行四邊形轉化成一個長方形，再計算面積，對嗎？那么大家想一想，一定要沿著這條高剪開嗎？其他的行不行？

生10：可以的，只要是這組高都可以的。

生11：若是有數據的話，沿著另外一組高剪開拼成長方形也可以的，只是現在沒數據而已。

生12：其實沿著任意一條高剪開來都可以把這個平行四邊形拼成一個長方形。（教師課件演示，確實也可以。）

設計意圖：我們一直在強調學習活動中學生是主體，上面的教學過程貴在放手讓學生獨自探究、獨立思考。學生在經歷自主研究后，無論目標是否實現，都會有話想說。事實上，學生講得很好！他們在教師有意提供與搭建的分享與交流平臺上，各抒己見、相互學習、各有所得。問題“一定要沿著這條高剪開嗎？其他的行不行？”的設置，意在引導學生跳出現有思維，展開想象，在頭腦中勾勒沿著其他的高線剪開拼組的畫面，在實現方法多樣化的同時，為后面討論“任何一個平行四邊形都可以通過剪拼轉化成等積長方形”從而實現剪拼轉化方法的“一般化”服務。

3.深入思考。

師：大家有沒有想過，為什么剪、拼的時候這兩條邊會重合呢？（如圖3）

圖3

師：先把你的想法和同桌交流一下。

師：誰來和大家介紹一下你的想法？

生1：三角形的這條斜邊就是原來平行四邊形的邊，它們一模一樣的。

生2：我補充一下，這兩條邊是原來平行四邊形的一組對邊，它們是平行且相等的。

生3：這兩條邊的方向和長度都是一樣的，當然可以重合了。

師：這個平行四邊形能轉化成長方形求得面積，其他平行四邊形是不是都能正好拼成功？

生4：應該可以的。

師：誰能說一說其中的原因嗎？

生5：隨便一個什么樣的平行四邊形，一定有高，那么從高剪開來，因為對邊平行而且相等的緣故，一定能拼成長方形。

生6：如果這個平行四邊形很斜很斜的，就不一定了吧？

師：到黑板上把你想的這個平行四邊形畫下來給大家看一看。

（這名同學畫了一個豎直方向高在圖形外的平行四邊形，在短暫的停頓后，學生自發地開始討論。幾分鐘后，有人示意要發言。）

生7：這個平行四邊形可以轉化的，不過要多割幾次。（學生跑上來畫示意圖，沿著豎直方向垂直剪下兩部分，平移拼組。）

師：這個“長和寬”還是原來的“底和高”嗎？

生7：還是的，不過看起來有點煩，要幾段接在一起。

師：一定要這么煩嗎？有沒有人可以突破？

生8：不用的，這個平行四邊形沿著另外一條斜斜的高剪開再拼就可以了。

設計意圖：五年級學生具備一定的思辨能力，沿著高線剪開再拼的方式把平行四邊形轉化成等積的長方形之后，可以嘗試著去思考現象背后的原因。本環節意在引導有余力的學生更深入的思考，使之明確平行四邊形之所以可以轉化成等積長方形求得面積，正是由平行四邊形形體特征決定的。在明確原因后，利用思維的延展性，突破個例的局限性，得到等積轉化對于平行四邊形具有一般性的結論。

三、內化

1.計算下列平行四邊形的面積。

2.反饋：面積是？你是怎么想的？

3.公式化：想一想，平行四邊形的面積計算公式是什么？

設計意圖：找到解決問題的方式后，照顧不同的個體，為學生提供一個自我建構的過程。引導學生調用剛剛的活動經驗，解釋計算過程，逐步向公式化過渡。

反思：“平行四邊形的面積”是小學階段圖形測量教學中一個承上啟下的內容，它上承長方形面積，下接三角形、梯形面積計算教學，一直被廣大一線教師所重視和研究。但實際教學中因教具學具準備、操作活動時間限制等因素的制約，學生實際動手“剪、拼”操作的平行四邊形大多是1個，準備充分的時候也只有2、3個，利用等積轉化的方式推導面積公式時一般都建立在個例的操作基礎上;“數格法”要么在教學中被忽略，要么以“不足一格算半格”這樣生硬的規定作為解決策略，數出面積單位的個數確定面積。仔細追究，不可避免地存在某種程度的缺陷與斷層。那么是否可以找到一種適合的方式彌補這一缺失呢？

上面的學習過程中，學生通過觀察選擇對應的兩個不足一格的部分湊成一格后再數，利用數面積單位的方法確定了平行四邊形的面積，避免了“不到一格算半格”的不足。其實利用數格法計算面積時，之所以可以“不足一格的算半格”正是由平行四邊形的特殊性決定的，但卻常常被忽略。當學生有疑問時，也經常以“看看書上是怎么處理的”一筆帶過。在利用等積轉化求面積的環節，以“這個平行四邊形能轉化成長方形求得面積，其他的平行四邊形是不是都能正好拼成功？”引導學生深入思考，利用“動態想象”與“直觀呈現”相結合的方法，通過激活思維實現了方法的“普適性”，彌補了實物操作的不足。

教學實踐讓我深深地感受到，在幾何圖形的教學中，我們既要重視直觀操作體驗，積累感性經驗，還要在得到直觀提示的基礎上，進一步思考“如何適時適度地組織學生跨越直觀操作，激活理性思維，引導學生適當的推理與數學化表達，試著解釋其背后的原因”。盡管有時學生還不能夠完全解釋得清楚，但是堅持這樣做，對于彌補直觀操作的不足、培養和發展學生的邏輯思維能力，以及后續進一步的數學學習，一定會大有裨益！

◇責任編輯：徐新亮◇