“乘法分配律”教學探究

劉慧瑩

“乘法分配律”是人教版數學四年級下冊教學中的重點，也是一個難點。教學的感受是：新課教學時，學生學習比較順利，到綜合練習階段，學生對乘法分配律的認識就變得模糊，經常和乘法結合律混淆，有的簡便計算題學生不知道運用乘法分配律，無從下手，以至于有的學生認為簡便計算越學越難，還不如列豎式計算方便快捷。練習中，學生出現的問題集中表現為：

第一，幾種運算定律混淆。

主要是乘法分配律和乘法結合律混淆。

典型錯誤如：

32×25 ? ? ? ?8×25×4×125

=（4×8）×25 ? ? ?=（8×125）+（25×4）

=4×25+8×25 ? ? ?=1000+100

=100+200 ? ? ? =1100

=300

第二，不理解運算意義。

典型錯誤如：

101×23

=（100+1）×23

=100×23+1

=2300+1

=2301

第三，不會運用乘法分配律。

典型問題是遇到諸如99×15、99×15+15這類題分不清怎樣做，束手無策。

在乘法分配律的練習中，教師費盡心思，講盡各種題型，但學生作業中的錯誤還是屢屢出現。為什么會讓教看似簡單的知識“越教越難”，為什么學生對乘法分配律的學習總是鏡中花、水中月，不得其要領呢？這是由于教師在教學乘法分配律時只注重了表面形式的認識，學生在學習新知識時單純依靠模仿和記憶，對乘法分配律算式形式結構是機械記憶，這就是典型的對數學探究學習理解的偏頗和不到位。

教學“乘法分配律”時，可以從以下幾方面引導學生進行有效探究，提高學生學習的有效性。

一、提供有探究意義的學習材料

數學探究學習的過程是一個復雜的過程，是不斷經歷猜想、驗證、思辨的過程，探究性學習材料是學生進行有效探究的前提和基礎。

以往的教學從一道題目入手（如，一套運動服上衣要120元，褲子80元，買這樣的3套服裝應付多少錢？）引導學生用兩種方法解決（120+80）×3和120×3+80×3，進而觀察、舉例、總結、應用。這樣單純的教學素材缺少了對內在運算意義的引導，忽視了乘法分配律和結合律的內在聯系和比較，使得學生的注意力容易指向算式的形式結構變化，而表現形式的簡單記憶就猶如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干擾就立刻散架，甚至無法復原。為此，教師可把學習材料重新安排：

1.引入。

商店進來橡皮2箱，每箱4盒，每盒有25塊，一共有多少塊？

（1）學生列式計算：2×4×25或2×（4×25）。

（2）運用了什么運算定律？

（3）乘法結合律中，什么變了？什么沒變？

（4）括號中的乘號能不能變成加號？為什么？

引導學生明白“2”表示“2箱”，“4”表示“4盒”， “25”表示“每箱25塊”，單位不同，不能相加。乘法結合律中的乘號不能變成加號。

2.展開。

商店原有2盒橡皮，每盒25塊?，F在又進來4盒同樣的橡皮，現在一共有多少塊？

（1）學生列式計算：25×（2+4）或25×2+25×4。

（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）這個算式中加號能否改成乘號？為什么？

引導學生明白“2”表示“2盒”，“4”表示“4盒”，單位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6盒橡皮。這里的加號不能變成乘號。

小結：2×4和2+4雖然只是一個小小的運算符號不同，代表的是2和4之間完全不同的兩種關系。“2×4”表示“2個4盒，2箱一共8盒”，“2+4”表示“2盒加上4盒，一共有6盒”。

（3）如果25×（2+4）去掉括號——25×2+4，發生了什么變化？結合每個數表示的意義和數與數之間的關系進行解釋。

小結：要正確解答這道題，括號不能去掉。

3.進一步討論。

（1）（2+4）×25要去掉括號應該寫成什么？寫一寫并解釋為什么。

（2）同樣是去掉括號，為什么（2+4）×25=25×2+25×4中“25”出現了兩次，而2×（4×25）=2×4×25中“25”只出現了一次？

（3）比較2×4×25和（2+4）×25，每個數表示的意義是什么？2×4和2+4表示的意義相同嗎？

4.歸納總結。

（1）（2+4）×25=25×2+25×4 前后算式中什么變了？什么沒變？為什么可以這樣變？

（2）用自己的話說說算式的特點，再用自己喜歡的符號表示出來。

（3）揭示概念：這個運算定律叫做“乘法分配律”。

（4）閱讀教材上的相關知識。

5.練習。

（1）在橫線上填上適當的運算符號或數。

46×77+46×23 =（___+___）×___

（77___23）×46=77×（23×46）

討論：為什么這樣想？能用實際事例說明嗎？

（2）觀察：這堂課上出現的幾組算式，前后對比，怎樣計算更簡便？

2×（4×25）=2×4×25

（2+4）×25=25×2+25×4

46×77+46×23=（77+23）×46

（77×23）×46=77×（23×46）

兩組探究材料的設計，注重了數學材料內在的層次性和邏輯性，由學生已經掌握的乘法結合律的特點和內在意義引出乘法分配律，將兩種運算定律結合具體事例進行了解釋和反復對比，最后從形式結構上比較。比起以往的教學來說，并沒有過多地強調外在形式的簡單記憶，在教學的各個環節，無論算式的外在形式怎樣變化，學生的思維始終圍繞運算意義的理解展開。在解釋交流的過程中，隨著兩個定律的非本質屬性被不斷剔除，其本質屬性得以凸現，而算式外在形式的變化特點在意義解釋過程中自然而然地被納入學生的認知結構中。

二、設計有效的探究學習過程

當探究材料具有內在的邏輯性和結構性的時候，教師怎樣利用這些材料進行有效的探究學習呢？所謂有效，就是指學生在探究學習的過程中，能夠自主探索、積極思考，利用探究材料，探索發現數學規律，能結合實際情境主動應用數學規律。因此，教學設計要注意以下兩方面：

1.教師提問的針對性。

在上述材料的討論和歸納階段，幾次反復提問，都一再強調運算符號的變化所產生的意義和結果，旨在引導學生從運算意義的角度追根溯源、深入思考，真正把握定律的內在實質。通過有意義、有深度的問題引導學生植根于定律的意義理解算式的結構特點。

2.注重學生的探究體驗。

體驗是置身特定情境下的感受，它一定是學生真切的、發自內心的感受。比如讓學生思考：“2”表示什么？“4”表示什么？（2+4）×25這個算式中加號能否改成乘號？為什么？如果25×（2+4）去掉括號——25×2+4，發生了什么變化？結合每個數表示的意義和數與數之間的關系解釋。這些環節的設計目的在于讓學生體驗乘法分配律的本質意義，尤其是“公因數25”的實際意義，突出了從模型建構的角度理解運算意義。

練習安排〔練習（1）在橫線上填上適當的運算符號或數。討論：為什么這樣想？能用實際事例來說明嗎？〕從現實生活過渡到抽象模型，用實際事例來說明乘法分配律和乘法結合律，目的在于進一步讓學生經歷問題探究過程中理解數學情境的本質結構，培養學生的思維遷移能力。

沒有親身經歷比較，學生關于乘法分配律的“簡便”體驗就無從而來?！簿毩暎?）觀察：這堂課上出現的幾組算式，前后對比，怎樣計算更簡便？〕學生只有經歷了一般計算中的繁雜，才能體驗簡便計算的從容。

◇責任編輯：徐新亮◇