例談2015年高考試題中概率與其他知識點的交匯

王博蓉　文丹

摘 要：縱觀近幾年高考試卷，不難發現，概率與其他知識點交匯是概率題考查的一大趨勢。本文將以2015年高考試題中的選題，探究概率以平面幾何、立體幾何、線性規劃、復數四個方面為載體的綜合應用，采用數形結合單的思想方法，旨在培養學生重視學科內在聯系和綜合性，構建立體的知識網絡，促進學科內在知識的遷移。

關鍵詞：概率；幾何概型；線形規劃；復數；數形結合

中圖分類號：G632 文獻標志碼：A 文章編號：2095-9214（2015）12-0043-01

一、概率與平面幾何的交匯

例1：（2015年湖北卷理數）如圖1，在圓心角為扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（ ）。

A.1-2π B.12-1π C.2π D.1π

解題思路：不妨設扇形OAB半徑為2。如圖1，記兩塊白色區域的面積為S1，S2；兩塊陰影部分面積為S3，S4；則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π·22=π①

而S1+S3=S2+S3的和恰好為一個半徑為2的圓的面積，即S1+S3+S2+S3=π②

①-②得S3=S4。由圖可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDF=12π-1

所以S陰影=πa2-2a2。由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率

p=S陰影S扇形OAB=2（12π-1）π=1-2π。

二、概率與立體幾何的交匯

例2：（2015年湖南卷理數）四面體的一個頂點A和各個棱的中點共10個點

（1）從其它頂點與各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同取法有多少種？

（2）從中任取4個點，則這4個點恰好不共面的概率是多少？

解題思路：（1）（直接法）如圖2，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有3C35中取法，例如從D、B、H、O、J中任取3個點必共面。含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對棱的中點共面，共有3種取法，例如A、B、D、J必共面。根據分類計數原理，與頂點A共面三點的取法有3C35+3=33種。

（2）（間接法）如圖2，從10個頂點中取4個點的取法有C410中，減去4點共面的取法種數可以得到4個點恰好不共面的種數。從四面體同一個面上的6個點中取出4點必定共面，有4C46=60種，例如在平面ABO中，從A、B、O、D、I、H中任取4個點必共面。四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面情況，例如A、D、B、J必共面。從六條棱的中點中取4個點有3種共面情況（對棱中點連線的兩兩相交且互相平分），例如D、J、H、E必共面。故4點不共面的取法有C310-（60+6+3）=141種。所以這4個點恰好不共面的概率是p=141C410=4770。

三、概率與線性規劃的交匯

例3：（2015湖北卷理數）在區間[0，1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x+y≥12”的概率，p2為事件“x-y≤12”的概率，p3為事件“xy≤12”的概率，則（ ）。

A.p1

C.p3

解題思路：在直角坐標系中，依次作出不等式組0≤x≤10≤y≤1，與x+y≥12，x-y≤12，xy≤12的可行域，如圖3，可知p1=S多邊形BACDES四邊形OCDE， p2=S多邊形BOAFDES四邊形OCDE，

p3=S曲邊多變形GEOCFS四邊形OCDE，

因為S△ABO=S△BEG=S△DGF=S△ACF，所以p2

四、概率與復數的交匯

例4：（2015年陜西卷理數）設復數z=（x-1）+yi（x，y∈R），若z≤1，則y≥x的概率為（ ）。

A.34+12π B.12+1π

C.12-1π D.14-12π

解題思路：據題意z≤1（x-1）2+y2≤1，對應平面區域如圖4所示，是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，作出不等式組（x-1）2 + y2≤1y≥x，所對應的面積如圖4中陰影部分面積所示，以面積作為幾何度量可得p（A）=π×124-12×12π×12=14-12π，故選D。

總之，在高考數學試卷中越來越重視在知識網絡交匯處設問，這不僅考查各知識點本身內容，而且加強知識之間的聯系，體現知識的整體性和關聯性。可以說，今年高考概率題與線性規劃、復數的交匯，是一種創新，它進一步拓展了概率與其它知識的聯系，優化概率知識框架，有利于學生創新意識的培養，是素質教育落實到教學的良好體現。

（作者單位：西華師大）