p-群中不同階元素的可交換性研究

祁燕

（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000）

p-群中不同階元素的可交換性研究

祁燕

（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽712000）

對(duì)任意兩個(gè)不同階元素可交換的p-群進(jìn)行了研究，得到:（1）當(dāng)G為方次數(shù)為p的p-群時(shí)，G中任意兩個(gè)不同階元素均可交換；當(dāng)G為方次數(shù)大于p的p-群時(shí)，G中任意兩個(gè)不同階元素均可交換充分必要條件是Ωe-1（G）≤Z（G）。（2）設(shè)G為非交換的p-群，若G中任意兩個(gè)非正規(guī)的子群均有相同的階，則G中任意兩個(gè)不同階元素均可交換。

真子群；Dedekind群；極小非交換群；亞循環(huán)群；正規(guī)子群

稱群G關(guān)于k-集具有小平方性質(zhì)，如果對(duì)于群G的任意的k元子集K，都有|K2|＜k2。為了研究具有小平方性質(zhì)的k-集對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)的影響，L V Brailovsky和G A Freiman在文獻(xiàn)［1］中對(duì)關(guān)于2-集具有小平方性質(zhì)的有限群作了一些探討。隨后G A Freiman［2］證明了群G關(guān)于2-集具有小平方性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)Dedekind群。1989年，Berkovich等［3］又給出了關(guān)于3-集具有小平方和小立方性質(zhì)的有限群的分類。群G關(guān)于2-集具有小平方性質(zhì)，即對(duì)任意兩個(gè)非交換的元素a、b都有a2=b2，本文在Freiman的研究工作的基礎(chǔ)上，將2-集小平方性質(zhì)中的a2=b2換成了o（a）=o（b），對(duì)具有這樣性質(zhì)的p-群進(jìn)行了一些研究。另外，本文中所涉及的符號(hào)與術(shù)語均參考文獻(xiàn)［4-6］。

1　預(yù)備知識(shí)

證明：由于H是G的真子群，故存在x∈GH。于是對(duì)任意的h∈H，都有xh，hx?H（否則x∈H，與x∈GH矛盾）。這說明，x與H中任何元的乘積均不在H中。下面分兩種情況來證明。。

（2）若g∈H，則有g(shù)=x-1·xg。由于xg∈G-H，且x-1∈，故

引理2［1］群G關(guān)于2-集具有小平方性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)Dedekind群。

2　主要定理及其證明

定理1設(shè)G為p-群，exp（G）=p，則對(duì)任意的a，b∈G，都有o（a）=o（b）或者ab=ba。……