基于Lattice-Boltzmann方法的泡沫材料有效導熱系數研究

康利云，闞安康，曹丹，王沖，郝方園

（上海海事大學商船學院，上海　201306）

基于Lattice-Boltzmann方法的泡沫材料有效導熱系數研究

康利云*，闞安康，曹丹，王沖，郝方園

（上海海事大學商船學院，上海201306）

為了提高泡沫多孔材料有效導熱系數的數值計算精度，文章提出一種用計算機軟件處理泡沫多孔材料電鏡圖，計算泡沫多孔材料的體積分數，并建立了用Lattice-Boltzmann方法（LBM）計算的物理模型。在此基礎上，用D2Q9LBM模型計算泡沫多孔材料有效導熱系數。通過模擬結果與實驗結果對比，研究泡沫多孔材料的有效導熱系數。研究結果表明模擬具有很高的精度；當體積分數從0.04增加到0.09時，有效導熱系數隨固相體積分數的增加而近似線性增加；當體積分數小于0.04且繼續減小時，有效導熱系數下降較快。

格子；泡沫；導熱系數；體積分數

0　引言

泡沫多孔材料具有獨特的結構和特性，所以在很多工程領域得到了廣泛的應用［1-5］。對泡沫多孔材料的研究具有很長的歷史，其中對孔隙率及有效導熱系數的研究是對泡沫多孔材料特性研究的重要組成部分。孔隙率及有效導熱系數都可用實驗來測定，但測定過程復雜，且當泡沫材料內部填充流體或孔隙率較大時候，實驗更加困難。因此有必要建立一種通用性強且精度高的數值計算模型。傳統的對于多孔介質研究一般都采用連續介質模型，但連續介質模型只能反映多孔介質“整體”的特性，而不能揭示其內部微觀構造特性。上世紀八十年代末，國際上許多學者提出將宏觀流體力學與微觀分子動力學連接起來的介觀理論，通過發展基于分子運動論（氣體動理學理論）Boltzmann方程的介觀數值模型來再現特征尺度達微、納米量級的氣體流動問題［6-7］。LBM隨之產生，LBM是一種介觀的研究方法，與傳統的計算流體力學方法（如有限單元法、有限差分法等）相比，Lattice-Boltzmann方法具有邊界條件容易設定、并行性高、能直接模擬有復雜幾何邊界的諸如多孔介質等連通域流場而無須作計算網格的轉換，正是這些優點使LBM在處理多孔介質內部傳熱傳質領域具有天生的優勢［8-10］。

利用泡沫材料的電鏡圖進行LBM計算不僅生成物理模型簡單，而且能夠真實地描述泡沫多孔介質內部的微觀結構。文章詳細介紹了如何利用計算機軟件來處理泡沫多孔介質電鏡圖，計算樣品固相體積分數，并最終建立LBM計算的物理模型。文章以聚氨酯泡沫為例，在實驗的基礎上檢測聚氨酯泡沫樣品的固相體積分數，并研究其固相體積分數與有效導熱系數之間的變化關系。

1　LBM導熱模型

本文采用D2Q9的LBM模型，溫度演化方程為：

式中：

fa——溫度分布函數；

r——位置矢量；

t——實時時間；

δt——時間步長；

τ——無因次弛豫時間；

feq——fa的局部平衡態分布函數；

eα——離散速度。

離散速度eα選取為：

局部平衡態分布函數eqfα為：

無因次弛豫時間τ為：

為了保證計算結果的準確性，τ取開區間（0.5，2）內的任何值，而τ值的大小通過c = δx/δt來調節。為了確保相面間溫度和熱流的連續性，令體積熱容滿足下列關系：

節點溫度和熱流密度可由以下公式求：

式中ki，j為節點（i，j）節點所處相的導熱系數。當每一節點的熱流密度求出之后，由傅里葉定律可以求得等效導熱系數：

式中：

L——傳熱方向上兩恒溫截面之間的距離；

q——傳熱方向上穿越橫截面的穩態熱流密度；

?T ——傳熱方向上兩端面的傳熱溫差。

2　建立物理模型及確定結構參數

2.1物理模型的建立

利用電子顯微鏡掃描拍攝聚氨酯泡沫的微觀結構得到樣品的電鏡掃描圖，通過計算機軟件對電鏡圖進行預處理，主要包括：對圖像的剪切、濾波（去除電鏡拍攝時外部因素造成的噪聲點）、直方圖均化（增加對比度，便于二值化處理）及二值化［11-12］。由二值化矩陣計算其固相體積分數，并將圖片二值化得到的矩陣導入到計算程序中。具體步驟如圖1所示。

聚氨酯泡沫材料電鏡掃描圖及二值化后的圖像分別如圖2和圖3所示。

圖1　電鏡圖處理流程圖

圖2　聚氨酯泡沫電鏡圖

圖3　聚氨酯泡沫二值圖像

由于多孔介質本身的一些性質導致取鏡部位的結構略有差異，基于多孔材料微觀結構的隨機性及統計原理，我們要對同一樣品的不同部位取鏡，對于質地不是很均勻的材料還可以將樣品拋開，取其內側斷面的電鏡圖，這樣可以有效地提高計算的精度。

2.2結構參數的確定

2.2.1固相體積分數的確定

如圖1所示，電鏡圖進行濾波、直方圖均化以及二值化處理后，將二值化結果保存為二值矩陣（0代表孔隙所在區域，1代表固相區域），利用計算機軟件編程統計二值矩陣中0元素和1元素的數目，從而得到孔隙率或固相體積分數。

2.2.2孔隙特征尺寸的確定

在泡沫材料的加工過程中，由于設置工藝參數的不同，導致泡沫材料的孔隙尺寸不等。取每種樣品多張不同的電鏡圖，用Photoshop的標尺量取每張電鏡圖各個孔隙的最小直徑及最大直徑，然后取平均值作為該孔隙的當量直徑，根據當量直徑范圍內的孔隙數繪制出柱狀圖。泡沫材料的孔隙特征尺寸取各當量直徑范圍中值的加權平均值。由直徑分布圖4可知，聚氨酯泡沫材料孔隙當量直徑徑主要分布在140 μm～240 μm的范圍內，基本呈正態分布。

3　結果與討論

如圖5所示，計算區域取正方形，劃分為200×200的網格，上下邊界為恒溫邊界，上邊界溫度為Ts，下邊界溫度為Tx（Ts＞Tx）；為了計算方便，設左右邊界為絕熱邊界。對于上下等溫邊界采用非平衡態外推格式；對于左右絕熱邊界采用鏡面反射格式處理，從而可以避免能量的泄露。由于實驗過程是在環境溫度為286 K下進行，所以我們設Ts=296 K、Tx=276 K，這樣可以減小模擬結果與實驗值之間的誤差。環境溫度為286 K時，空氣導熱系數為0.0056 W/（m·K），聚氨酯泡沫材料密度為0.0368 g/cm3，聚氨酯固相導熱系數取0.262 W/（m·K）。

基于統計原理及隨機因素影響，計算結果為多次計算取平均值。通過用模擬結果與實驗值之間做對比，驗證模擬結果的正確性，并分析有效導熱系數與固相體積分數的變化關系。

圖4　孔隙的直徑分布圖

圖5　物理模型示意圖

表1為聚氨酯泡沫材料固相體積分數的計算結果與實驗值的對比，固相體積分數是影響多孔介質有效導熱系數的關鍵因素，從表1可知計算結果與實驗的測量結果誤差保持在3%之內，這進一步保證了后續有效導熱系數的計算精度。

表2為聚氨酯泡沫材料有效導熱系數的模擬結果與實驗值之間對比，通過表中數據對比可知，模擬結果與實驗值之間誤差較小，保持在2%范圍內，足以保證科研及工程應用要求。

表1　聚氨酯泡沫固相體積分數模型計算結果與實驗結果對比

表2　聚氨酯泡沫材料有效導熱系數模擬結果與實驗結果對比

圖6為孔隙特征尺寸為190 μm時，有效導熱系數隨固相體積分數在0.02～0.09范圍內的變化關系圖。從圖6可知，利用電鏡圖計算的聚氨酯泡沫材料有效導熱系數值與實驗值不僅變化趨勢相同，而且二者之間誤差很小，且當泡沫體積分數在0.04～0.09范圍變化時，泡沫材料的有效導熱系數隨泡沫固相體積分數的增加而近似線性增加；當泡沫固相體積分數小于0.04且繼續減小時，材料有效導熱系數會減小得更加明顯，這與實驗測量結果相吻合，進一步證明模擬結果的正確性。由于固相體積分數是影響多孔材料有效導熱系數的關鍵因素，因此所建物理模型與樣品的體積分數是否相同直接影響到模擬結果的精度甚至正確性。由表1可以看出，用所建物理模型計算得到的聚氨酯泡沫材料固相體積分數與實驗測量的結果誤差很小，精度可以保持在小數點后兩位，完全滿足科研及工程需要。

圖6　聚氨酯泡沫有效導熱系數隨固相體積分數變化圖

4　總結

1）通過聚氨酯泡沫材料電鏡圖建立的LBM計算模型能夠準確地計算出樣品的真實固相體積分數，這將進一步保證后續模擬結果的精度。

2）由實驗對比可知，基于電鏡圖建立的泡沫多孔介質物理模型，利用D2Q9LBM模型，能夠準確地測量泡沫材料的有效導熱系數。這是由于電鏡掃描圖自身就是泡沫材料內部微觀結構的真實表述，本身就是將泡沫材料樣品真實微觀結構轉化為二值矩陣進行數值計算，這就能夠真實客觀地反映材料本身的微觀構造特性。

3）影響泡沫材料有效導熱系數的主要因素是泡沫固相體積分數。泡沫材料的有效導熱系數隨泡沫體積分數的增大而增大，且當泡沫體積分數在0.04～0.09范圍變化時，泡沫材料的有效導熱系數隨泡沫固相體積分數的增加而近似線性變化。當泡沫體積分數小于0.04且繼續減小時，材料有效導熱系數下降較快。

［1］許旭東，胡海濤，楊懷毅，等.析濕工況下泡沫金屬內濕空氣傳熱傳質特性的實驗研究［J］.制冷技術，2014，34（6）∶5-8.

［2］馬立，劉芃，胡培.PMI泡沫材料在航天器結構中應用的可行性研究［J］.航天器環境工程，2010，27（2）∶164-168.

［3］江德龍，武衛東，陳小嬌.金屬基體超疏水表面抗凝露抗結霜特性的研究進展［J］.制冷技術，2015，35（1）∶41-47.

［4］高恩元，荊華乾.番茄冷鏈運輸保鮮技術研究［J］.制冷技術，2014，34（5）∶49-53.

［5］曹明法，胡培.船用玻璃鋼/復合材料夾層結構中的泡沫芯材［J］.江蘇船舶，2004，21（2）∶3-6.

［6］MENAMARA G R，ZANETTI G.Use of the Boltzmann equation to simulate lattice automata［J］.Physical Review Letters，1988，61∶2332-2335.

［7］HIGUERA F J，JIMENEZ J.Boltzmann approach to lattice gas simulation［J］.Euorphys Lett，1989，9（7）∶663-668.

［8］WANG M，HE J H ，YU J Y ，et al.Lattice Boltzmann modeling of the effective thermal conductivity for fibrous materials［J］.International Journal of Thermal Sciences，2007，46（9）∶848-855.

［9］PAEK J W，KANG B H，KIM S Y，et al.Effective thermal conductivity and permeability of aluminum foam materials［J］.Thermophys，2000，21（2）∶453-464.

［10］CHEN X，HAN P.A note on the solution of conjugate heat transfer problems using SIMPLE-like algorithms［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，2000，21（4）∶463-467.

［11］阮秋椅.數字圖像處理學［M］.北京∶電子工業出版社.2001.

［12］章毓晉.圖像處理［M］.北京∶清華大學出版社.2006.

Research on Effective Thermal Conductivity of Foam Material Based on Lattice-Boltzmann Method

To improve the calculation accuracy of effective thermal conductivity of the foam material，a method using computer softwares to process electron micrographs of the foam material was presented to calculate the volume fraction of foam materials，and the physical model using Lattice-Boltzmann Method（LBM）was built.Basing on it，the D2Q9LBM model was used to calculate the effective thermal conductivity of the foam material.Comparing simulation results with experimental results，the effective thermal conductivity of the foam material was studied.The results show that the simulation has high accuracy.When the volume fraction increases from 0.04 to 0.09，the effective thermal conductivity increases approximately linearly；when the volume fraction is reduced to less than 0.04 and decreases continuously，the effective thermal conductivity decreases rapidly.

Lattice；Foam；Thermal conductivity；Volume fraction

10.3969/j.issn.2095-4468.2015.03.104

*康利云（1990-），男，助理工程師，碩士。研究方向：多孔介質傳質傳熱。聯系地址：上海市浦東新區臨港新城海港大道1550號，郵編：201306。手機：13817814803。E-mail：kangliyun11@163.com。

國家自然基金（No.51476094），上海市自然基金（No.15ZR1419900），上海海事大學研究生創新基金資助項目（No.YXR2014010）